数学课堂探究：向量数量积的坐标运算与度量公式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一向量数量积的坐标运算已知向量的坐标，直接用公式来计算数量积、模和夹角等问题;若向量的坐标是未知的，一般考虑用定义和运算律进行转化．【例1】已知向量a＝e1－e2,b＝4e1＋3e2,其中e1＝（1,0），e2＝（0，1）．（1)试计算a·b及｜a＋b|的值；（2）求向量a与b夹角的余弦值．解：(1）a＝e1－e2＝（1,0)－（0,1）＝（1，－1），b＝4e1＋3e2＝4（1,0)＋3（0,1)＝(4,3)，所以a·b＝4×1＋3×(－1)＝1，a＋b＝(5，2)，所以｜a＋b｜＝．(2)设向量a与b的夹角为x，则cos＝＝＝＝．探究二向量的模、夹角的坐标表示1．若a＝(x1，y1)，b＝（x2，y2）,a≠0，则向量a与b垂直⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0．2．向量垂直的坐标表示x1x2＋y1y2＝0与向量共线的坐标表示x1y2－x2y1＝0很容易混淆，应仔细比较并熟记、当难以区分时，要从意义上鉴别,垂直是a·b＝0,而共线是方向相同或相反．【例2】已知向量a＝(－2,－1)，a·b＝10，|a－b｜＝,则|b|＝()A．B．C．20D．40解析:设b＝(x，y），由a＝（－2，－1)，a·b＝10,可得－2x－y＝10．①a－b＝(－2－x，－1－y），所以｜a－b|＝＝．②由①②可得x＝－4，y＝－2．所以b＝（－4，－2），|b|＝＝．答案：A反思本题是利用公式|a|＝(其中a＝（a1，a2））求解．【例3】在△ABC中,＝(2,3)，＝(1,k),且△ABC的一个内角为直角，求k的值．分析：要对△ABC的三个内角分别讨论,并利用坐标反映垂直关系．解:当A＝90°时，·＝0,所以2×1＋3×k＝0．所以k＝－．当B＝90°时，·＝0，＝－＝(1－2,k－3)＝(－1，k－3）,所以2×（－1)＋3×(k－3)＝0．所以k＝．当C＝90°时，·＝0,所以－1＋k(k－3）＝0，所以k＝．因此，当k＝－，或k＝,或k＝时，△ABC的一个内角为直角．探究三数量积的坐标表示在几何中的应用用向量法解决几何问题的关键是把有关的边赋予向量，然后把几何图形中的夹角、垂直、长度等问题都统一为向量的坐标运算即可,最后再回归到原始几何图形中进行说明．【例4】以原点O和点A（5,2）为两个顶点作等腰直角△ABO，B为直角顶点，试求的坐标．解:设B(x，y），则＝（x,y），＝（x－5，y－2）．因为△ABO是等腰直角三角形，故⊥,且｜｜＝｜|，所以解得或所以＝或＝．【例5】已知a＝（，－1)，b＝，且存在实数k和t使得x＝a＋（t2－3）b，y＝－ka＋tb,且x⊥y，试求的最小值．解：由题意有|a|＝2，|b｜＝1．因为a·b＝×－1×＝0，所以a⊥b．因为x·y＝0，所以[a＋（t2－3)b］·（－ka＋tb）＝0,化简得k＝eq\f(t3－3t,4），所以＝eq\f（1，4)（t2＋4t－3)＝（t＋2)2－．当t＝－2时，有最小值为－．反思本题的关键是注意到a⊥b，以此来化简x·y＝0．探究四易错辨析易错点：因a·b〈0理解不完全而致误【例6】设平面向量a＝（－2，1），b＝（λ，－1)(λ∈R）,若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是(）A．∪（2，＋∞)B．（2，＋∞）C．D．错解：由a与b的夹角为钝角，得a·b〈0,即－2λ－1〈0,解得λ〉－．错因分析：a·b〈0⇔a与b的夹角为钝角或平角．因此上述解法中需要对结论进行检验，把a与b的夹角为平角的情况舍去．正解：a·b〈0⇒（－2,1）·（λ，－1)