2024年北京延庆一中高二（上）10月月考数学试题及答案

2024北京延庆一中高二10月月数 学I卷（选择题）一、单选题（10440分）在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，其终边经过点2)，则sin（ ）25

5

12 D.2a(k2bk，且a与bk（）222A. B.0 C. D.222ABCaB

7，则A（ ）4 A. B.6 3

C.56

D. 或6 6已知cos3，且角，的终边关于y轴对称，则cos（ ）35353A. B.5

C.4 D.45 5设lm是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是A.若lm，m，则l B.若l，l//m，则mC.若l//，m，则l//m D.若l//，m//，则l//m3在 ABC中，Aπ,BC2，则“2”是“ ABC的面积为33

”的（ ）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件ABCDABBC2所成的角为30，则该长方体的体积为23A.8 B.62 C.8 D.8232已知函数fxtsinxcosx(t0)的最小正周期为π，最大值为象（ ）2xπ对称4

fx的图π 关于点 4,0对称 xπ对称8关于点π,0对称8 9.在 ABC中，𝐴𝐶=3,𝐵𝐶=4,𝐶=90．P为 ABC所在平面内的动点，且PC1，则⋅的取值范围是（ ）A.[5,3]

B.[3,5]

C.[6,4]

D.[4,6]在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，已知四棱锥SABCD为阳马，且ABAD，SD底面ABCD．若E是线段AB上的点（不含端点，设SE与AD所成的角为，SE与底面ABCD所成的角为，二面角SAED的平面角为，则（ ）A.C.

B.D.II卷（非选择题）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）向量a,b满足|a2,|ba与b的夹角为π，则|a| ．3在 ABC中，点M，N满足AM2MC，BNNC．若MNxAByAC，则xy .已知是任意角，且满足cosksin，则常数k的一个取值为 ． 6 楔体形构件在建筑工程上有广泛的应用．如图，某楔体形构件可视为一个五面体ABCDEF，其中面ABCD为正方形．若AB6cm，EF，且EF与面ABCD的距离为2cm，则该楔体形构件的体积为 .2ABCDP上的动点，给出下列四个结论：①

BP；21②△APC面积的最小值是 ；21③只存在唯一的点P，使BD1平面APC；233④当BP 时，平面ACP//平面其中所有正确结论的序号是 233三．解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）PABCDABCDPDABCDPDABEPB的中点.BDPC所成角的大小；BADE的距离．f(x)sin2x2sinxcosxcos2x．f(x的最小正周期及0π上的最值： 2f(x在(0mm的取值范围．1在 ABC中，cos2A求A的大小；求 ABC的面积．

,a7,c8且C为锐角．求：2ABEABCDABABC60MAB的中点.ABEC的余弦值；ECPAPABE所成的角为45EP的值；若EC不存在，说明理由．13如图，三棱柱ABC中，四边形是边长为4的菱形，ABBC ，点D为棱AC13上动点（A，CBD11E．//DE；若AD3，从条件①、条件②、条件③中选择两个条件作为已知，求直线CDABC所成AC 4角的正弦值．

1 1121条件①：A1B21条件②：二面角A1ACB为直二面角

2π.3定义向量OMa,b的“伴随函数”f(xasinxbcosxf(xasinxbcosx的“伴随向量”为OMa,b．ON写出函数f(x)sinxπsinx的“伴随向量”为ON，并求 ；ON 3已知

OMON1,OM的“伴随函数”为f(x),ON的“伴随函数”为OMON1,OMOPOMON(0,0)，且OP的伴随函数为h(x)，其最大值为p．①若1，求p的取值范围；②求证：向量OMON的充要条件是p||．参考答案I卷（选择题）一、单选题（10440分）【答案】A【分析】根据三角函数的定义即可求解.yx2y225【详解】由三角函数的定义可知sin yx2y2255故选：A【答案】D【分析】相反向量是共线向量，根据共线向量的概念求解即可.【详解】由题可知a与b是共线向量且方向相反，所以ab,0且b0,k2所以2k，解得k2故选：D.【答案】A

2,k (舍去)【分析】先求出sinB，再借助正弦定理求解即可.717172 4

a b 2 3【详解】由B 得sinB4sinA1ac，故ACA

4.

sin

sinB，sinA

3，解得42 6故选：A.【答案】B【分析】首先根据对称性，求,的关系，根据诱导公式，即可求解.【详解】因为角，的终边关于y轴对称，所以π2kπ，kZ，即π2kπ，coscosπ2kπcos3.5故选：B【答案】B【分析】利用l,可能平行判断AB，利用l//m或lm异面判断Cl与m可能平行、相交、异面，判断D.【详解】lm，m，则l,可能平行，A错；l，l//m，由线面平行的性质可得m，B正确；l//，m，则l//m，l与m异面；C错，l//，m//，l与m可能平行、相交、异面，D错，.故选B.【点睛】本题主要考查线面平行的判定与性质、线面面垂直的性质，属于中档题.直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体、现实实物判断法（如墙角、桌面等、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.3【答案】C3【分析】利用三角形面积公式以及余弦定理可判断“2”和“ ABC的面积即得答案.【详解】由已知在 ABC中，Aπ,BC2，33若2，则 ABC为正三角形，故S 122sinπ ，3

”之间的逻辑推理关系，ABC 2 33若 ABC的面积为3

SbcsinπABC2 3ABC

3,bc4，a2b2c22bccosA,即4b2c2bc,(bc)24,bc4解得bc22，3所以“2”是“ ABC的面积故选：C3【答案】C

”的充分必要条件，ABCD，利用题中条件，得到AC1B

，根据AB2，求得3BC123

，可以确定CC12

，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积.2【详解】在长方体ABCDA1B1C1D1中，连接BC1，2根据线面角的定义可知AC1B30，3223

，从而求得2 ，22所以该长方体的体积为V222 82，故选C.22【点睛】该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.【答案】C【分析】先利用辅助角公式化简，再根据周期性求出，根据最值求出t，再根据正弦函数的对称性逐一判断即可.fxtsinxcosx因为函数的最小正周期为π，所以2ππ，解得2，

t21sinx，其中tan1，t2因为函数的最大值为 ，2t22所以 ，解得t1（tt22fxsin2x2x

πsin2x ， 4 因为fπ 2sinπ1， 4 4 xπ

π 所以函数图象不关于直线

4对称，也不关于点

4,0对称，故AB错误；8因为fπ8

2sinπ ，222π

π 8 所以函数图象关于直线x 对称，不关于点 ,0对称，故C正确，D错误.8 故选：C.【答案】DPos,sin，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则C0,0，A3,0，B0,4，因为PC1，所以P在以C为圆心，1为半径的圆上运动，设Pcos,sin，0,2，所以=(3co𝜃−sin𝜃，=(−cos𝜃4sin𝜃，所以⋅=(−co𝜃)×(3co𝜃)+(4sin𝜃×(−sin𝜃)=cos2𝜃−3cos𝜃−4sin𝜃+sin2𝜃=1−3cos𝜃−4sin𝜃3 4=1−5sin(𝜃+𝜑)，其中sin ，cos ，5 5因为1sin1，所以−4≤15sin(𝜃+𝜑)≤6，即⋅∈−4,6；故选：D【答案】ASEADABCDSAED的平面角，再推理计算作答.SABCDEAB上的点(不含端点)EEF//ADCDF，连接DE，SF，如图，则SEF是SE与AD所成的角，即SEF，因SD底面ABCD，则SED是SE与底面ABCD所成的角，即SED，ADD而AB底面ABCD，则SDAB，又ABCD是长方形，即ADAB，而ADDSD,AD平面SAD，则AB平面SAD，又SA平面SAD，即有SAAB，于是得SAD是二面角SAED的平面角，SAD，RtSAD中，tantanSADSD，RtSED中，tantanSEDSD，AD CDD由SD底面ABCD，EF底面ABCD可得SDEF，而ADCD，则有EFCDDSD

，SD,CD平面SCD，则EF平面SCD，又SF平面SCD，有EFSF，tantanSF

SF，EF ADADEDSDSFSDSD

，因此，tantantan，而正切函数在

(0, 递增，所以.故选：A

ED AD AD 2第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）【答案】2【分析】先求|a2b|2，即可得解.【详解】|a2b|2a24ab4b24421144，2所以|a2b|2.故答案为：2.1【答案】3【分析】由已知得MNMCCN1AC1CB，由此能求出结果．3 2【详解】解： 在ABC中，点M，N满足AM2MC，BNNC，MNMNMCCN1AC1CB1AC1AC1(ABAC)3 21AB1AB1AC2 6xAByAC，x1，y1，2 6xy111．2 6 31故答案为： ．3【点睛】本题考查代数式求值，解题时要认真审题，注意平面向量加法法则的合理运用，属于基础题．【答案】3（答案不唯一）【分析】利用诱导公式，求得k的取值集合.【详解】

,满足cosksin， 6 k mZk312mmZ，6 2当m0时，k3.故答案为：3（答案不唯一）【答案】30cm3【分析】作辅助线，将五面体分割为三棱柱与四棱锥，再利用锥体与柱体的体积关系计算该几何体的体积．ABCDEFDCFEABFE都为平面四边形.ABDC的中点GHEGEHGH，ABCDAB//DC，ABEFCDDCEFCD，所以AB//平面EFCD，又平面EFCD平面ABFEEF，AB平面ABFE，AB//EF，因为GHABDCAB6cmEF，EF//GBEFGB，则四边形EGBF为平行四边形，同理四边形EHCF也为平行四边形.则EG//FB，EG平面EGH，FB平面EGH，所以FB//平面EGH，同理FC//平面EGH，又FB FCF且FB平面FBC，FC平面FBC，FBC//EGHHGBC也是平行四边形，EGHFBC为三棱柱，已知EF与面ABCD的距离为2cm，即点E到平面ABCD的距离h2cm.E

13

h1ADAGh163212cm3；3 3又V三棱柱EGHFBC3V三棱锥BEGH3V三棱锥EBGH31V

3V

31218cm3；2 四EAGHD 2 EAGHD 2所以该五面体的体积V四棱锥E

三棱柱EGH

121830cm2．故答案为：30cm3.【答案】①③④AC判断①；求出△APC判断④.【详解】①连接BD，在正方体ABCDA1B1C1D1中，DD1平面ABCD，AC平面ABCD，则ACDD1，1又ACBD,BD D，BD平面，平面，1AC，则

BP，①正确；②设BD交AC于E，连接EP.由EP平面BDD1B1，得ACEP，

APC

1ACPE2

2PE，23在Rt△BDD1中，当PEBD1时，PE最小，23BD2

，2，2 ，sin

3，3此时PEBEsinDBD

2 3 6，1因此△APC面积的最小值为

3 32 623，②错误；3 3ACAC，ACAAC，P，由于过一点A，233ACP2332④当BP 时，在BPE中，BE ，2cosDBD1则PE

6，3BP2BP2BE22BPBEcosPBE

6，(2(233)222233263即PE2BP22BE2，则PEPB，ACPBACPEEACPE，PB，由①同理可知

B11AD11

，，且A1C1平面A1C1D，A1D平面A1C1D，ACP//故答案为：①③④.三．解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）π（1）3（2）22【分析】（1）建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量法计算异面直线所成角；（2）利用点到平面距离向量公式直接计算即可.【小问1详解】以点D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系.由题意D0,0,0，𝐴(1,0,0)，B1,1,0，C0,1,0，𝑃(0,0,1)，E1,1,1，222 222设直线BD与直线PC所成的角为，因为BD(1,1,0)，PC(0,1,1)，12122BDPCBDPCcos ，2π所以直线BD与直线PC所成角为 3【小问2详解】

DE

111因为DA(1,0,0)，PC(0,1,1)，DAPC10010(10，DEPC0111DEPC012 2 2

(, ,)，222则PC(0,1,1)为平面ADE的一个法向量，设点B到平面ADE的距离为d，则d为向量DB在向量PC(0,1,1)上的投影的绝对值，DBPC122由DB0)，得DBPC1222所以点B到平面ADE的距离为2.22（1）Tπ；最大值为23π

，最小值为1（2）0m8【分析】（1）应用二倍角余弦公式、辅助角公式可得f(x)求最小正周期和最值；（2）令2mππ，可得m的取值范围．4 2【小问1详解】根据题意，

2sin(2xπ)，根据正弦函数的性质即可4f(x)cos2xsin2xsin2xsin2xcos2x∴f(x)的最小正周期T2ππ；2x0,π，2xππ,3π，sin(2xπ)，42

4

4 4则2sin(2xπ)1，即12 4

f(x) ，22∴函数f(x)在区间0,π上的最大值为22

，最小值为1； 2【小问2详解】f(x)在(0m单调递增，令2mππ，得0m3π.4 2 8π（1）33（2）103【分析】（1）根据大角对大边、小角对小边可知A的范围，进而可知2A的范围，由cos2A1即可得2到角A的值；（2）根据正弦定理求出sinC，进而可知cosC，所以可求sinB，再利用三角形的面积公式求解即可.【小问1详解】ac,所以Aπ,所以2A0π,由cos2A10得2Aππ 2 2 2 所以2A2π,Aπ.3 3【小问2详解】a c

7 8 437由正弦定理sinAsinC,得sinπ sinC,所以sinC ,73因为C为锐角,所以所以ABC存在且唯一确定.因为ABCπ,

1,1sin1sin2C所以sinBsinACsinCπ1sinC

3cosC143

3153 3

2 2 2 7 2 7 14

1acsinB17853103.2 2 14【答案（1） 55（2）EP2EC 3（1）EMMC的夹角公式计算得到答案；APn（2）假设在线段EC上存在点P，使得直线AP与平面ABE所成角为45，求出AE和EC，设APnEPEC，求出AP，根据直线与平面ABE所成的角为45，根据.【小问1详解】MCEAEBMABEMAB，ABEABCDABEABCDABEMABE，EMABCDMCABCDEMMC，ABCMCAB建立如图所示空间直角坐标系，则M(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,0,0)，C(0,3,0)，E(0,0,3)，

，求出所以BC(1,3,0)，BE(1,0,3)，m(x,y,z)BCE的一个法向量，则mBCxmBEx

3y0，3z0z1x

3，y1，所以m(3,1,1)，由y轴与平面ABE垂直，所以n(0,1,0)是平面ABE的一个法向量，mn 5所以m,n ，|m||n| 5所以二面角ABEC的余弦值为 5；5【小问2详解】假设在线段EC上存在点P，使得直线AP与平面ABE所成角为45，AE0,3)，EC(0,3,

3)，设EPEC(0,3,3)(01)，3则APAEEP3, 3)，3直线AP与平面ABE所成的角为45，APn| |12APn| |12362222因为0≤≤1，所以 ，3ECPABE所成角为45EP2.EC 3（1）证明见解析；（2）答案见解析.（1）////即可；（2）选①②，取AC中点O，连接BO，A1O，即可得到BOAC，由面面垂直的性质得到BO平面BOAO空间向量法求出线面角的正弦值；AC中点OBOAC，根据面面垂直的性质得到ABCOBBOAC出线面角的正弦值；选①③，连接A1C，取AC中点O，连接A1O，BO，依题意可得A1OAC，再由勾股定理逆定理得到A1OOB，即得到A1O平面ABC，即可建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值.【小问1详解】ABC//，所以BB1//平面ACC1A1，DEB1BDE//DE.2详解】AC中点OBOBOACBO3，ACBABC，因为面ABC面ACC1=AC，BO平面ABC，所以BO面ACC1，，BOOBABC，OB，21AB213由AB ，则21AB2131 1故可以以O为原点，以OBOCxyz轴建立空间直角坐标系，A00023B30323C00，C10,4,23,D0,1,0，3,2,0023023，设面BAC的一个法向量为nx,y,z，则n1131210 ，11 1 1

nC123103令1=21,1 ，故n,, 3设直线C1D与面所成角为，315421n15421nC1DnC1D则sincosn,C1D= 28，521所以直线CD与面BAC所成角的正弦为 ；5211 1128若选②③：连接A1C，取AC中点O，连接A1O，BO，在菱形ACCA中CCA2πAACπ，11 1 3 1 3所以△A1AC为等边三角形.又O为AC中点，所以A1OAC，ACBABC面ABC面ACC1=AC，平面ACC1，所以A1O平面ABC，因为OB平面ABC，故A1OOB，又ABBC，所以BOAC.故可以以O为原点，以OBOCxyz轴建立空间直角坐标系，A00023B30323C00，C10,4,23,D0,1,0，3,2,0023023，设面BAC的一个法向量为nx,y,z，则n1131210 ，11 1 1

nC123103令1=21,1 ，故n,, 3设直线C1D与面所成角为，315421n15421nC1DnC1D则sincosn,C1D= 28，521所以直线CD与面BAC所成角的正弦为 ；5211 1128AC中点OBOBOACBO3，又在菱形ACCA中CCA2πAACπ，所以△AAC为等边三角形.11 1 3 1 3 1又O为AC中点，所以A1OAC，则AO23，21AO21而 21AO21故可以以O为原点，以OBOCxyz