2024-2025学年北师大版七年级数学上册期中压轴题：有理数与整式运算压轴题（7类热点题型）含答案

第02讲期中压轴专题：有理数与整式中压轴题

（7类热点题型讲练）

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目录

【考点一有理数运算中的新定义型问题】

【考点二有理数、整式中化简绝对值】

【考点三数轴上的压轴问题】

【考点四整式运算中的新定义型问题】

【考点五整式运算中的整体代入求值问题】

【考点六整式运算中的实际应用问题】

【考点七整式运算中的规律探究问题】

典型例题

【考点一有理数运算中的新定义型问题】

（24-25七年级上•全国•期中）

1172

1.观察下列两个等式：2--=2x-+l,5--=5xj+l,给出定义如下：我们称使等式

=+1的成立的一对有理数a,6为“共生有理数对"，记为6）,如：数对J,；）,

（5,|）,都是“共生有理数对”.

（1）判断数对是不是“共生有理数对”，并说明理由.

（2）若（。,3）是“共生有理数对“，求。的值.

（3）请再写出两对符合条件的“共生有理数对”为：（4,_）和2）.

（4）若（加,〃）是“共生有理数对"，则“共生有理数对"（填“是”或“不是”）.

（24-25七年级上•宁夏中卫•期中）

2.阅读材料：类比有理数的乘方，我们要求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运

试卷第1页，共14页

算叫做除方，记作a@,读作“。的圈〃次方”。

如:2:2+2,记作2③，读作“2的圈3次方”；

(一3)+(-3)+(-3)+(-3),记作(-3)④，读作“一3的圈4次方”.

(1)直接写出计算结果：2③=;

(2)除方也可以转化为乘方的形式，

如：2④=2+2+2+2=2xLLL仕］

2220

④(［、⑩

试将下列运算结构直接写成乘方的形式：(-3)=；出=;

(3)计算：22xl|j4-(-2)®-(-3)®.

(22-23七年级上•湖南益阳•期中)

3.定义新运算：。*6」二，a®b=^~(右边的运算为平常的加、减、乘、除).

abab

例如：3*7=?_?=士，3区7=工=士.

37213x721

若=则称有理数。，b为“隔一数对”.

例如：2⑤3=工=9，2*3=:-：=9，283=2*3,所以2,3就是一对“隔一数对”.

2x36236

(1)下列各组数是“隔一数对”的是_(请填序号)

41

①。=1,6=2；@a,b=­③。=-1,6=1.

(2)计算:(-3)*4-(-3)04+(-2023)*(-2023).

(3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”.

计算：102+203+304+405+---+202002021.

【考点二有理数、整式中化简绝对值】

(24-25七年级上•全国•期中)

4.有理数以b、c在数轴上的位置如图,

a0bc

(1)判断正负，用“〉”或“<”填空：c-bj),a+b_0,a-c_o.

(2)化简：|c—+61—2|a—c|.

(24-25七年级上•全国•期中)

试卷第2页，共14页

5.有理数a>0,b<0,c>0,且|〃|<他|<|。|,

(1)如下图，在数轴上将Q,b,。三个数填在相应的括号中；

=r^=®_n

⑵用“>”或“=”或“〈”填空:c-。0,b-c0,2b-a0；；

(3)化简：|2b—a]+|b—c|—|c—a].

(22-23七年级上•浙江金华•期中)

6.在学习一个数的绝对值过程中，化简忖时，可以这样分类：当。>0时，14=。；当。=0

时，14=0;当a<0时，同=-。，请用这种方法解决下列问题.

(1)当。=3,〃=一2时，分别求回的值；

a

(2)已知。力是有理数，当。6>0时，试求忖+例的值；

ab

(3)已知仇c是有理数，当以■<()时，试求忖+网+且+四的值.

abcabc

(23-24七年级上•浙江杭州•期中)

7.在学习一个数的绝对值过程中，化简H时，可以这样分类：当a>0时，同="；当。=0

时，同=0；当。<0时，]。|=-。.请用这种方法解决下列问题.

(1)当a=3时，则不=

当。=一2时，贝1=

ab

⑵己知a,6是有理数，当ab>0时，试求同+同的值.

abcbca+ca+b

(3)已知。，b,。是非零有理数，满足.+b+c=0且同+可+甲1,求百+百+百

的值.

【考点三数轴上的压轴问题】

(23-24七年级上•山东济宁•期中)

8.已知在纸面上有一数轴(如图)，折叠纸面.例如：若数轴上数2表示的点与数-2表示

的点重合，则数轴上数-4表示的点与数4表示的点重合.

若数轴上数-7表示的点与数1表示的点重合，请解决下列问题:

-6-5-4-3-2-1012345

(1)数轴上数3表示的点与数表示的点重合;

试卷第3页，共14页

(2)若点A到原点的距离是5个单位长度，并且A,B两点经折叠后重合，求点8表示的数；

(3)已知数轴上N两点之间的距离为2024；若M,N两点经折叠后重合，且点加表示

的数比点N表示的数大，求初和N表示的数.

(23-24七年级上•湖北武汉•期中)

9.对于直线上三个点R,S,T,我们规定：如果R,S之间的距离等于R,7之间的距离的

加倍(力为正整数)，则R叫做S到7的加点.如图(1),数轴上/,B,C,。四点表示的

数分别为-3,3,-1,4,则C是8到N的2点，。是/到8的7点.

ACBD

IIIl.ljlII[>

-7-6-5-4-3-2-101234567

图⑴

(1)/是2到C的点，3是/到。的点；

(2)若/到8的〃点与8到/的"点是同一点£,则〃=,E表示的数是；

(3)如图(2),若尸是/到2的8点，求点尸表示的数；

AB

iiii.iiiii：1111A

-7-6-5-4-3-2-101234567

图⑵

(4)若尸是N到8的左点，。是8到N的左点.直接写出点P,。之间的距离.(用含左的式

子表示)

(24-25七年级上•福建厦门•期中)

10.如下图，在数轴上有四个点/、B、C、。分别表示-5、-2、3、0.5,请回答：

承,“.■，用r.屈雷.

一^零_军——N腥型_R呼叩5

得嚼用噌/,鬻脸工

(1)①/、8两点间的距离是一，C、。两点之间的距离是

②4C两点之间的距离是一B、。两点之间的距离是

③在数轴上，若点M表示的数是加，点N表示的数是〃，则M、N两点之间的距离是一(用

含m、n的式子表示)

(2)找出所有符合条件的整数X,使得|x+5|+k-2|=7这样的整数是

(3)由以上探索猜想：对于任何有理数x,卜-3|+|尤-6|是否有最小值？如果有，写出最小值;

如果没有，请说明理由.

(23-24七年级上•河南郑州•期中)

11.阅读下面的材料：

如图1,在数轴上/点所示的数为访2点表示的数为6,则点/到点2的距离记为N8,

试卷第4页，共14页

线段的长可以用右边的数减去左边的数表示，即N8=6-a.

।।।b、B।

-2-I0123

图1

-6-5-4-3-2-1012345

图2

请用上面的知识解答下面的问题：

如图2,一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2cm到达N点，再向左移动3cm到达8

点，然后向右移动9cm到达C点，用1个单位长度表示1cm.

⑴请你在数轴上表示出，，B,C三点的位置：

⑵点C到点/的距离C4=cm；若数轴上有一点。，且/。=5,则点。表示的数为

(3)若将点/向右移动xcm,则移动后的点表示的数为；(用代数式表示)

(4)若点8以每秒2cm的速度向左移动，同时N.C点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移

动，设移动时间为/秒，试探索：4C-43的值是否会随着/的变化而改变？请说明理由.

⑵-24七年级上•四川眉山・期中)

12.如图已知数轴上点/、3分别表示a、b,且他+6|与("k互为相反数，。为原点.

(1)4=,b=；

(2)将数轴沿某个点折叠，使得点/与表示-10的点重合，则此时与点3重合的点所表示的

数为:

(3)加、〃两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为|加-〃如5与-2两数在数轴上

所对的两点之间的距离可以表示为I5-(-2)从而很容易就得出在数轴上表示5与-2两点

之间的距离是7.

①若x表示一个有理数,贝力x-311x-61的最小值=.

②若x表示一个有理数，且|x-4|+|x+3|=7,则满足条件的所有整数x的和是.

③当尤=时,2|x-2|+2|x-3|+5|x-4|取最小值.

④当x取何值时，2|2x-l|+|3x-2|+|x-■||+|2x-7|+|3x-9|取最小值？最小值为多少？直接

试卷第5页，共14页

写出结果.

【考点四整式运算中的新定义型问题】

(23-24七年级上•江苏扬州•期中)

13.定义：若。+6=6,则称。与6是关于6的实验数.

(1)4与是关于6的实验数；代数式与5-2x是关于6的实验数.

(2)若a=f-4x+2,b=x2-2(x2-2x-2),判断。与6是否是关于6的实验数，说明理

由.

(3)若c与d是关于6的实验数，MC--2(3X2-4X-1),求d的值.

(23-24七年级上•江苏南京•期中)

14.定义：若两个式子的和等于一个常数，则称这两个式子是关于该常数的组合式.

(1)1-x和是关于0的组合式；

(2)已知a=2x~—3(/+尤)+5,6=2x--(4x+)+2],°与6是关于3的组合式吗？说

明理由；

(3)已知c=|x+3|,d=|x-2|,且c与d是关于常数用的组合式，请探索〃?的取值范围与对应

的x取值的个数.

(23-24七年级上•江苏泰州•期中)

15.定义：若。+b=2〃，则称。与6是关于数〃的平均数.比如3与-4是关于-;的平均数，

7与13是关于10的平均数.

⑴填空：2023与一是关于-1的平均数，一与-2x+5是关于2的平均数.

(2)若。与2b是关于3的平均数，26与c是关于-g的平均数，c与d是关于9的平均数，

求(a-c)+；(6b+3d)-(2b-c)

(3)现有a=3--10fcv+13与6=-3/+5x-6左(k为常数)，且。与b始终是关于数n的平均数,

与x的取值无关，求〃的值.

(23-24七年级下•陕西咸阳•期中)

16.定义：对于依次排列的多项式x+a、x+b,x+c、x+d(a、b、c、d是常数)，当它

们满足(x+a)(x+d)-(x+6)(x+c)=M,且M是常数时，则称a、b、c、d是一组平衡数，M

是该组平衡数的平衡因子.例如，对于多项式x+2、x+1、x+6、x+5来说，因为

试卷第6页，共14页

(x+2)(x+5)-(x+l)(x+6)=(x2+7x+10)-(x2+7x+6)=4,所以2、1、6、5是一组平衡数,

4是这组平衡数的平衡因子.

(1)己知2、4、7、9是一组平衡数，则该组平衡数的平衡因子

M={x+2)(x+9)-(x+4)(x+7)=；

⑵若-4、2、加、3是一组平衡数，求心的值及该组平衡数的平衡因子；

(3)当a、b、c、d之间满足怎样的数量关系时，它们是一组平衡数，请说明理由.

(23-24六年级下•黑龙江哈尔滨•期中)

17.阅读理解

【方法】

有一种整式处理器，能将二次多项式处理成一次多项式，处理方法是：将二次多项式的二次

项系数与一次项系数的和(和为非零数)作为一次多项式的一次项系数，将二次多项式的常

数项作为一次多项式的常数项.

例如：N=3/+2x-8,A经过处理器得到3=(3+2)x-8=5x-8.

【应用】

若关于x的二次多项式A经过处理器得到3,根据以上方法，解决下列问题：

(1)填空：若N=-2/+4x-5,B=.

(2)若/=2/-5(X-1),则关于x的方程8=办一6,求0%的值

【延伸】

(3)已知河=2》-2(加-2*+加2,加是关于x的二次多项式，若N是初经过处理器得到

的一次多项式，关于*的方程N=fcv+4,求发的值.

【考点五整式运算中的整体代入求值问题】

(24-25七年级上•全国•期中)

18.整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子

或图形看成一个整体，进行整体处理.它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，因

为一些问题按常规不容易求某一个(或多个)未知量时，根据题目的结构特征，把某一组数

或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径.例如

x2+x=l,求无2+X+2024的值，我们将f+x作为一个整体代入，则原式

=1+2024=2025.

试卷第7页，共14页

【尝试应用】

仿照上面的解题方法，完成下面的问题：

⑴如果。+6=3,求2（。+6）-3。-36+20的值；

⑵当x=2时，代数式♦+加+cx-l的值为"?，当x=-2时，求代数式ax，+加+c尤+4的值;

（用含心的代数式表示）

（3）【拓展应用】

在完成上面的问题有基础上，解答下面的问题：

已知f+3x-12=0,求代数式X3-21X+2060的值.

（23-24七年级上•江西南昌•期中）

19.我们知道：4x+2x-x=（4+2-l）x=5x,类似地，若我们把+9看成一个整体，则

有4（“+b）+2（a+b）-（a+b）=（4+2-l）（a+6）=5（a+6）.这种解决问题的方法渗透了数学

中的“整体思想”，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广

泛.请运用“整体思想”解答下面的问题：

⑴把（"6）看成一个整体，合并3（a-6）2-7（a-M+2（—6）2；

（2）已知：x2+2y=5,求代数式-3/-6y+21的值；

（3）已知a-26=3,26-c=-5,c—d=10,求（a-c）+（26-d）_（26_c）的值.

（22-23七年级上•湖南长沙•期中）

20.理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法.例如：

若一+工=0,贝“+x+1186=;

我们将X2+x作为一个整体代入，则原式=0+1186=1186.

仿照上面的解题方法，完成下面的问题：

（1）如果。+6=3,求2（。+6）-4。-46+21的值；

（2）若/+=20,/+=8,求/+2〃+6ab的值.

（3）当x=2022时，代数式”/+法3+5-5的值为机，求当x=-2022时，代数式o?+bx3+cx-5

的值.

（23-24七年级上•江西赣州•期中）

21.阅读材料：

试卷第8页，共14页

“整体思想”是中学数学的重要思想方法，在解题中会经常用到.

【例】合并同类项：4x-2x+x=（4-2+l）x=3x,类似地，我们把（。+6）看成一个整体,

则4（Q+6）-2（Q+Z?）+（Q+力）=（4-2+1）（a+6）=3（Q+6）.

尝试应用：

（1）把一6）2看成一个整体，合并3（a-6/-6（a-b『+2（°-人『的结果是；

（2）已知无2-2y=4,求3/-6y-21的值.

拓展探索：

（3）已知a-26=3,2b—c=-5,c—d=1,0,求（a-c）+（26-d）-（26-c）的值.

【考点六整式运算中的实际应用问题】

（24-25七年级上•吉林松原•期中）

22.某超市在春节期间对顾客实行优惠，规定如下：

一次性购物优惠办法

低于200元不予优惠

低于500元但不低于200

九折优惠

元

其中不超过500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折

500元或超过500元

优惠

（1）若王老师一次性购物400元，则他实际付款元；若一次性购物600元，则他实际付

款兀.

⑵若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500元但不小于200时，他实际付款元；

当x大于或等于500时，他实际付款（用含x的式子表示）

（3）如果王老师两次购物的货款合计820元，第一次购物的货款为。元（200<“<300）,用

含a的代数式表示王老师两次购物实际付款的钱数.

（23-24七年级上•贵州遵义•期中）

23.为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的,

该市自来水收费标准（按月结算）如表所示：

试卷第9页，共14页

每月用水量单价

不超出6m3的部分2元/n?

超出6m3不超出10m3的部分4元/n?

超出10m3的部分8元/n?

例如：若某户居民1月份用水8m3,则应收水费：2x6+4x（8-6）=20（元）.

（1）若该户居民2月份用水12.5m3,则应收水费一元.

⑵若该户居民3月份用水皿？（其中6mSvavlOmD,则应收水费多少元？（用含。的整式

表示，并化简）

⑶若该户居民4月份用水加？，4、5两个月共用水15m3,且5月份用水超过4月份，请用含x

的整式表示4、5两个月共交的水费多少元？

（22-23六年级下•黑龙江哈尔滨•期中）

24.某种窗户的形状如图所示（图中长度单位：米），其上部是半圆形，下部是边长相同的

四个小正方形，己知下部小正方形的边长为。米.（兀名3）

（1）计算窗户的面积和窗框的总长.

（2）当a=g时，若在窗户上安装玻璃，玻璃每平方米6元，窗框每米c元，窗框的厚度不计,

求制作一个这种窗户需要的材料费是多少元.

（3）在（2）的条件下，某公司计划在甲工厂或乙工厂采购100个这种窗户，下表是甲、乙两

个工厂制作这种窗户的收费价目表.通过计算说明去哪家工厂采购更省钱.（安装费=材料

费+运输费+人工费）

材料费

xr运输费人工费

玻璃窗框

试卷第10页，共14页

2620

10元/个窗120元/

甲元/元/

户m2

m2m

3018

12元/个窗130元/

乙元/元/

户m2

m2m

（23-24七年级上•安徽蚌埠•期中）

25.【知识学习】

学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式G-了+6+3尤-5丁-1的值与》的取值无关，

求。的值”.通常的解题方法是：把x,N看作字母，。看作系数合并同类项，因为代数式的

值与x的取值无关，所以含x项的系数为0,即原式=（a+3）x-6y+5,所以小二。，贝。

a=-3.

⑴【理解应用】若关于X的多项式（2X-3）机+2川-3x的值与x的取值无关，求加值；

（2）已知/=2x?,B=—x2+nx-\,且3/+6B的值与x的取值无关，求”的

值.

⑶【能力提升】有7张如图1的小长方形，长为“，宽为6,按照如图2的方式不重叠地放

在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积

为岳，左下角的面积为$2,设/3=x,当N3的长变化时，H-S?的值始终保持不变，求。

与6的数量关系.

（23-24七年级上•江苏泰州•期中）

26.【实际问题】

某商场在双十一期间为了鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每

试卷第11页，共14页

次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元100元的奖券中（面值为整数）,

一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额.某

顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？

【问题建模】

从1,2,3,n（〃为整数，且〃>5）这〃个整数中任取5个整数，这5个整数之和共

有多少种不同的结果？

【模型探究】

我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，从中找出解决问题的方法.从

1,2,3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？

所取的2个整数1,21,32,3

2个整数之和345

如表所示：所取的2个整数之和可以为3,4,5,也就是从3到5的连续整数，其中最小是

3,最大是5,所以共有3种不同的结果.

（1）从1,2,3,4,5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有一种不同的结

果.

（2）从1,2,3,n（〃为整数，且〃>5）这"个整数中任取3个整数，这3个整数之

和共有一种不同的结果.

（3）归纳结论：从1,2,3,n（〃为整数，且〃>5）这"个整数中任取5个整数，

这5个整数之和共有一种不同的结果.

【问题解决】

从1。0张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取

5张奖券，共有一种不同的优惠金额.

【问题拓展】

从3,4,5,n（〃为整数，且〃>5）这〃个整数中任取5个整数，使得取出的这些整

数之和共有121种不同的结果，求〃的值.（写出解答过程）

【考点七整式运算中的规律探究问题】

（23-24七年级上•北京海淀•期中）

27.给定一列数，我们把这列数中的第一个数记为即，第二个数记为即，第三个数记为的，

依此类推，第〃个数记为a"（〃为正整数），如下面这列数2,4,6,8,10中，⑷=2,a2=

试卷第12页，共14页

4,的=6,。4=8,6Z5—10,规定运算方％=。1+。2+〃3+….即从这列数的第一个数开

z=l

3

始依次加到第"个数，如在上面的一列数中，24+电+/=2+4+6=12.

1=1

5

(1)已知一列数1,-2,3,-4,5,-6,7,-8,9,-10,那么%=.£%=;

1=1

(2)已知这歹数1,-2,3,-4,5,-6,7,-8,9,-10,…，按照规律可以无限与下去,那么。2023=

⑶在(2)的条件下，若存在正整数〃使等式2023成立，直接写出〃的值.

1=1

(23-24七年级上•四川自贡•期中)

28.综合与实践，问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题:

111_111_11111

"2'~2^3~2~3,3^4-3-4'二一

独立思考：

(1)解答王老师提出的问题：第5个式子为,第〃个式子为\

实践探究：

(2)在(1)中找出规律，并利用规律计算:-----+------+------+------+…+

1x22x33x44x5--------2021x2022

问题拓展:

(3)数学活动小组同学对上述问题进行一般化研究之后发现，当分母中的两个因数的差为2,

请你解答：求±+*+为+…+1

该小组提出下面的问题,

2021x2023

问题解决:

，、411111士

(4)求---+------+--------+----------+…+--------------的值.

')1+21+2+31+2+3+41+2+3+4+51+2+3+…+2022

(23-24七年级上•河南平顶山•期中)

29.餐厅摆放桌椅，照这样的方式继续排列餐桌，摆〃张餐桌可坐人数为K〃.

C=]QJJ

*TTofinriLTo"

⑴K“=(用n表示)；K9=

⑵我们用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数GC和正整数比规定:

a☆”:="K"+|“+K,-3-(+卜3+d_-3-6+|-3+6|_

，如：(—3)☆2=-----------------------=--------------------=-3.

222

试卷第13页，共14页

①计算：（-16）^9的值;

②3☆“与（-3）☆”互为相反数吗？请说明理由.

（24-25七年级上•辽宁大连•阶段练习）

30.【阅读中思考】

设。是不为0和1的有理数，我们把1与。的倒数的差，即1-工称为。的倒数差，如：2的

a

,1c

倒数差是V4_］的侄微差是］=2.

【探索中理解】

若。=3,q是。的倒数差，出是%的倒数差，的是的的倒数差，…，以此类推.

（1）先写出计算卬，的，%的算式，在求出它们的值.

（2）求为+/+&的值为.（直接写出答案）

【应用拓展】

设。，6,。都是不为0和1的有理数，将一个数组（。也C）中的数分别按照材料中“倒数差”

的定义作变换，第1次变换后得到数组（％力后），第2次变换后得数组他也,Q），…，第”

次变换后得到数组（4也,，）.

（3）若数组（。也c）确定为-3）.

则4+4+G+42+H+。2\-a9+b9+c9的值为.（直接写出答案）

试卷第14页，共14页

1.是“共生有理数对”，理由见解析

(2)a=-2

3

⑶不一3

(4)是

【分析】本题考查有理数的混合运算、“共生有理数对”的定义，解题的关键是理解题意，灵

活运用所学知识解决问题.

(1)根据题目所给“共生有理数对”的定义进行判断即可；

(1)根据题目所给“共生有理数对”的定义，列出方程求解即可；

(3)设(4,x)是“共生有理数对“，(k2)是“共生有理数对，，，根据题目所给“共生有理数对”

的定义，列出方程求解即可；

(4)分别求出-"-(-加)和fx(-〃2)+l,再根据(加,〃)是“共生有理数对”,得出7〃-〃=nin+1,

即可得出结论.

【详解】(1)解：3xl+l=1,

(2)解:「(a,3)是“共生有理数对”,

a—3—3a+1,

解得：a=-2.

(3)解：设(4,%)是“共生有理数对”，(八2)是“共生有理数对”,

则4一x=4x+1,y-2=2y+l,

3

解得：%=-3,

3

故答案为：|,-3.

(4)解：一〃一(一机)=—〃+加，

—nx(一加)+1=mn+1,

•・•(加,〃)是“共生有理数对”，

答案第1页，共31页

：.m—n=mn+1,

.•.（-〃,一刃）是“共生有理数对“，

故答案为：是.

2・⑴3⑵㈢”;⑶一73

【分析】本题考查了新定义，有理数的乘方，解题的关键是正确理解题目所给圈〃次方的定

义.

（1）根据题目所给圈”次方的定义，进行计算即可；

（2）根据题目所给圈〃次方的定义，将除法改写为乘法，即可解答；

（3）根据题目所给圈〃次方的定义，将除法改写为乘法，将算式化简，再进行计算即可.

【详解】解：（1）由题意得，2③=2+2+2=g,

故答案为：—;

2

⑵（-3）=（一3）+（一3）+（一3）+（一3）=（-3）*（_/（_；卜1_£|=］一£|；

/「1」..1.1

⑶2、2,22,

9个工

2

=—x2x.....x2x2

2'94^2'

=28,

(3)解：22*|一£|一(—2)③一(一3)②

=2?x+g+g+g+[(-2)+(-2)+(-2)]-(-3)+(-3)

=4x3x3+f-1

=36+1)1

=-72-1

=-73.

答案第2页，共31页

3.⑴①②

1

⑵-万

2020

「2021

【分析】本题考查有理数的定义新运算，仔细审题，理解题干中的新定义，熟练掌握有理数

的混合运算法则是解题关键.

(1)按照题干定义进行计算，判断是否满足条件即可;

(2)直接根据题目定义分别计算各项，然后再合并求解即可;

(3)根据定义进行变形和拆项，然后根据规律求解即可.

【详解】⑴解：①。=1,b=2；

1

a®b=—

1221x22

.'-a®b=a*b,贝九①是“隔—数对“；

c471

②〃=_］，b=-

3

9

19a®b=

14，4,

33

：.a®b=a^b,贝②是“隔一数对”；

③a=—1,b=1；

a*b=~---=-2,a®b=---=-1,

-11-1x1

:.a®b手a*b,则③不是“隔一数对”；

故答案为：①②;

(2)解：(-3)*4-(-3)04+(-2023)*(-2023)

±

-1111

4"(-3)X4-2023一-2023

-±3

-1一—L_+o

-34(-3)x4

71

----1----

1212

j_

2；

(3)解：1合2+2③3+304+4㊈5+…+202002021

=1*2+2*3+3*4+4*5+…+2020*2021

答案第3页，共31页

1111111111

++++…+

1223344520202021

1———

2021

2020

2021

4.(1)>；<；<.

(2)Q—2b—c

【分析】本题考查了整式的加减、数轴、绝对值的性质，准确识图，确定〃、6、。的正负

情况和绝对值的大小是解题的关键.

(1)根据数轴确定〃、6、。的正负情况解答即可;

(2)根据数轴确定绝对值的大小，然后化简合并即可.

【详解】(1)解：由图可知，。<0<6<。且,

••・。一6〉0,Q+bvO,a-c<Q,

故答案为：>；<；<.

(2)解：a<O<b<c9

c—b>0,

,:a-c<0,a+b<0,

/.|C—6|+|Q+6]-2|6Z—C|

=c—6+[—(a+6)]2(cQ)

—c—b—a—b—2。+2。

=a-2b-c,

5.(l)b;a;c(从左往右)

(2)>,<,<

(3)2a-36

【分析】本题考查了数轴：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大.也考

查了绝对值.

(1)先比较。与6的大小，再得到。、b、c的大小关系，从而把。、b、c填到数轴上；

(2)利用。、6、c的大小关系和绝对值的意义即可得出答案；

(3)根据(2)得出的结论直接去绝对值，然后相加即可得出答案.

【详解】(1)解：根据已知条件填图如下：

答案第4页，共31页

-

d1MOl

(2)解：；a>0,c>0,|a|<|c|,

：.c-a—|c|-|<7|>0,

b<0,c>0,

：.b-c<0,

,/a>0,b<0,

：.b-a<0,

:.2b-a<0.

故答案为：>,<,<;

(3)解：vc-tz>0,b-c<0,2b-a<0.

|2b—a|+|b—c|一|c—ci\

=—2b+a+c—b—c+a

=2a-3b.

6.(1)1,-1

⑵±2

⑶。或-4

【分析】G)直接代入求解即可；

(2)分°、6同为正和同为负，化简绝对值求解即可；

(3)分a、b、c中有一个小于0,其它两个大于0和三个都小于0,化简绝对值即可求

解.

【详解】(1)解：当。=3时，忖=3=1,

a3

当“=一2时，M=2_=_I，

ci—2

(2)解：由必>0知,分两种情况:

当时，H+H=£+^=1+1=2.

abab

或。<0/<0时，M+H=Z£+Z^=_1-1=_2,

abab

故当湖>0时，回+例的值为±2；

ab

(3)解：由a6c<0知，分两种情况：

答案第5页，共31页

当a、b、c中有一个小于0,其它两个大于。时,

flbabc

ll,\\,H।\\=1+1-1-1=0

abcabc

当a、b、c三个都小于0时，

abcabc

\\+\\,\\,\\_

abcabc

综上，当成<0时，回+回+忖+码的值为o或一4.

abcabc

【点睛】本题考查了绝对值、有理数的四则混合运算，分类讨论并正确求解是解答的关

键.

7.(1)1；-1

(2)2或一2

⑶-1

【分析】此题主要考查了绝对值的意义和有理数的混合运算，

(1)直接将a=3,。=-2代入求出答案；

(2)分别利用a>0,b>0或a<0,b<0分析得出答案；

(3)根据题意得出。，b,。中有两个为正数，一个为负数，设a>0,b>0,c<0代入即

可求解.

aa

【详解】(1)解：当。=3时,则同=1；当。=-2时，则冏=-1

故答案为：1;-1

(2)解：当时，则b同号

…abc

①当a>0,b>0时，时+欧2

ab.

②当a<0,b<0时，时+抑=-2

(3)解：由a+b+c=0,得a+6=-c,a+c=-b,b+c=-a

二.a,b,。中有两个为正数，一个为负数

不妨设a>0,b>0,c<0

答案第6页，共31页

则原式十+#t=T

8.d)-9

⑵-n或-1

⑶M点表示的数是1009,N点表示的数是-1015

【分析】(1)根据题意即可找到对应点的数；

(2)点A到原点的距离是5个单位长度，则点A所表示的数为5或-5,分两种情况计算即

可；

(3)依据M、N之间的距离为2024,并且V、N两点经折叠后重合，M点表示的数比N点

表示的数大，列式求出M、N所表示的数即可.

【详解】(1)解：•・•数轴上数-7表示的点与数1表示的点的中点为：

(-7+1)+2=-3,

•••数轴上数-7表示的点与数1表示的点的对称点为-3,

3—(-3)=3+3=6,-3-6=-9,

••・数轴上数3表示的点与数-9表示的点重合；

(2)解：•.•点/到原点的距离是5个单位长度，则点/所表示的数为5或-5,

■■-A,8两点经折叠后重合，

二当点/表示-5时，-3-(-5)=2,—3+2=-1,

当点/表示5时，5-(-3)=8,-3-8=-11,

-''B点表示的数是-11或-1；

(3)解：•.•”、N之间的距离为2024,并且M、N两点经折叠后重合，

.­,-3+-x2024=1009,-3--x2024=-1015,

22

-：M点表示的数比N点表示的数大，

点表示的数是1009,N点表示的数是T015.

【点睛】本题主要查了数轴的应用，数轴上两点之间的距离，有理数混合运算的应用，准确

计算是解题的关键.

9.(1)3；6

(2)1；0

答案第7页，共31页

⑶点厂表示的数是7]或半27

/八j八、,、一.上心nL-、r6左一6_6k+636k6

(4)点P,。之间的距禺为丁丁或丁丁或丁二+二

上+1K-14+1K-]

【分析】(1)根据题干提供信息进行解答即可;

FR

(2)根据题意得出：砺=西=〃,求出E表示的数即可;

(3)分①若尸在/、2之间，②若尸在2的右侧两种情况进行讨论得出结果即可;

(4)分四种情况进行讨论，①当点尸和点。在之间时，②当点P在42之间，点。

在/点左侧时，③当点。在A8之间，点P在点8右侧时，④当点。在/左侧时，点P

在点8右侧时，分别画出图形，求出结果即可.

【详解】⑴解：•r8=卜3—3|=6,/引一3_(T)|=2,6+2=3,

・••/是5到C的3点,

•••2/=卜3-3|=6,SZ>=|4-3|=1,6+1=6,

・•.8是/到。的6点;

故答案为：3；6.

(2)解：根据题意得:

EAEB

EBEA

EB=EA,

・・•点E表示的数为弓2=0,〃=1;

故答案为：1；0.

(3)解：••・尸是/到2的8点

:.FA=8FB,

①若尸在/、3之间:

则由3—士

8+13

②若/在8的右侧：

贝U尸：3-3-^~3^=—；

8-17

二点尸表示的数是7;或2号7.

(4)解：非为正整数,

答案第8页，共31页

•••点P到点A的距离大于等于点P到点B的距离,

即点P在数轴上一定在点/的右侧,

同理可知，点。在数轴上一定在点8的左侧;

①当点尸和点0在之间时，如图所示:

AQPB

-I।6|表|1i.i.1i1।

-5-4-3-2-101234567

■：AB=6,—

PB

：.PA=",PB」,

左+1左+1

同理，QB=/,

k+1左+1

则尸。=尸/一。/=旦一£6k-6

左+1左+1左+1

②当点尸在之间，点。在/点左侧时，如图所示:

1Q丁1A4iii1P,1B4iii1A

-5-4-3_2_101234567

由①可知，PA=兽,PB=&

k+1k+1

■.-QB^kQA,QB-QA=6,

••0=工，QB6k

则*Q/+-六+M

③当点。在N3之间，点P在点8右侧时，如图所示:

AQBP

11,iii,iji1

-5-4-3-2-101234567

由①可知，@=a，