2024年北京和平街一中高一（上）10月月考数学试题及答案

PAGE14页和平街第一中学高一数学月考试题(2024.10)（考试时间：90分钟，满分150分）第I卷（选择题，共40分）一、单选题（每小题4分，共40分）1．设集合A2,，B，则AB（ ）A．1,

C．0,1,2,

D．1,2,3pRx2

10，则命题p的否定为（ ）0 0 40 0 xR,x2

100 0 40 0

xR,x2

100 0 40 0 C．xR,x2x104

D．R,x2x1043．已知全集U2,4,，A2,4，B5，则下列结论正确的是（ ）A．BA

B．A

C．AB

D．AB4．设集合A{x,y},Bx2，若AB，则2xy等于（ ）A．0 B．1 C．2 5．已知x0，则x2的最小值为（ ）x22A． B．2 C．2 D．422若a，b是任意实数，且ab，则（ ）a2b2

b1a

ab1

ab>07x22x30的解集为（A．3）B．3,1．()()8．“0x2”是“1x3”的（）D．())A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．已知集合A，Bb20,bZ，AB，则实数a的值为（ ）A．1 B．2 C．1或2 D．2或310．设集合AM，最小元素为m，记AXAMm0.是集合N*的元素个数均不相同的XAX

X

X

60，则n的最大值为（ ）A．10 B．11 C．12 D．13第II卷（非选择题 共110分）二、填空题（每小题5分，共25分）.已知函数fx4x3，则f3 12．设x、y满足xy10，且x、y都是正数，则xy的最大值为 ．13．满足A的集合A的个数为 个.14．已知集合AB2a,若AB2，则a．15．函数yax2bxc(a0)的图像如图所示，则不等式ax2bxc0的解是 ，不等式axb0的解集是 .cxa三、解答题（六小题，共85分）1（14）Ax|x24x3，集合Bx|x．简合A求AB，AB． (2)全集UR求BU)．（14分）完成如下三个小题并写出必要过程（1）Mx2x3Nx1x4M，N的大小.已知abcdacbd；xRAxx1Bx2AB的大小.1（14）Ax4x，Bx3x，Cx|m1x2mmR.(1)ABAB；若CAB，求实数m的取值范围1（14）fxx24x3若m1fx0的解集；fx0恒成立时，求m的取值范围；fx0xxx2x23x

0，求m的取值范围.12 1 2 1220.（本题14分）设一个矩形长为x，宽为y.P(xyyx4上时，求该矩形面积的最大值.P(xyy

8 x1上时，求该矩形周长的最小值.2x1 2 5时，求该矩形面积的取值范围.2（15）设集合AN*Bxyx,y,xCxyx,yB,xy，分别用A,B,C表示集合A,B,C中元素的个数．(1)若A1,2,3,4，求集合C；(2)若A5，求B的所有可能的值组成的集合；(3)若A4，求证：C9PAGE19页参考答案：题号12345678910答案CDBCCDAACB1．C【分析】根据集合交集运算求解即可.【详解】AB0,1,2,3,故选：C.2．D【分析】根据特称命题的否定是全称命题可得答案.pRx2

10，0 0 40 0 则命题p的否定为xR,x2x10.4故选：D.3．BABCD选项的正误.【详解】已知全集U1,2,3,4,5，A2,3,4，B3,5.对于A选项，BA，A选项错误；对于B选项，ðUA1,5，B选项正确；CAB，C选项错误；DAB选项错误.故选：B.4．Cx0y0y0x1【详解】由AB，得x0或y0.当x0时，x20，不满足集合中元素的互异性，舍去；当y0时，x2x，则x0或x1，由上知x0不合适，故y0，x1，则2xy2.故选：C.5．C【分析】根据给定条件利用均值不等式直接计算作答.x2xx0xx2xx

22，当且仅当x2，即x 时取“=”，2x22所以x2的最小值为2 .2x故选：C6．D【分析】利用不等式性质一一判定选项即可.【详解】若a0b1a2b2，故A错误；若a1b2b21，故B错误；a若a0b1ab1C错误；显然ababbb0D正确.故选：D7．A【分析】根据一元二次不等式的解法计算可得.x22x30，即x1x30，解得1x3，x22x30的解集为3.故选：A8．A【分析】根据集合的包含关系即可判断.【详解】因为x0xx1x3，所以0x2是1x3的充分而不必要条件.故选：A.9．C【分析】首先解一元二次不等式即可求出集合B，再根据AB求出a的值.【详解】由b23b0，即bb30，解得0b3，Bb23b,bb0b,bAAB，所以a1或a2故选：C.

1,2，10．BnXAn

Mm（nN*）尽量小，结合已知及集合的性质有n最大时X1

X

X

A...XAn

n(n1)，进而分析n的取值.2【详解】由题设A1，A2，A3，…，An中都至少有一个元素，且元素个数互不相同，n要使n最大，则各集合中XAn

Mm（nN*）尽量小，所以集合A1，A2，A3，…，An的元素个数尽量少且数值尽可能连续，1X1

0,XA2A

1,XA3A

2,...,XAnA

n1，有X1

X

X

A...XAn

n(n1)，2当n11时，XAXA

XA...XA

5560，1 2 3 n当n12时，XAXA

XA...XA

6660，1 2 3 n只需在n115n的故选：Bn【点睛】关键点点睛：注意n最大则各集合中XAn

Mm（nN*）尽量小，并求出该情况下特征值之和关于n的公式，再分析其最大取值.11．15【分析】代值求解可得.【详解】

fx4x3，f(3)43315.故答案为：15.12．4【解析】根据子集的定义即可得到集合A的个数；【详解】1A1,2,3，A或2或或，故答案为：4.13．25【分析】由基本不等式即可求解.

xy2xyxy

25，当且仅当xy5时等号成立，2 xy故答案为：2514．2【分析】根据交集的定义，结合集合中元素的互异性进行求解即可.2a2时，a1B,a舍；当a2a2时，可得a,a1舍，此时，B4,2，满足条件，所以a2．故答案为：215． x|1xx|1x3 2 a，b，caxbcxaax2bxc0的解集为x|1x；

即可.abc从而

且a0，解得b3a且c2a(a0)，4a2bc0,axb0x30，等价于x32x1＜0

，解得1x3；cxa

2x1 2故答案为：x|1x2；x|1x3. 2 16题．(1)ABx|2x3，AUBx|x1；(2)x|x3﹒【分析】(1)解二次不等式得集合A，利用交并运算的定义求解即可；先求补集A，进而求交集即可．（1）Ax|x24x3x|1x，∴ABx|2x，AUBx|x．（2）∵ðUA{x|x1或x3}，∴BUAx|x．17题．MN【分析】直接作差比较大小即可.MNx2x31x46MN

x25x42018题．(1)ABx4x6，ABx3x5(2m2或2m2.【分析】（1）根据集合的交并运算求得AB，AB；（2）根据C是否为空集进行分类讨论，由此求得m的取值范围.（1）Ax4xBx3x，∴ABx4x，ABx3x5.（2）ABx3x5，当C时，m12m1，∴m2．m2当C时，m13，∴2m2．2m15m2或2m2.419．(1)3,(2)0,34 (3)m15或m016【分析】（1）把m1代入，结合二次不等式的求解方法可得答案；讨论二次型函数的系数，结合判别式可得答案；利用韦达定理及限制条件可得答案.当m1x24x30，解得3xfx0的解集为31.（2）当m0时，f(x)30恒成立；当m0时，fx0恒成立，则有16m212m0，解得0m3，4当m0fx0显然不恒成立.m的取值范围是03.4 4（3）fx0有两个实数根，所以m016m212m0，解得m3或m0，4xx4,xx3，1 2 121 2 1x2x23x1 2 1

m1 2 10，所以xx25x1 2 1

0，16150解得m15或m0，m 16综上可得m15或m0.1620.待完成21．(1)C12,15,18,20,21,24,28,30,35,42(2)7,8,9,10证明见解析【分析】（1）根据新定义直接求解B,C;令a2a4，由和集合得到数的大小关系，再讨论大小关系分类求解；记A集合为1,2,3,4，且1a23a4B有B6C9B5C7C（（由A,,,B,,,,，C12,15,18,20,21,24,28,30,35,42．2当A5，不妨记A集合为1,2,3,4,5，且令a2a3a4a5，则必有a2a2a2a4a4a4和中剩下的a4,a1a5,a2a5a4a5a2a5，并且a1a3a1a4,a2a5a3a5，下列有四种可能：一是a1a4a2a3,a1a5a2a4,a2a5a3a4，则B7；二是a1a4与a2a3,a1a5与a2a4,a2a5与a3a4三对数有两对相等，另一对不相等，则B8；三是a1a4与a2a3,a1a5与a2a4,a2a5与a3a4三对数有一对相等，其它两对不相等，则B9；四是a1a4与a2a3,a1a5与a2a4,a2a5与a3a4三对数全不相等，则B10；综上述，B的所有可能的值组成的集合为7,8,9,10.3当A4，不妨记A集合为1,2,3,4，且1a23a4，则必有a2a3a2a3a2a4a3a4，和中剩下的元素为a1a4，满足a1a3a1a4a2a4，所以B有两种可能，当a1a4a2a3，B6；当a1a4a2a3，B5；ⅰ）当B6，不妨记这6个元素为b1,b2,b3,b4,b5,b6，且让b1b2b3b4b5b6，则必有b1b2b1b3b2b3b2b4b3b4b3b5b4b5b4b6b5b6

，所以C9；ⅱ）当B5，a1a4a2a3，不妨记a2a2a3a2a4a4，则，则必有b4b，积中剩下的满足C7，下面先证明C7．C7，由，则，，

q，由bbbbaaaa

，则bbq4bqbq3，1 5 2 4 1 2 3 41

1 1 1 1所以1q4qq3，则q1，与事实不符，所以C7．下面再证明C8．由上述分析知：要使C8，积中剩下的b1b4,b1b5,b2b5满足b1b4b1b5b2b5，必有两对积与b1b2,b1b3,b2b3,b2b4,b3b4,b3b5,b4b5七对中的两对相等，有如下五种情况：一是b2b3b1b4，则可推得b2b4b5，令其比值为t，则t1，bbb

b b bb24 15b

1 3 4于是b5tb4,b2tb1，由b1b5b2b4a1a2a3a4，则1414，则t140二是b2b3b1b4，则可推得b2b4,b3b5，令b2b4t,b3b5t，bbb

b b b

b b 1b b 2b34 15b

1 3 1

1 3 1 4显然t2t11，由b1b5b2b4a1a2a3a4，则b1t2b4t1b1b4，所以t21b4t11b1，而显然t21b4t11b1，