2024-2025学年沪科版九年级数学上学期专项复习：相似形（考点清单）原卷版

清单02相似形（11个考点梳理+题型解读+提升训练）

考点侪单

【清单01】相似图形、相似多边形、相似比

1、相似图形：我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形.

2、相似多边形：一般地，两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等,

那么这两个多边形叫做相似多边形.

3、相似比：相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数.

【清单02】成比例线段

1、两条线段的比：用同一个长度单位去度量两条线段a、b,得到它们的长度，我们把这两条线段长

度的比叫做这两条线段的比，记作蓝或a:6.

2、成比例线段：在四条线段a、b、c、d中，如果其中两条线段a、6的比，等于另外两条线段c、d的

比，即£="或a:b=c:d）,那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.这时，线段a,b,c,d叫做组成比

例的项，线段a,d叫做比例外项，线段b,c叫做比例内项.

3、比例中项：如果作为比例内项的两条直线是相等的，即线段a、b、c之间有a：b=b：c,那么线段b

叫做线段a、b的比例中项.

【清单03】比例的性质

1、合比性质：如果?=£，那么看=审⑶dRO）

bdbd

2、等比性质:如隔琮=且瓦+历+…+b"。,那么苦若

【清单04】黄金分割

把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金

分割，分割点叫做这条线段的黄金分割点，比值且叫做黄金数.一条线段的黄金分割点有两个.

2

【清单05】平行线分线段成比例

1、基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.

2、基本事实的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例.

【清单06】相似三角形

1、相似三角形的判定：

（1）平行于三角形一边的直线与另两边相交，所截三角形与原三角形相似；

（2）两组对应角相等，两个三角形相似；

（3）两边对应成比例，且夹角相等，两个三角形相似；

（4）三边对应成比例，两个三角形相似；

（5）两直角三角形，一组斜边和一组直角边对应成比例，两个三角形相似.

2、相似三角形的性质：

（1）对应角相等，对应边的比等于相似比；

（2）对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；

（3）对应周长的比等于相似比；

（4）对应面积的比等于相似比的平方.

盛型陆单

【考点题型一】相似多边形

【例1】（22-23九年级上•全国•单元测试）下列说法中正确的是（）

A.各角分别相等的两个多边形一定是相似多边形

B.各边成比例的两个多边形是相似多边形

C.边数相同的两个多边形是相似多边形

D.边数相同、各角分别相等、各边成比例的两个多边形是相似多边形

【变式1-1].（2024九年级下•河南周口•专题练习）下面四个命题中是真命题的是（）

A.两组锐角分别相等的两个直角三角形全等

B.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

C.对角线互相垂直平分的四边形是菱形

D.所有的矩形都相似，且所有的菱形也都相似

【变式1-2].（24-25九年级上•上海•阶段练习）下列各组图形中，不一定相似的是（）

A.一组邻边对应成比例的两个矩形B.两个顶角相等的等腰三角形

C.有一个内角相等的两个菱形D.有两条边对应成比例的两个直角三角形

【变式1-3].（22-23九年级上•全国・单元测试）下列说法中，错误的是（）

A.全等图形一定是相似图形B.两面大小不等的标准国旗一定相似

C.两个等腰直角三角形一定相似D.两个直角三角形一定相似

【考点题型二】成比例线段

【例2】（23-24九年级上•全国•课后作业）已知四个数a,b,c,d成比例.

（1）若a=—5,b=10,c=3,求d；

（2）若a=-3,b=V6,d=—4,求c.

【变式2-1].（24-25九年级上•全国•单元测试）已知线段a=0.3m,b=60cm，c=12dm•

⑴求线段a与线段b的比和线段b与线段c的比；

（2）如果线段a、b、c、d成比例,求线段d的长.

（3）在比例式a:b=b:c或=ac中，我们把b称为a、c的比例中项,那么本题中b是a和c的比例中项吗？为

什么？

【变式2-2].（23-24九年级上•全国・单元测试）在某市城区地图（比例尺1:9000）上，新安大街的图上

长度与光华大街的图上长度分别是16cm和lOcnr

（1）新安大街与光华大街的实际长度各是多少米？

（2）新安大街与光华大街的图上长度之比是多少？它们的实际长度之比呢？

【变式2-3].（2023九年级上•全国•专题练习）已知有三条线段的长分别为3cm,6cm,9cm的线段，请

再添一条线段，使这四条线段成比例，求所添线段的长度.

【考点题型三】比例的性质

【例3】（24-25九年级上•上海•阶段练习）已知5且2x+3y+z=6,求x+y-z的值.

346"

【变式3口⑵3九年级上.河南驻马店•阶段练习)⑴如果宣=-】，求*

(2)如果小二a-b+c卫』k,求上的值

b

【变式3-2].(23-24八年级上•山东聊城•期中)已知线段a、b、。满足§=2=g且a+26+c=26.

326

(1)求〃、b、c的值;

(2)若线段d=2c,线段％是线段。、d的比例中项，求

ace

【变式3-3].(23-24八年级下.贵州六盘水•期末)已知a,b,c,d,e,/六个数，如果]=五=了=

k(b+d+/KO),那么黑!=上

理由如下：

•*=(=:=k(6+d+f40)

/.a=bk,c=dk,e=fk(第一步)

.a+c+e_bk+dk+fk_k(b+d+f)_卜(林一玲)

b+d+f~b+d+f-b+d+f一弟一个

(1)解题过程中第一步应用了的基本性质；在第二步解题过程中，笺翳=k应用了的基本

性质；

(2)应用此解题过程中的思路和方法解决问题：

①如果胃=[=：=2,则"上=______；

5671o

②已知:衿"。，求H的值•

【考点题型四】黄金分割

【例4】(24-25九年级上•陕西西安•开学考试)两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：如图，将一

条线段4B分割成长、短两条线段4P、PB,若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即詈=

AP

啜(此时线段力P叫做线段PB,4B的比例中项).这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点P叫做线

段的黄金分割点.若48=2cm，则8尸的长为cm.

।।।

APB

【变式4-1].（23-24八年级下•河南许昌•期末）如图，已知线段AB=2,经过点B作BD14B,使BD=

^AB,连接4D,在4。上截取DE=BD；在力B上截取力C=4E,贝iMC:AB=

【变式4-2].（2024.江苏宿迁•模拟预测）如图，乐器上的一根弦4B=30cm，两个端点人、B固定在乐器

板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点4的黄金分割点，贝MC=f

【变式4-3].（23-24八年级下•山东威海・期末）如图，点C是线段4B的黄金分割点，以AC为一边作矩形

ACDE,使4E=2B；以8c为边作正方形BCFG,则S矩物CDE______SJE^BCFG-（填＞，＜或=）

【考点题型五】平行线分线段成比例

【例5】（2024・重庆・中考真题）如图，在AABC中，延长4C至点D,使CD=C4过点。作DE||CB,且

DE=DC,连接4E交8C于点F.若Z_C48=NCTA,CF=1,则BF=.

【变式5-1].（23-24九年级上•上海•阶段练习）如图，已知力8||CD||与BE交于。点，若力F=

9,B0=2,0C=1,CE=4,求。尸和。D的长.

【变式5-2].（24-25九年级上•上海・假期作业）如图，在AABC中，AF=2,BF,CE=3AE,CD=

4BD.连接CF交DE于P点，求EPDP的值.

【变式5-3].（23-24九年级上.河北邢台•阶段练习）如图，4。是△ABC的中线，E是线段4。上的一点,

且AD=3AE,连接CE并延长交4B于点F.

⑴求喧的值;

（2）若ZF=2cm，求ZB的长.

【考点题型六】相似三角形及平行线截相似三角形

【例6】（23-24九年级上.江苏无锡・期末）如图，点E为平行四边形4BCD边BC延长线上的一点，连接2E

与CD相交于点F.则图中相似三角形共有（）

A.1对B.2对C.3对D.4对

【变式6-1].（23-24八年级下.江苏扬州•阶段练习）如图，在AABC中，点。在48边上，点E在4C边

上，且/I=N?=N3,则下列结论中不亚确的是（）

A.AADE-AABCB.hADE-KACDC.NADE^NEDCD.AABC“A

ACD

【变式6-2].（21-22九年级上.北京海淀•阶段练习）如图，点E在以3CD的边的延长线上，连接BE

分别交A。、AC于尸、G.图中相似的两个三角形共有对.

【变式6-3].（21-22九年级下.全国•课前预习）（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的

三角形与原三角形.

（2）三边成比例的两个三角形.

（3）两边成比例且夹角相等的两个三角形

（4）两角分别相等的两个三角形.

（5）一组直角边和斜边成比例的两个直角三角形.

【考点题型七】相似三角形的判定

【例7】（23-24九年级上•全国•单元测试）已知，RtAdBC中，乙4cB=90。，点”在AC上，且线段HD1

4B于。，BC的延长线与的延长线交于点E,求证：XAHD-&EBD.

【变式7-1].（2024.广东广州•中考真题）如图，点E,F分别在正方形4BC0的边BC,CD上,BE=3,

EC=6,CF=2.求证：4ABE“4ECF.

\-----------------（Z）

【变式7-2].（23-24九年级上•陕西咸阳•期中）如图，在平行四边形4BCD中，过点B作BE1CD,垂足

为E,连接4E,尸为4E上一点，且=

⑴求证：^ABF-LEAD.

(2)若4E=2,Z.BAE=30°,求AB的长.

【变式7-3].（23-24九年级上•湖南常德•期中）（1）如图1,在四边形力BCD中，乙BAD=LBCD=90°,

连接AC,BD,过点A作SEIAC交CB的延长线于点E,求证：ZE-ZACD.

图1

（2）如图2,在四边形力BCD中，AB=AD,（1）中的其它条件不变，点M,N分别是BD,EC的中点,

连接AN,AM,MN.

②求证：AABEfAMN.

【考点题型八】相似三角形对应线段的性质

【例8】（2023•吉林四平•三模）在A/IBC中，D,E分别为4B,AC上一点，BE,CD交于点F.

B

图①图②图①

（1）设△4BE的面积为Si，A4C0的面积为S2,且Si=52.

①如图①，连接DE.若乙4=90。，求证：DE||BC；

②如图②，若NFBC=45。，Z.FCB=30°,求处的值.

DF

(2)如图③，若乙4=90。，CE=kAB,BD=kAE,DC=2BE,直接写出k的值.

【变式8-1].（2023•上海松江•一模）如图，已知梯形4BCD中，AD||BC.E是边4B上一点，CE与对角线

BD交于点F,5.BE2=EF-EC.

求证：

(DA/1BD~&FCB；

Q)BD,BE=AD•CE.

【变式8-2].（24-25九年级上•吉林长春•阶段练习）【感知】如图①，在RtAABC中，^ACB=90°,CD1

AB于点D.写出图中与△4CD相似的三角形，并用相似符号连接.

【探究】如图②，在△ABC中，点。为边4B上一点，连接CD.

若求证：AC2=AD-AB.

【应用】如图③，在AABC中，CD是边4B的中线.若乙4CD=NB,BC=2,贝iJCD的长为.

【变式3-3].（23-24九年级上.河南郑州•阶段练习）如图，在四边形48CD中，力C平分"DC=

^ACB=90°,E为ZB的中点，连接CE,DE,AC与DE相交于点尸.

⑴求证：AADFCEF；

⑵若4。=4,AB=6,求彩的值.

【考点题型九】相似三角形周长、面积的性质

【例9】（2024九年级•全国・竞赛）如图，在AABC中，DE||FG||BC,且OE：FG：BC=1：3：6,则四

边形DFGE与四边形5CG尸的面积之比为（）

C.3：5D.8：27

【变式9-1].（23-24九年级上•河南濮阳・期末）如图在△ZBC中，D、E分别是边43、上的点，且DE||

AC,右S^BOE：S^COE=2:3,则S^OOE：S—oc的值为（）

44

BC.-D-n

25-i9

【变式9-2].（24-25九年级上•全国•课后作业）已知△ABC八DEF.

（1）若BC=6,EF=4,则竺=________；

DF

（2）若AABC和ADEF的相似比为1:2,则这两个三角形对应中线的比为,△ABC与ADEF的面

积比为:

（3）若AABC与ADEF的周长比为1:4,则这两个三角形对应边的比是.

【变式9-3].（23-24九年级上.四川达州.期末）如图，在AABC中，AHJ.BC于H,正方形DEFG内接于

AABC,点。、E分别在边力B、2C,点G、尸在边BC上.如果BC=20,那么4"=12,正方形DEFG的

面积为.

【考点题型十】图形的位似变换

【例10】(23-24九年级上•福建泉州•阶段练习)已知。是坐标原点，A、I的坐标分别为(3,1),(2,-1).

⑴以原点。为位似中心，位似比为2:1,在y轴的左侧，画出AOAB放大后的图形△。&Bi；

(2)直接写出4点的坐标；若点D(a,b)在线段04上，点。对应点％的坐标为

【变式10-1].(2024.贵州六盘水•二模)已知一次函数y=-1x—2的图象与坐标轴交于A,3两点.

(2)以坐标原点。为位似中心画一个△4。夕，使它与AAOB位似，且相似比为2.

【变式10-2].(23-24九年级上.山东济南.期末)如图，在平面直角坐标系中，△48。和4"8，。是以坐

标原点。为位似中心的位似图形，且点8的坐标为(3,1),点次的坐标为(6,2).

（1）若点A的坐标为e，3）,求点4的坐标；

（2）若ATIBC的面积为根，则△4B'C'的面积为

【变式10-3].（2024•宁夏银川・模拟预测）按下列要求在如图的格点中作图:

⑴作出AABC关于原点成中心对称的（A,B,C的对应点分别为4,ByQ）;

（2）以点C为