2024-2025学年人教版九年级数学上学期期中模拟卷（山西专用测试范围：九年级上册第21章-第23章）（全解全析）

2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷

（山西专用）

（考试时间：120分钟试卷满分：120分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准

考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.测试范围：人教版九年级上册第21章-第23章。

6.难度系数：0.7。

第I卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.方程2必=、的解为（）

A.Xj=\,x2—2B.X]=0,=2

D.X]=0,/=~

【答案】D

移项，得2%2一%=0,

提公因式，得x（2x-1）=0,

则x=0或21一1二0,

,.巧=0,x?—

故选：D.

2.中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表

“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

【答案】D

【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；

故选D.

3.关于X的一元二次方程/+7质-2（加+3）=0的根情况是（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.没有实数根D.实数根的个数由加的值确定

【答案】B

【详解】由题意可知：。=1,b=m,c=-2（加+3）=-2俏一6,

/.A=b2-4ac=m2—4xlx（—2m—6）=（m+4）2+8>8

•••方程有两个不相等的实数根.

故选：B.

4.已知点（-3,弘）,（-2,为）是抛物线了=一3/-12x+加上的点，则（）

A.y3<y2<JiB.%<%</C.%<%<%D.y,<y3<y2

【答案】B

【详解】解：抛物线的对称轴为直线：苫=-二旨=-2,

；a=-3<0,

•,.当x=-2时，函数值最大，

又V-3到-2的距离比1到-2的距离小，

%<%<%，

故选：B.

5.如图，△。石。与△48。关于点C成中心对称，AB=3,AC=2,NCAB=90。，则4E*的长为（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【详解】解：•・・△DEC与△力5C关于点C成中心对称，

:・DEC-ABC,

：.DE=AB=3,AC=CD=2,ZCDE=ZCAB=90°,

：.AD=AC+CD=2+2=4,

•*-AE=y/AD2+DE2=5，

故选：A.

6.若64是一元二次方程》2—x—2020=0的两个实数根，贝3。-24+3的值为()

A.2019B.2020C.2021D.2022

【答案】C

【详解】解：・・,/△是一元二次方程一一工―2020=0的两个实数根，

：.a+j3=l,a2-a=2020,

**.—-24+3

=02-戊-2(a+夕)+3

=2020-2+3

=2021,

故选：C.

7.水果店花1500元进了一批水果，按50%的利润定价，无人购买，决定打折出售，但仍无人购买，结果又

一次打折后才售完.经结算，这批水果共盈利500元.若两次打折的折扣相同，设每次打工折，根据题意,

下面所列方程正确的是（）

(台2

A.(1500x50%)=500

B.(1500x50%)。-言2=500

2

C.1500(1+50%)(^)=1500+500

D.15OO（1+5O%）（1-=1500+500

【答案】c

【详解】解：根据题意得：1500(1+50%)令)2=1500+500,

故选：C.

8.已知二次函数y=/-3x+机(机为常数)的图象与x轴的一个交点为。,0),则关于龙的一元二次方程

f-3x+加=0的两实数根是()

A.X]—0,%2~-1B.%]=1，%2=2

C.X]=1,%2=0D.%]=1,x?~3

【答案】B

【详解】解：•••二次函数了=--3x+机(加为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0),

0=1—3+m,

:・m=2,

••—3x+2=0,

(x-l)(x-2)=0,

/.x—1=0,x—2=0,

.・X]—1,%2=2.

故选：B.

9.如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线》=-0.2/+3.5的一部分，若命中篮圈中心，则他与

篮圈底的距离/是()

【答案】C

【详解】解：如图,

把c点纵坐标y=3.05代入J=-o.2x2+3.5中得:

x=±1.5（舍去负值），即08=1.5m,

所以/=AB=2,5+1.5=4m.

故选：C.

10.如图，在△ABC中，ZBAC=60°,。为边/C上的一点，当时，连接即，将线段绕点8

按逆时针方向旋转60。，得到线段5E,连接4E,DE.若/。=6,贝UA/BE的面积的最大值为（）

A.V3B.V2C.—D.迪

24

【答案】D

【详解】解：在/C上截取/尸=N8,连接8/，过8作87，国交E4延长线于“，则乙?7=90。,

E

由旋转性质得ZEBD=60°,BE=BD,

,：NBAC=60°,AF=AB,

**.A4BF是等边三角形，

AB=BF,/AFB=/ABF=60°=ZEBD,

AABE=AFBD,

"BE%FBD(SAS),

：./BAE=ZBFD=180°-ZAFB=120°,

.../ABH=/BAE-ZH=30°,

在中，设/3=2x,则==BH7AB?-AH?=瓜,

AD—6,AF=AB=2x,AD>AB,

AE=DF=6-2x,0<x<3,

*/-V3<0,

...当x=:时，S最大，最大值为28,

24

故选：D.

第n卷

二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

11.美术兴趣小组在中秋节这一天人人相互送一个月饼，共送出56个月饼，美术兴趣小组人数是

【答案】8

【详解】解：设美术兴趣小组有x人,

—1）=56,

解得：x=8,（负值舍去），

•••美术兴趣小组有8人.

故答案为：8.

12.已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表:

X-4-3-115

y0595-27

则满足"2+（6+l）x+c<2的x的取值范围是.

【答案】尤<-3或x>2

【详解】解：由ax?+(6+l)x+c<2得a/+6x+c<-x+2,

由表格可知抛物线的顶点为（T9）,

•••设抛物线的解析式为y=a(x+1)2+9,

将(-4,0)代入得0="-4+1)2+9,

解得a=-1,

••y--(x+1)+9=-x~-2x+8,

y=-x+2

联立

y=一12—2x+8

*=2或x2=-3

解得:

/=°.%=5

.•.4(2,0),5(-3,5),

作出函数y=-x?-2x+8和y=-x+2图象，如图所示:

由图象可得，当x<—3或x>2时，—x?—2x+8<—x+2,即。x~+(6+l)x+c<2.

故答案为：x<-3或x>2.

13.如图，N4cB=90。,ZBAC=30°,将△4BC绕点C逆时针旋转a角(0°<a<90。)，得到AOEC,设CD

与初交于点尸，连接40,当△/£>尸为等腰三角形时，a=.

【答案】40。或20。

【详解】解：：将△N8C绕点C逆时针旋转a角(0°<a<90。)，得到AOEC

AC=CD,ZACD=a,

ZADF=ZDAC=1(1800-a),

NDAF=ZDAC-ABAC=1(180°-

a)-30°,

根据三角形的外角性质，ZAFD=ZBAC+ZDCA=30°+a,

△/DR是等腰三角形，分三种情况讨论，

①/ADF=/DAF时，1(180°-a)=1(1800-a)-30o,无解，

②=时，1(180°-«)=30°+«,

解得夕=40。，

③尸=乙装0时，!(180o-(z)-30o=30o+a,

解得a=20。，

综上所述，旋转角a度数为40。或20。.

故答案为：40。或20。.

14.某单位要对拱形大门进行粉刷，如图是大门示意图，门柱3和3c高均为0.75米，门宽湿为9米，

上方门拱可以近似的看作抛物线的一部分，最高点到地面池的最大高度为4.8米，工人师傅站在倾斜木板

AM±,木板点M一端恰好落在门拱上且到点A的水平距离期为7.5米，工人师傅能刷到的最大垂直高度

【详解】解：以A为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示:

设抛物线的解析式为J=«(x-4.5)2+4.8,

AD=0.75,

.'.£>(0,0,75)

，将点。代入抛物线解析式得，0.75=4.5,+4.8,

解得。=-0.2,

抛物线对应的函数的解析式为y=-0.20-4.5)2+4.8,

将x=7.5代入y=-0.2(x-4.5)2+4.8中，得y=3,

,点“坐标为(753),

设直线OM的解析式为了=kx(k丰0),

将点"(7.5,3)代入y=fcv得，7.5左=3,

k=0.4,

直线。河的解析式为了=0.4x,

设工人能够刷到的最大高度点为E,过E作x轴的垂线交直线于点尸,

设点E的坐标为(m,-0.2(m-4.5)2+4.8),则尸0,0.4"。，

22

;.£F=-0.2(加一4.5)2+4.8-0.4m=-0.2m+lAm+0.75=-0.2(m-3.5)+3.2,

•••师傅能刷到的最大垂直高度是2.4米，

...当EF=2.4时，即-0.2("-3.5)2+3.2=2.4,

解得加1=1.5,m2=5.5,

•.•5.5-1.5=4米，

工人师傅刷不到的最大水平宽度为4米，

故答案为：4.

15.如图，已知正方形48。的边长为3,E、尸分别是/3、3c边上的点，且NED尸=45。，将AZME绕

点。逆时针旋转90。，得到△DCN.若4E=1,则*0的长为.

【答案】I

【详解】解：••・四边形/8CD是正方形

NA=/ADC=/DCB=90。,AB=BC=3

•・•ADAE逆时针旋转90。得到△OCN

ZDCM=ZA=90°,DE=DM,ZADE=ZMDC

ZEDM=ZEDC+ZMDC=ZEDC+ZADE=ZADC=90°

•;NEDF=45。

ZMDF=ZEDF=45°

又•・•ZFCD+ZDCM=90°+90°=l80°

:.F、C、M三点共线

在d)EF和ADMF中

DE=DM

<ZEDF=ZFDM

DF=DF

.△DEF知DMF(SAS)

:.EF=MF

设EF=MF=x

•・•AE=CM=\

AW=SC+CM=3+1=4,EB=AB—AE=3—l=2

:.BF=BM-MF=4-x

22

在尸中，由勾股定理得仍2+3尸2=石尸2,gp2+(4-X)=X2

解得：x=3，:.FM=3.

22

故答案为：—.

三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

16.(10分)解下列方程：

(l)x2-2x=4；

(2)(XT)(X+2)=2(X+2).

【详解】（1）解：，_2X=4,

Z.(X-1)2=5,.........................................................................................................................3分

：.X-1=±45,.............................................................................................................4分

X]=1+石，x2=1-V5...................................................................................5分

(2)：(x-l)(x+2)=2(x+2),

(x-l)(x+2)-2(x+2)=0......................................................................................8分

(x-3)(x+2)=0,...............................................................................................9分

解得再=-2,x2=3.............................................................................................10分

17.(7分)已知抛物线>=2X2-4X+5,解答下列问题：

(1)用配方法将该函数解析式化为了=a(x+”)2+左的形式；

(2)请指出该函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴.

填空：开口方向：,顶点坐标：,对称轴：.

【详解】⑴解：^=2(X2-2X+1-1)+5=2(X-1)2+3...................................................4分

(2)解：'：a=2>0,m=-l,k=3,

,该函数图象的开口向上；顶点坐标是。,3)；对称轴是直线x=l；

故答案为：向上，。,3),直线x=l..............................................................7分

18.(8分)如图，在平面直角坐标系内，已知△NBC的三个顶点坐标分别为/(1,3)、5(4,2)、C(3,4).

+一汹

1111D1

十a一m一以

―：_：_：_：_：_>

012345x

(1)将△/BC沿水平方向向左平移4个单位得△4AG,请画出；

(2)画出ZUBC关于原点O成中心对称的△4鸟。2，并直接写出当，G的坐标；

(3)若△4AG与△4与。2关于点尸成中心对称，则点尸的坐标是.

【详解】(1)如图，△4AG即为所求；...................................3分

(2)如图，即为所求,

比的坐标为（-4,-2）,。2的坐标为（-3,-4）..............................................................................6分

（3）如图，点P的坐标是（-2,0）.

故答案为：（-2,0）..............................................................................................8分

19.（8分）甲商品的售价为每件40元.

（1）若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每件40元进行两次调价，已知该商品现价为每件32.4元.若

该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率；

（2）经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件.已知甲商品售价40元时每月可销售500件，若该商场

希望该商品每月销售额为26250元，且尽可能扩大销售量，则该商品在原售价的基础上应如何调整？

【详解】（1）解：设这种商品平均降价率是X,

依题意得：40（1-耳？=32.4...................................................................................2分

解得：=0.1=10%,X2=1.9（舍去）

答：这个降价率为10%。..........................................3分

（2）设降价了元，则多销售1500+出xio］件，.........................4分

根据题意得（40-y）（500+出*10j=26250,......................................................6分

解得：乂=25,%=5........................................................................................7分

因为尽可能扩大销售量，所以夕=5（舍去）

答：该商品在原售价的基础上，再降低25元.-........................8分

20.（9分）学科实践

问题情境：

某学校举办了校园科技节活动，培养学生的科学探究精神，科学小组的同学自制了一个小型投石机，并在

校园科技节主题活动当天进行投石试验展示.

试验步骤：

第一步：如图，在操场上放置一块截面为AOCO的木板，该木板的水平宽度（OD=5米，竖直高度0=0.5

米，将投石机固定在点。处，紧贴木板OCD的矩形厚木板8OG厂表示城墙;

第二步：利用投石机将石块（石块大小忽略不计）从点/处抛出，石块飞行到达最高点后开始下降，最终落

地，其中点N到地面的高度。4=0.3米，测得8c=0.7米.

试验数据：

科学小组的同学借助仪器得到石块飞行过程中的一组数据：石块飞到最高点尸时离地面的高度也为1.5米,

飞行的水平距离OE为4米.

问题解决：

已知石块的飞行轨迹是抛物线的一部分，以。为原点，OG所在直线为x轴，CM所在直线为y轴，建立平

面直角坐标系.

（1）求石块飞行轨迹对应的抛物线的函数表达式；

（2）在试验时，石块越过了城墙后落地，求城墙的厚度即的取值范围；

拓展应用：

（3）如图，在进行第二次试验前，小组同学准备在OC上与y轴水平距离为2米的范围内竖直安装一支木

杆用于瞄准，为确保木杆不会被石块击中，则这支木杆的最大长度是多少？

【详解】（1）依题意，：石块飞到最高点尸时离地面的高度%为1.5米，飞行的水平距离为4米.且

04=0.3

/.设该抛物线的函数表达式v=a（x-4）2+1.5,

把Z(0,0.3)代入y=a(x-4『+1.5,..................................................................................................1分

/.O.3=ax(O-4)2+1.5,........................................................................................................................2分

解得。=-0.075,

y=-0.075(x-4)2+1.5；............................................................................................................3分

（2）：测得BC=0.7米，CD=0.5,OD=5米，且紧贴木板OCD的矩形厚木板厂表示城墙,

.•.AD_Lx轴，0.5+0.7=1.2（米），

.♦.3（5,1.2）,

把x=5代入夕=-0.075(x-4『+L5,

得出y=-0.075X(5-4)2+1.5=1.425>1.2,.......................................4分

设BF=n,

•••石块越过了城墙后落地，且紧贴木板OCD的矩形厚木板BDGF表示城墙，

.•.尸G=8£>=1.2米，则尸(5+77,1.2),

二把厂(5+77,1.2)代入v=-0,075(x-4)2+1.5,

得1.2=-0.075(5+"-4『+1.5.....................................................5分

二-0.3=-0.075(1+〃『，

解得”=1或者〃=-3(舍去)，

在试验时，石块越过了城墙后落地，求城墙的厚度时的取值范围为0<2尸<1；.......6分

(3):该木板的水平宽度(。。=5米，竖直高度CD=0.5米)，

C(5,0.5),

设线段oc的解析式为y=Ax(O<x<5),

把C(5,0.5)代入y=foc(OWxW5),

得0.5="5,

.二左二0.1,

线段OC的解析式为y=o.lx(o<x<5),

•..在OC上与y轴水平距离为2米的范围内竖直安装一支木杆用于瞄准，

设这支木杆的长度为加，

如图：设木杆的顶端为M

/.W^OAx+m),其中04xV2,

设抛物线到点〃的距离为S,

则s=y—0.5一加二-0.075（X-4）2+1.5-O.lx-m=-0.075x2+0.5x+0.3-m,.......................7分

V-0.075<0,开口向下，

0.510

X一_2x（一0.075）―T取大值，

■：Q<x<2,

.•.把x=2代入s=-0,075%2+0.5x+0.3-m,

得出-0.075x22+0.5x2+03-%=0,此时这支木杆有最大长度，即加有最大值，

即7W=1............................................................................................................................................9分

21.（8分）2）阅读理解:

如图，等边4ABC内有一点P若点P到顶点A,B,C的距离分别为3,4,5,求/APB的大小.

思路点拨：考虑到PA,PB,PC不在一个三角形中，采用转化与化归的数学思想，可以将aABP绕顶点A

逆时针旋转6。1到^ACP，处，此时△ACPNZ\ABP,这样，就可以利用全等三角形知识，结合已知条件，将

三条线段的长度转化到一个三角形中，从而求出NAPB的度数.请你写出完整的解题过程.

（2）变式拓展：请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：

已知如图，aABC中，ZCAB=90°,AB=AC,E、F为BC上的点且NEAF=45。，就雪=冬•跺=邛，求EF的

大小.

【详解】(1)将4ABP绕顶点A逆时针旋转60,到aACP，处，贝lUACP^^ABP

:,PA=PA=3,PB=PC=4

/,或Lq展'=|额期△p,ip是等边三角形

.PP=PJ=3............................................................................................2分

在△/>/>(?中，pp-+pc:=9+15=25=PC:

△尸产C'是RtA

-Z/>PC=90-

■W.....................................................4分

（2）WAABE绕顶点A逆时针旋转90。到aACE，处，则△ACEK^ABE

AE—AE,,BE=CE

根据“SAS”可得4AEF注△.<£p

FE=FE.............................................................6分

在RtaEFC中，

EC：+FC：=EF，

EF2=BE2-CF:=5:+4:=41,£J,二向..............................8分

22.（12分）如图，抛物线y=-/+6x+c与x轴交于A、3两点（A在3的左侧），与了轴交于点N,过A

点的直线/：/=h+"与V轴交于点C,与抛物线y=f2+6x+c的另一个交点为。，已知/（TO）,

。（5,-6）,尸点为抛物线y=-x?+6x+c上一动点（不与A、。重合）.

（1）求抛物线和直线/的解析式；

（2）当点尸在直线/上方的抛物线上时，连接尸工、PD,当△尸4D的面积最大时，求尸点的坐标；

⑶设〃为直线/上的点，探究是否存在点〃，使得以点N、C、X、P为顶点的四边形为平行四边形?

若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

【详解】（1）解：将"（TO）,。（5,-6）代入直线/:"h+力得：

-k+n=O

5左+〃=-6

k=-l

解得:1分

n=-l"

故直线/的解析式为：1;

将/(TO),。(5,-6)代入抛物线解析式得:

-\-b+c=0

-25+56+。=-6'

b=3

解得:

c=4

抛物线的表达式为：y=-/+3x+4；3分

(2)如图，过点尸作轴，交直线/于点。,

由题意设点/”,-»+3/+4),则点。&T-1),

5分

*•,—1</v5,

...当/=2时，取最大值27,

此时尸(2,6)；,7分

(3)在抛物线：y=-/+3x+4中，令x=O,则y=4；在直线/：y=-x-l中，令x=O,则y=T；

，N（0,4）,C（O,-1）,

NC=4-（-1）=5,

①当NC是平行四边形的一条边时，设尸（x,-/+3x+4）,则点

由题意得：I%-力1=5,BP：|—X2+3x+4+x+l|=5,

解得：％=2土内或％=0或%=4（舍去x=0,此时M和C重合），

则点〃坐标为（2+旧,一3-旧）或（2-旧,一3+&可或（4,一5）；........................................9分

②当NC是平行四边形的对角线时,则NC的中点坐标为[。，3],

设点尸（加，-加2+3加+4）,则点一1）,

•・•以N、。、M、?为顶点的四边形为平行四边形，

二•NC的中点即为中点，

m+n3—加2+3加+4+（-〃-1）

222

解得：〃=0或〃=-4（舍去x=0,此时/和C重合），

故点M（-4,3）,............................................................................................................................11分

综上，点M的坐标为（2+何,-3-旧）或（2-旧,-3+巧）或（4,-5）或（-4,3）....................12分

23.（13分）如图1,在Rt/X/BC中，乙4=90。，AB=AC,点。、E分别在边48、4c上，AD=AE,

连接DC，点出、P、N分别为DE、DC、3c的中点.

A

(1)观察猜想：图1中，线段9与PN的数量关系是位置关系是二

(2)探究证明：把石绕点4逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN,BD,CE,判断的形状，并

说明理由；

(3)拓展延伸：把△/。石绕点/在平面内自由旋转，若AD=2,AB=A,直接写出△PMN面积的最大值.

【详解】(1)解：丁点尸，N