第06章 一元二次函数-假期晋级利器之初升高数学衔接教材（解析版）

第6章一元二次函数【知识衔接】————初中知识回顾————1、形如的函数叫做二次函数，其图象是一条抛物线。2、二次函数的解析式的三种形式：学科-网10一般式20顶点式，其中顶点为（m，n）30零点式，其中，是的两根。————高中知识链接————二次函数的性质开口方向对称轴直线直线直线顶点坐标()增减性当时，在对称轴左侧，y随着x的增大而减少；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；当时，在对称轴左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴右侧，y随着x的增大而减少；最值当时，当时，当时，=（或用代入法）(1)决定抛物线的开口方向 ①开口向上；②开口向下．(2)决定抛物线与y轴交点的位置①图象与y轴交点在x轴上方；②图象过原点；③图象与y轴交点在x轴下方．(3)决定抛物线对称轴的位置(对称轴：)①同号对称轴在y轴左侧；②对称轴是y轴；③异号对称轴在y轴右侧，简记为：左同右异中为0．(4)顶点坐标．(5)决定抛物线与x轴的交点情况．①△>0抛物线与x轴有两个不同交点；②△=0抛物线与x轴有唯一的公共点(相切)；③△<0抛物线与x轴无公共点．【经典题型】初中经典题型1．已知二次函数（a＞0）的图象经过点A（﹣1，2），B（2，5），顶点坐标为（m，n），则下列说法错误的是（）A．c＜3B．m≤C．n≤2D．b＜1【答案】B．【分析】根据已知条件得到，解方程组得到c=3﹣2a＜3，b=1﹣a＜1，求得二次函数的对称轴为x=，根据二次函数的顶点坐标即可得到结论．2．已知抛物线与轴交于点A，点B，与轴交于点C，若D为AB的中点，则CD的长为（）（A）（B）（C）（D）【答案】D．【解析】试题分析：把y=0代入可得，解得，所以A（-3，0），B（9，0），即可得AB=15，又因D为AB的中点，可得AD=BD=7．5，求得OD=4．5，在Rt△COD中，由勾股定理可得CD=7．5，故答案选D．3．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣1；④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B．点评：本题考查的是二次函数的图象、二次函数的最值、二次函数与不等式，掌握二次函数的性质、正确获取图象信息是解题的关键．学=科网4．二次函数（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，）、点B（，）、点C（，）在该函数图象上，则；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为和，且，则＜﹣1＜5＜．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B．【分析】（1）正确．根据对称轴公式计算即可．（2）错误，利用x=﹣3时，y＜0，即可判断．（3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），列出方程组求出a、b即可判断．（4）错误．利用函数图象即可判断．（5）正确．利用二次函数与二次不等式关系即可解决问题．【解析】（1）正确．∵=2，∴4a+b=0．故正确．（2）错误．∵x=﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，∴9a+c＜3b，故（2）错误．（3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），∴，解得：，∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，∵a＜0，∴8a+7b=2c＞0，故（3）正确．（4）错误，∵点A（﹣3，）、点B（，）、点C（，），∵﹣2=，2﹣（）=，∴＜，∴点C离对称轴的距离近，∴＞，∵a＜0，﹣3＜＜2，∴＜，∴＜＜，故（4）错误．（5）正确．∵a＜0，∴（x+1）（x﹣5）=＞0，即（x+1）（x﹣5）＞0，故x＜﹣1或x＞5，故（5）正确，∴正确的有三个，故选B．高中经典题型1．如图是二次函数图像的一部分，其对称轴是，且过点（－3，0），下列说法：①②③④若是抛物线上两点，则，其中说法正确的是（）A．①②B．②③C．①②④D．②③④【答案】A．∵二次函数图象的对称轴为，∴点（﹣5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1），根据当时，y随x的增大而增大，∵，∴y2＜y1，∴④错误；故选A．2．如果函数的图象经过平面直角坐标系的四个象限，那么的取值范围是．【答案】．3．已知当x1=a，x2=b，x3=c时，二次函数对应的函数值分别为y1，y2，y3，若正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且当a＜b＜c时，都有y1＜y2＜y3，则实数m的取值范围是．【答案】.4．如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得到C6，若点P（11，m）在第6段抛物线C6上，则m=．【答案】﹣1．【分析】将这段抛物线C1通过配方法求出顶点坐标及抛物线与x轴的交点，由旋转的性质可以知道C1与C2的顶点到x轴的距离相等，且OA1=A1A2，照此类推可以推导知道点P（11，m）为抛物线C6的顶点，从而得到结果．学=科网故答案为：﹣1．【实战演练】————先作初中题——夯实基础————A组1．一个二次函数的图象的顶点坐标为（3，-1）与y轴的交点（0，-4）这个二次函数的解析式是（）A． B．C．y=- D．【答案】B．【解析】试题分析：∵二次函数的图象的顶点坐标是（3，－1），∴设这个二次函数的解析式为，把（0，﹣4）代入得，∴这个二次函数的解析式为．故选B．2．如图是二次函数y=﹣x2+2x+4的图象，使y≤1成立的x的取值范围是（）A．﹣1≤x≤3 B．x≤﹣1 C．x≥1 D．x≤﹣1或x≥3【答案】D．3．已知二次函数的图象如图所示，记，．则下列选项正确的是（）A．B．C．D．m、n的大小关系不能确定【答案】A．【解析】试题分析：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴右边，∴b＞0，∵抛物线经过原点，∴c=0，∴a﹣b+c＜0；∵x=1时，y＞0，∴a+b+c＞0，∵c=0，∴a+b＞0；（1）当对称轴时，，===，===，∵a＜0，∴，∴m＜n．4．已知一次函数（k≠0）和二次函数（a≠0）的自变量和对应函数值如表：当时，自变量x的取值范围是（）A．x＜﹣1B．x＞4C．﹣1＜x＜4D．x＜﹣1或x＞4【答案】D．【分析】先在表格中找出点，用待定系数法求出直线和抛物线的解析式，用建立不等式，求解不等式即可．5．如图是二次函数图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：①c＞0；②若点B（，）、C（，）为函数图象上的两点，则；③2a﹣b=0；④＜0，其中，正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B．【分析】①根据抛物线y轴交点情况可判断；②根据点离对称轴的远近可判断；③根根据抛物线对称轴可判断；④根据抛物线与x轴交点个数以及不等式的性质可判断．【解析】由抛物线交y轴的正半轴，∴c＞0，故①正确；∵对称轴为直线x=﹣1，∴点B（，）距离对称轴较近，∵抛物线开口向下，∴，故②错误；∵对称轴为直线x=﹣1，∴=﹣1，即2a﹣b=0，故③正确；由函数图象可知抛物线与x轴有2个交点，∴＞0即＜0，∵a＜0，∴＞0，故④错误；综上，正确的结论是：①③，故选B．考点：二次函数图象与系数的关系6．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；（3）在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．【答案】（1）；（2）（﹣1，0）；（3）﹣1＜x＜4．（2）当y=0时，得，解得x1=2，x2=﹣1，∴点D坐标为（﹣1，0）；（3）图象如图，当一次函数的值大于二次函数的值时，x的取值范围是﹣1＜x＜4．————再战高中题——能力提升————B组1．如图在同一个坐标系中函数和（）的图象可能的是（）A． B． C． D．【答案】D．2．二次函数（）的图象如图，给出下列四个结论：①；②；③；④（），其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B．∵抛物线的对称轴是直线，∴的值最大，即把（m，0）（）代入得：，∴，即，∴④正确；即正确的有3个，故选B．3．如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．（1）求该抛物线的解析式；（2）在（1）中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得△BCD的面积最大？若存在，求出D点坐标及△BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由．（3）在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）D（，），△BCD面积的最大值是；（3）Q（2，3）或Q（，）或Q（，）．试题解析：（1）由，得：，则抛物线的解析式为；（2）设D（t，），过点D作DH⊥x轴，则S△BCD=S梯形OCDH+S△BDH﹣S△BOC==，∵，∴当时，D点坐标是（，），△BCD面积的最大值是；（3）设过点P与BC平行的直线与抛物线的交点为Q，∵P点的坐标为（1，4），直线BC的解析式为，∴过点P与BC平行的直线为，由得Q的坐标为（2，3），∵PM的解析式为x=1，直线BC的解析式为，∴M的坐标为（1，2），设PM与x轴交于点E，∵PM=EM=2，∴过点E与BC平行的直线为，由，得或，∴点Q的坐标为（，），（，），∴使得△QMB与△PMB的面积相等的点Q的坐标为（2，3），（，），（，）．4．如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的对称轴为直线，与y轴负半轴交于C点，与x轴交于A、B两点，其中B点的坐标为（3，0），且OB＝OC．（1）求此抛物线的解析式；学！科网（2）若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点（其中点M在点N的右侧），在x轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）P点的坐标为，的最大值为；（3）Q（－，0）或（，0）或（，0）或（，0）或（1，0）．（2）过点P作y轴的平行线与AG交于点F，求出点G的坐标（2，﹣3），设直线AG为，代入得到，求出方程组的解得出直线AG为，设P（x，），则F（x，﹣x﹣1），PF，根据三角形的面积公式求出△APG的面积，化成顶点式即可；（3）存在．根据MN∥x轴，且M、N在抛物线上，得到M、N关于直线x=1对称，设点M为（m，）且m＞1，得到MN=2（m﹣1），当∠QMN=90°，且MN=MQ时，由△MNQ为等腰直角三角形，得到，求出m的值，得出点M和点Q的坐标；当∠QNM=90°，且MN=NQ时，同理可求点Q的坐标，当∠NQM=90°，且MQ=NQ时，过Q作QE⊥MN于点E，则QE=MN，根据抛物线及等腰直角三角形的轴对称性，得到点Q的坐标．试题解析：（1）设抛物线的解析式为，由已知得：C（0，﹣3），A（﹣1，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为；（3）存在．∵MN∥x轴，且M、N在抛物线上，∴M、N关于直线x=1对称，设点M为（，）且，∴，当