2024-2025学年高中数学周练卷3习题含解析新人教A版必修2

周练卷(3)一、选择题(每小题5分，共35分)1．若点M在直线a上，a在平面α内，则M，a，α间的上述关系可记为(B)A．M∈a，a∈α B．M∈a，a⊂αC．M⊂a，a⊂α D．M⊂a，a∈α2．在下列命题中，不是公理的是(A)A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上全部的点都在此平面内D．假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线解析：选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不须要证明的，故选A.3．假如空间中若干点在同一平面内的射影在同一条直线上，则这些点在空间中的位置关系为(C)A．共线B．在与已知平面垂直的平面内C．共线或在与已知平面垂直的平面内D．无法确定解析：点共线或在与已知平面垂直的平面内，都可以使得它们在同一平面内的射影在同一条直线上，所以它们的位置关系是共线或在与已知平面垂直的平面内，故选C.4．已知l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列结论正确的是(A)A．假如l1⊥l2，l2∥l3，则l1⊥l3B．假如l1∥l2，l2∥l3，则l1，l2，l3共面C．假如l1⊥l2，l2⊥l3，则l1⊥l3D．假如l1，l2，l3共点，则l1，l2，l3共面解析：l1∥l2，l2∥l3，则l1，l2，l3可能共面也可能不共面，如三棱柱的三条侧棱，所以B错误；直线的垂直不具备传递性，所以C错误；l1，l2，l3共点也可能不在一个平面内，如三棱锥的三条侧棱，所以D错误，故选A.5.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1A.eq\f(\r(10),10) B.eq\f(\r(30),10)C.eq\f(\r(15),5) D.eq\f(3\r(10),10)解析：连接AD1，D1E，因为AD1∥BC1，所以∠D1AE是异面直线BC1与AE所成的角．在△D1AE中，可以求得AD1＝eq\r(5)，AE＝eq\r(6)，D1E＝eq\r(5)，所以△D1AE为等腰三角形，从而求得∠D1AE的余弦值为eq\f(\r(30),10)，故选B.6．已知在空间四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，且AC＝4，BD＝6，则(A)A．1＜MN＜5 B．2＜MN＜10C．1≤MN≤5 D．2＜MN＜5解析：取AD的中点H，连接MH，NH，则MH綊eq\f(1,2)BD，NH綊eq\f(1,2)AC，且M，N，H三点构成三角形．由三角形中三边关系可得|MH－NH|<MN<|MH＋NH|，即1＜MN＜5.7.在如图所示的正方体中，M，N分别为棱BC和CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为(D)A．30° B．45°C．90° D．60°解析：连接AD1，D1C，BC1.因为M，N分别为BC和CC1的中点，所以C1B∥MN，又C1B∥AD1，所以AD1∥MN，所以∠D1AC即为异面直线AC和MN所成的角．又△D1AC是等边三角形，所以∠二、填空题(每小题5分，共20分)8．如图所示的图形可用符号表示为α∩β＝AB.解析：依据题中的图形可知，它表示两个平面相交于直线AB，可用符号表示为α∩β＝AB.9．在正方体ABCD­A1B1C1D1各个表面的对角线中，与直线A1C异面的有解析：如图，与直线A1C异面的为B1D1，BD，AB1，DC1，BC1，AD110.一个正方体纸盒绽开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.其中正确结论的序号是①③.解析：把正方体的平面绽开图还原成原来的正方体可知，AB⊥EF，EF与MN为异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，所以只有①③正确．11．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是棱BB1，B1C1的中点，若∠CMN＝90°，则异面直线AD1解析：如图所示，连接BC1，则BC1∥AD1，则异面直线AD1与DM所成的角为直线BC1与DM所成的角．∵M，N分别是棱BB1，B1C1∴BC1∥MN.∵∠CMN＝90°，∴BC1⊥MC，又MC是斜线DM在平面BCC1B1上的射影，∴DM⊥BC1，∴直线BC1与DM所成的角为90°，则异面直线AD1与DM所成的角为90°.三、解答题(共45分)12．(本小题15分)已知直线b∥c，且直线a与直线b，c都相交，求证：直线a，b，c共面．证明：∵b∥c，∴直线b，c可以确定一个平面α.设a∩b＝A，a∩c＝B，则A∈a，B∈a，A∈α，B∈α，即a⊂α，故直线a，b，c共面．13.(本小题15分)已知空间四边形ABCD的两条对角线的长分别为AC＝6，BD＝8，AC与BD所成的角为30°，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，求四边形EFGH的面积．解：∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，∴EF∥AC，HG∥AC，且EF＝HG＝eq\f(1,2)AC，∴四边形EFGH为平行四边形．∵AC∥EF，BD∥FG，∴EF与FG所成的角即为AC与BD所成的角，∴∠EFG(或其补角)＝30°，∴S四边形EFGH＝EF×FG×sin∠EFG＝eq\f(1,2)AC×eq\f(1,2)BD×sin30°＝3×4×eq\f(1,2)＝6.14．(本小题15分)在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形，且AB＝BC＝2eq\r(3)，∠ABC＝120°，若异面直线A1B和AD1所在的角为90°，求AA1的长．解：连接CD1，AC.由题意得在四棱柱ABCD­A1B1C1D1A1D1∥BC，A1D1＝BC＝2eq\r(3)，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥CD1，∴∠AD1C为A1B和AD1∵异面直线A1B和AD1所成的角为90°，∴∠AD1C∵在四棱柱ABCD­A1B1C1D1∴△ACD1是等腰直角三角形，∴AD1＝eq\f(\r(2),2)AC.∵底面四边形ABCD是