数学课堂探究：2离散型随机变量的均值与方差（第2课时）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一求离散型随机变量的方差求离散型随机变量的方差的步骤:（1）列出随机变量的分布列;(2)求出随机变量的均值；(3）求出随机变量的方差．【典型例题1】袋中有20个大小相同的球,其中标记0的有10个，标记n的有n个(n＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球．ξ表示所取球的标号．(1)求ξ的分布列、期望和方差；（2)若η＝aξ＋b，E(η）＝1,D(η）＝11,试求a，b的值．思路分析:（1)根据题意，由古典概型概率公式求出分布列，再利用均值，方差公式求解．（2）运用E(η)＝aE(ξ）＋b，D（η)＝a2D（ξ)，求a，b.解：（1)ξ的分布列为：ξ01234Peq\f（1，2)eq\f（1,20）eq\f(1,10）eq\f（3，20）eq\f（1，5）则E(ξ）＝0×eq\f(1,2）＋1×eq\f（1,20)＋2×eq\f（1，10）＋3×eq\f(3，20）＋4×eq\f(1，5)＝1.5。D（ξ)＝（0－1.5）2×eq\f(1，2）＋（1－1。5）2×eq\f(1,20)＋（2－1。5）2×eq\f(1，10)＋（3－1.5）2×eq\f(3,20）＋（4－1。5）2×eq\f（1，5）＝2。75。（2)由D（η）＝a2D（ξ），得a2×2.75＝11，得a＝±2.又E（η）＝aE(ξ）＋b，所以,当a＝2时，由1＝2×1。5＋b，得b＝－2；当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4。所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝2,,b＝－2，)）或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝－2，，b＝4.)）规律总结求离散型随机变量的方差的关键是列分布列，而列分布列的关键是要清楚随机试验中每一个可能出现的结果．同时还要能正确求出每一个结果出现的概率．探究二离散型随机变量的方差的应用离散型随机变量的期望反映了离散型随机变量取值的平均水平，而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．因此在实际决策问题中，需先运算均值，看谁的平均水平高，然后再计算方差,分析谁的水平发挥相对稳定．当然不同的情形要求不同，应视情况而定．【典型例题2】2012年4月1日至7日是江西省“爱鸟周”，主题是“爱鸟护鸟观鸟，共享自然之美”．为更好地保护鄱阳湖候鸟资源，需评测保护区的管理水平．现甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且候鸟的种类和数量也大致相等，两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：X0123P0.30。30.20.2Y012P0。10。50。4试评定这两个保护区的管理水平．思路分析：要比较两个保护区的管理水平,要先比较两个保护区的违规事件的平均次数，然后比较其稳定性，即方差．解：甲保护区内的违规次数X的数学期望和方差分别为E（X）＝0×0.3＋1×0.3＋2×0。2＋3×0.2＝1。3,D（X）＝(0－1。3）2×0.3＋（1－1。3)2×0。3＋（2－1。3）2×0。2＋（3－1.3)2×0.2＝1.21.乙保护区内的违规次数Y的数学期望和方差分别为E（Y）＝0×0。1＋1×0。5＋2×0。4＝1.3,D（Y）＝（0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0。5＋（2－1。3)2×0。4＝0.41。因为E（X）＝E(Y），D(X）＞D（Y),所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区内的违规事件次数相对分散和波动较大，乙保护区内的违规事件次数更加集中和稳定．相对而言，乙保护区的管理更好一些．规律总结在解决此类问题时，应先比较均值，若均值相等，再比较方差，方差较小的数据较稳定．探究三两点分布、二项分布的方差（1）如果随机变量X服从两点分布，则其方差D(X）＝p（1－p)（p为成功概率）．(2)如果随机变量X服从二项分布即X~B(n,p）,则方差D（X）＝np(1－p)直接代入求解,从而避免了繁杂的计算过程．【典型例题3】一出租车司机从某饭店到火车站途中有六个交通岗,假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是eq\f(1，3）.(1)求这位司机遇到红灯数ξ的期望与方差；(2）若遇上红灯,则需等待30秒，求司机总共等待时间η的期望与方差．解：（1)易知司机遇上红灯次数ξ服从二项分布，且ξ～Beq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(6，\f(1,3）））,∴E（ξ）＝6×eq\f(1，3）＝2，D(ξ)＝6×eq\f(1,3）×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（1－\f（1,3）))＝eq\f（4,3）.（2）由已知η＝30ξ，∴E（η）＝30E（ξ)＝60，D（η)＝900D(ξ）＝1200。规律总结在解决有关均值和方差问题时，如果题目中离散型随机变量符合二项分布，就应直接代入公式求期望和方差,以简化问题的解答过程．探究四易错辨析易错点机械套用公式致误【典型例题4】已知随机变量X的分布列为X01234P0。20.2a0.20。1求E(X）,D（X），D（－2X－3)．错解：E（X)＝0×0。2＋1×0.2＋2×a＋3×0。2＋4×0。1＝1。2＋2a，D(X)＝[0－（1.2＋2a)]2×0。2＋[1－(1。2＋2a)]2×0.2＋［2－（1。2＋2a)]2×a＋［3－（1。2＋2a）］2×0。2＋[4－（1.2＋2a)］2×0。1＝（1。2＋2a)2×0。2＋(0。2＋2a)2×0。2＋（0.8－2a）2×a＋(1.8－2a）2×0。2＋（2。8－2a）2×0.1，D（－2X－3）＝－2D（X)．错因分析:忽略了随机变量分布列的性质出现错误，这里只是机械地套用公式,且对D(ax＋b)＝a2D（x）应用错误．正解:∵0.2＋0。2＋a＋0。2＋0。1＝1，∴a＝0.3.∴E(X