地球物理反演方法作业及答案

Homework1:basedonAppendixA1.Normofthevector（矢量的范数）在欧式空间下，矢量可以表示为：a与三维空间中矢量长度的定义类似，我们引入了n维欧式空间中矢量的范数，表示为：a当矢量a是由实数组成时，a的范数a始终是一个非负的值。显然，a的范数即为a与其自身的内积的平方根。2.Operator;Linearoperator（算子；线性算子）在欧式空间中，对任意一个矢量a，我们通过某种规律的作用使其对应到同在欧式空间中的某个矢量a’，即：a我们就将这种规律称之为算子A。对欧式空间中的任意两个矢量a1和a2，以及任意两个标量α1A成立，那么我们就称算子A是一个线性算子。3.Giveanexampleofoperatorbehavioringeophysics（举出一个地球物理中的算子例子）地震走时层析是一种常用的地震反演手段，其基本原理就是利用地震射线的路径与走时来建立观测时间与地下速度参数模型的关系。假设地下模型由矩形网格组成，每个网格内的慢度Si为一个定值。那么，当震源设定好之后（假设震源和检波器都设置在模型边界），单个检波器接收到的走时TT其中，Li那么，对所有检波器接收到的走时数据，我们可以建立如下方程：T=LS其中TS是m*n行的列向量，代表模型依次每个网格的慢度。L是一个k行m*n列的矩阵，k是检波点的个数（即射线数量）。因此，在求取地下模型速度信息的反演过程中，确定和构建矩阵L就成为了关键的因素。在这一地球物理反演问题中的算子A，就是矩阵L与慢度向量S的线性相乘。同时，在这里算子A还是一个线性算子。4.Normofoperator（算子的范数）某个算子的范数定义为满足下式：a'中的所有M中最小的那个值，即：A5.Normoffunctional（泛函的范数）泛函是算子的一种特殊形式，因此泛函的范数的定义与算子的定义类似。某个泛函的范数定义为满足下式：f(中的所有M中最小的那个值，即：f6.Innerproduct（内积）在有限维下，内积定义为两个矢量的一种运算：A推广到一般的线性空间中，内积是指在复数域上的一个线性空间V备有一个正定、对称以及共轭双线性形式。内积运算满足以下性质：对称性：线性：线性：正定性：7.Hilbertspace（希尔伯特空间）在一个复矢量空间H上给定内积定义后，可以导出任意一个矢量的范数：x如果空间H对于这个范数来说是完备的，则此空间称为希尔伯特空间。希尔伯特空间拥有最丰富的几何性质。它是欧式空间的一个推广。在地球物理学中，我们可以把地球物理数据或模型看作是希尔伯特空间中的元素。比如说，我们可以利用相应数据之间的距离来计算观测数据和模拟数据之间的精度。换句话说，我们可以利用希尔伯特空间几何性质中所有的方法和捷径来帮助我们解决地球物理反演问题。8.L1norm;L2norm;L2Cnorm;Lpnorm;L∞norm（L1范数；L2范数；L1范数：L2范数：L2C范数LP范数：L∞范数：Homework2:basedonAppendixB&C&D1.Inverseoperator（逆算子）对方程A来说，如果其解是唯一的，那么对解空间也即数据空间中的任意一个y’，在模型空间中都存在一个模型x’与之对应，这种y’与x’的对应关系就称为算子A的逆算子Ax=2.ExplaintheprocedureofGram-Schmidtorthogonalizationprocessandtheroleitplays.（阐述Gram-Schmidt正交化方法的流程以及它的作用）在某些情况下，求解方程组i=1是很困难的。显然，如果n个数据{d1,d2首先，令e下一步，构建与e1正交的向量d2e类似的，继续构建与e1和e2都正交的向量de以此类推。这一过程称为Gram-Schmidt正交化方法。它在反演问题的求解中扮演着非常重要的角色。3.What’sRieszrepresentationtheorem（什么是Riesz表示定理）Riesz表示定理：在希尔伯特空间中，所有有界的线性泛函f(x)都可以表示为形如(l,x)内积的形式，其中l是希尔伯特空间中的一个由f唯一确定的元素。4.Adjointoperator;self-adjointoperators（伴随算子；自伴算子）假设X和Y是希尔伯特空间，A是从X到Y的一个线性算子，即y定理：对任意作用在X上的线性算子A以及任意的y∈Y，存在唯一的x*∈X使得对所有(A基于这一定理，我们可以引入伴随算子A*作用于任意的y∈Y使其对应于xx其中A*A当一个希尔伯特空间H中的线性算子A满足A=时，称A为自伴算子，显然自伴算子A有如下性质：A5.Positivelydetermined(PD)andabsolutelypositivelydetermined(APD)operator（正定和完全正定算子）在实希尔伯特空间H中，给出其某个子集S，如果其中一个线性算子A满足对所有的x∈S，我们都能够找到一个常数γ>0A那么我们就称算子A是正定的。正定的定义可以推广到复数域。与实数域类似，在复希尔伯特空间H中，给出其某个子集S，如果其中一个线性算子A满足对所有的x∈S，我们都能够找到一个常数γ>0A那么我们就称算子A是完全正定的。6.Fréchetderivativeordifferential（Fréchet导数或微分）假设X和Y是两个巴拿赫空间（完全线性赋范空间），A是一个从X到Y的算子。在x∈X处如果存在一个从X到Y的线性有界算子FA其中，当δx→o(我们称算子A是可微的，算子Fx就称为A在x处的Fréchet导数F式Fxδx称为Ax在x处的FFréchet导数和微分的定义可以从算子推广到泛函，其定义方法完全一致。7.Variationalcalculus:computingtheminimumoffollowingproblems:1)g2)Φk（变分法：计算下列问题的最小值）1)由g(x)的定义易知，δgx,δxδg由于Fréchet导数Fx是一个线性有界算子，因此我们可以引入线性有界自伴算子FA当且仅当Fx*Ax-F现在假设算子A是线性的，那么它的Fréchet导数FxF将此关系代入关于x0A值得一提的是算子A*A是一个正的自伴算子，通过对x2)显而易见，Φk的最小值与它的平方Φ考虑到复希尔伯特空间中内积的性质：x,y=δΦ=-=-δk函数Φ2k的最小值的必要条件为对任意δΦ在这里，我们可以选取如下形式的δkδk=代入必要条件中，同时利用复希尔伯特空间中内积的另一条性质：x,kyy,xy因此我们得到了关于最小点k0k将其代入Φk，我们便得到了函数ΦminΦ=Homework3:basedonAppendixE1.singularvalueofamatrix（矩阵的奇异值）2.singularmatrix;ill-conditionalmatrix（奇异矩阵；病态矩阵）3.Singularvaluedecomposition(SVD)theorem（奇异值分解定理）一个N*L的矩阵A（N≥L）总可以表示为三个矩阵的乘积，这三个矩阵分别是：N*L的列正交矩阵U，L*L的非负对角阵Q以及L阶的正交方阵V，即A其中Q=diag(Qi在奇异值分解定理中，对于矩阵A，如果其奇异值中至少有一个值为零，那么就称矩阵A是奇异的。类似的，如果奇异值中有一个值非常小，那么就称矩阵A是病态的。因此，奇异值分解为我们所要处理矩阵的形式提供了一种明确的诊断方法。4.ExplaintheprocedureofthespectralLanczosdecompositionmethodandtheroleitplays（解释Lanczos谱分解法的流程以及它的作用）解一个大型对称特征值问题Av=λv最合适的方法是通过Lanczos法实现的，这种方法包含了对给出矩阵的三对角化。Lanczos法的优点之一是在三对角化完成之前，我们就可以估计出特征值的极值，这使得我们将欧式空间EN中的一个由矢量c,Ac,……,KLanczos法是基于利用Gram-Schmidt正交化方法来生成克雷洛夫空间KL中的正交基来实现的。在矩阵运算中，这种方法是与将对称阵A简化为一个三对角阵TL以及TLT其中QL是克雷洛夫空间中的正交基，其中的矢量qj就称为Lanczos矢量。所有的Lanczos矢量都是N维矢量，由假设βj我们首先考虑使用N维克雷洛夫空间下的三对角化过程，KN=spanc,Ac,……,A令上式中等式左右两端的第j列相等，我们得到了一个循环公式：β该式在定义β0q0=βQN的正交性可以写作：qiTqj=δij，其中δα其中I是N阶单位阵。同理，利用βj>0,j=1,2,⋯,N-1以及β从（2）式我们还能得到q因此，我们就将Lanczos算法归纳为在满足假设β时，已知qj-1，qj和βj-1来确定αjLanczos算法可以被总结如下：β通过Lanczos算法我们得到了矩阵QN和TN。值得一提的是，在通常情况下，我们可以调用Lanczos算法到j=L-1（L<N），在这种情况下我们得到的是L*L的矩阵QN和THomework4:basedonChapter21.Sensitivity;Resolution（灵敏度；分辨率）某种地球物理方法（正算子为A）的灵敏度定义为数据扰动范数与模型扰动范数的比。最大灵敏度定义为：S其中符号sup⁡(φ)代表变量φ如果我们知道了Smomax，我们就可以确定能够产生比观测误差m因此，某种地球物理方法仅仅对那些超过δ/S我们假设在点m0附近，对任意∆m正常数A根据附录B中的定理64，存在一个线性有界的逆算子Amo-1，这就意味着反问题在m=同样的关系可以对dδ成立，其中m由上面两式我们得到m现在我们可以定义在给定观测数据误差δ=δ∆由定理64A基于上式，我们可以定义某种地球物理方法的分辨率。如果下面的关系成立，那么在m0附近的两个模型m1和m其中R就是给定地球物理问题的分辨率值。显然R逆算子的范数越小，分辨率Rm2.ill-posedproblem;conditionallywell-posedproblem（不适定问题；条件适定问题）对反问题d如果如下条件都满足：（1）解m存在（2）解m唯一（3）解m由d连续地确定换句话说，逆算子A-1在数据空间D中原问题中，假设我们知道一条先验信息：该问题的精确解属于一个集合C，集合C是由所有满足定义在像AC下的逆算子A-1类似地，如果如下条件都满足：（1）我们有先验信息：原问题存在一个属于特定集合C⊂M(模型空间（2）算子A是由C到AC⊂D（3）在AC⊂D上逆算子A那么我们称该问题是条件适定的。我们称集合C为正确性集合，集合C的引入使得不适定问题转变成了条件适定问题。3.Quasisolutionoftheill-posedproblem（不适定问题的拟解）假设问题d是条件适定的。我们继续假设等式右端存在一定误差：d其中μ问题（1）在正确性集合C中的拟解是使得距离μDAmδ,dμ其中infφ指变量φ的最大下界。显然，如果C是一个紧集，我们就可以在C中达到μDAm4.Regularizingoperator（正则化算子）在通常情况下，问题d是不适定的。正则化算法的中心思想就是设法将一个不适定问题转化为一系列适定问题的叠加d这一问题在某种尺度下与原问题是近似的。标量参数α称为正则化参数。我们同样需要当α趋向于零时，mα趋向于mt，其中mt和mα=A换句话说，任何一种正则化算法都是基于用一系列与正则化参数α有关的连续逆算子Aα-1近似一个不连续逆算子如果存在一个函数α(δ)，满足对任意ϵ>0，都可以找到一个正数δ(ϵ)使得μμ其中m那么我们就称算子R(d,α换句话说，mα是数据的一个连续函数并且当αm如果算子R(d,α)是数据域D的一个子集D1中任意数据d邻域内的正则化算子，那么我们称R(5.Stabilizingfunctionalandtheroleitplays（稳定泛函以及它的作用）对于某个度量空间M中的一个非负函数s(m)，取该函数值域中的任意一个正实数c，如果由满足s(m)≤c的M中的元素m构成的子集MC是一个紧集，那么我们就称s(稳定泛函的作用是从所有可能模型构成的空间M中选取正确性子集MC。换句话说，稳定器的主要应用就是从所有可能解组成的空间Qδs通过选取不同形式的稳定泛函，我们可以挑选出反问题解中的不同组合。换句话说，稳定泛函有助于我们应用关于反问题解的某些性质的先验信息。6.Tikhonovparametricfunctional（吉洪诺夫参数化泛函）吉洪诺夫和Arsenin已经证明，对于很多类稳定泛函，它们的最小值在mδ处达到，m因此，我们就可以用该条件来解决最小化问题

s解决这一问题的常用方法是引入一个无约束的参数化泛函PαP并通过求解该函数的最小化问题来解决原问题P函数μD2A因此，参数化泛函Pαm,dμ其中mα是使得Pαm7.List10kindsofstabilizingfunctionals（列出10种稳定泛函）(1(2)s(3)s(4)s(5)s(6)sminentrom(7)s(8)sβTVm=(9)(10)s8.Unifiedexpressionforpseudo-quadraticparametricfunctional（伪二次参数化泛函的统一表达）前面列举的所有稳定泛函都可以表示为模型参数的伪二次函数：s其中We是一个线性算子，表示由m确定的函数we与模型参数泛函如果算子We与mr无关，我们就得到了一个二次函数，比如最小范数或者最大光滑稳定泛函。通常情况下，函数we可能是m9.Regularizationparameterandtheroleitplays（正则化参数以及它的作用）正则化参数α是最佳数据拟合和最优模型约束之间的一个权衡。如果α取得过小，参数化泛函Pαm的最小化就与目标函数的最小化等价，因此我们就没有正则化过程，得出的结果是不稳定不准确的。如果α取得过大，参数化泛函Pαm的最小化就与稳定泛函s10.Howtoselecttheoptimalregularizationparameter?（如何选取最佳的正则化参数？）我们假设观测数据dδ带有噪音，dδ=dtμ那么正则化参数就可以通过目标关系来决定μ为了证明这种方法我们要更细致地研究正则化过程中的三个泛函：吉洪诺夫参数化泛函、稳定泛函和目标函数：psi性质一：pα，sα和iα是单调函数。其中pα和性质二：如果元素mα是唯一的，那么pα，sα下图表现了三个函数的上述性质：由于iα的单调性，只有一个αi我们考虑一种简单的非数值方法来选取参数α。比如，考虑一系列α：α对任意一个αk我们可以找到一个元素mαk使得Pαk参数α的最优值是α0μ该式被称为目标关系。目前最常用的选取参数α的具体方法是L曲线法。L曲线分析为定性选取近似最优正则化参数提供了简单的图形工具。该方法基于对所有可能的α绘出目标函数iα和稳定函数sα的曲线，由于在对数坐标下，该曲线大致呈L形，故称之为L曲线。L曲线说明了最佳数据拟合和最优模型约束之间的一种权衡。在Homework5:basedonChapter31.Data&modelresolutionmatrices（数据和模型的分辨率矩阵）由于伪逆矩阵A+解决了反问题Am=d，它也因此常常被称为广义逆矩阵：根据关系m0A反问题的拟解可以表示为m我们回头考虑这个估计的模型m0与观测数据dd其中N阶方阵N称作数据分辨率矩阵。如果N是一个单位阵，那么dp=d，并且预测误差为零。矩阵N…0000.10.90.1000…那么数据的第i行为：d从该式我们可以看出预测值dip是观测数据di-1，di和di+1的加权平均。因此，分辨率矩阵N的每一行揭示了相邻数据可以被独立地预测或解决的程度。数据分辨率矩阵的对角元素则揭示了某个数据被预测时的权重大小。这也就是为什么这些对角元素被称为数据的重要性模型分辨率矩阵揭示了模型参数是否可以被很好地预测或是求得。假设mtured=A我们将上式代入mestm其中，L阶方阵R=称作模型分辨率矩阵。由上述关系我们有m估计的模型参数是真实模型参数的加权平均，其中的权系数是由模型分辨率矩阵的行决定的。当R是单位阵时，得到模型参数是准确的。与数据分辨率矩阵类似，模型分辨率矩阵完全由正问题的算子矩阵决定。2.Solutionsofpurelyunderdeterminedproblemandweightedleast-squares（完全欠定问题的解和加权最小二乘）假设问题d=Am是完全欠定的，因此就存在着不止一组精确符合观测数据的模型参数。我们尝试从所有可能的解中选取在某种情况下最简单的一个，比如说，最小欧式范数解：l其中m2=m,m=mTm∅其中，λ是拉格朗日乘子对角阵。我们计算函数∅mδ最小必要条件要求对任意δmTδ因此我们得到问题的解mestm另一方面，这个解必须满足d=矩阵AAT是一个λ=将上式代入mestm这就是欠定问题的最小范数解。我们引入权重系数wi2来估计残差rif我们再引入作用在数据域D上的线性加权算子W：W因此fwf加权目标函数的最小问题可以通过计算该函数的一阶变分并令它为零来解决。δ因此我们得到A假设矩阵ATWm矩阵A被称为加权广义逆矩阵。3.Variance,standarddeviation,covariance,chi-square（方差，标准差，协方差，卡方）离散随机变量d的方差σ2描述了dσσ被称为数据d的标准差。对一组数据d=cov某个数据自身的协方差就是方差cov因此对于观测数据d=σ该矩阵是对称的。如果数据是不相关的，那么协方差矩阵就变成了对角阵σ=其主对角线上的元素为该数据的方差，在这种情况下，加权最小二乘中的权系数就由下式给出：W函数f称为卡方。当观测数据呈正态分布时，量χ2代表了N个正态分布变量平方的和。因此，通过应用加权最小二乘方法我们可以为有较大卡方差的数据（低精度数据）选取较小的权系数而为有较小标准差的数据（更准确的数据）选取较大的权系数。如果数据拥有相同的方差σW并且卡方函数这时就与普通的目标函数相等了。4.Regularizedsolutionforlinearinverseproblem,thesolutionanditsadvantagesaftertheapplicationofSLDM（线性反问题的正则化解，应用Lanczos谱分解方法后其解及其具有的优点）线性反问题的最小二乘解的各种不同修正是由直接令相应的目标函数最小化来得到的。这些解都存在很多限制，并且对于观测数据的微小变化非常敏感。比如说当逆矩阵(ATA我们引入相应的如下形式的参数化泛函：P其中Wd和Wm是数据和模型的加权矩阵，根据正则化方法的基本原理，我们需要找到一个反问题的拟解mα使得参数化泛函P正则化参数α是由目标状态决定的：W其中δ是数据加权噪声尺度的先验估计W为了解决这一问题我们求Pαδ从该式我们可以得出反问题d=Am的标准正则化方程：A以及它的正则化解：m通常加权矩阵Wd和Wm该式给出了广义最小二乘问题的正则化解。在正则化解m中，我们做变量代换cB同时为了简便假设maprm引入函数ff我们最终得到m至此，我们面对的问题是计算关于B的函数。这个问题可以很有效率地通过应用Lanczos谱分解方法来解决。根据Homework3中关于Lanczos谱分解法的讨论，我们找到了一个由Lanczos矢量构成的正交矩阵QN，以及一个由系数αj和βj构成的三对角对称矩阵TN。附录E中介绍，我们可以将计算关于B的函数fαm其中el(N)是一个N维矢量，它的第一个元素是1，其他元素均为考虑到fαB的表达式，我们得到应用了m这种表达相比于一般的正则化解，其优点在于对所有不同的正则化参数α我们只需要调用一次Lanczos算法，之后我们只需要对不同的α求一次三对角阵TN+α5.Definitionsoftheweightingmatricesforthemodelparametersanddata（模型参数和数据的加权矩阵的定义）我们研究数据对某个特定模型参数mkd两边求微分，有δ上式中，Aik是正演算子矩阵A中δ我们定义数据对模型参数mkS可以看到，综合灵敏度的值取决于参数k。换句话说，数据对不同模型参数的灵敏度是不同的，因为不同参数对观测数据的贡献是不同的。我们再定义由SkS也即它是由矩阵A列的范数组成的。我们将S作为模型参数的加权矩阵W因此权系数就与灵敏度相等W我们进而引入加权模型参数m通过这些关系，我们可以将反问题d=Am写为d=其中Aw是一个加权正算子，A下面我们对一个特定的加权模型参数mkδ并且对参数mkS即新的综合灵敏度矩阵Sw相应的加权稳定泛函形式为：s它为那些为数据提供较大贡献的模型参数偏离先验模型加上了一个较强的约束。因此，模型加权在不同的模型参数下得到了几乎相同的反演结果。类似地，我们可以定义由矩阵A行的范数构成的对角数据加权矩阵：W数据加权矩阵使得标准数据较小地依赖于特定的观测数据，提升了反演方法的分辨率。6.Approximateregularizedsolutionoflinearinverseproblem,correspondingweightingmatrixforthemodelparameters（线性反问题的近似正则化解，相应的模型参数加权矩阵）在实际地球物理应用中，线性反问题d=Am往往会很庞大，直接求矩阵的逆会耗费大量时间，这一问题在地震和电磁数据反演中尤为凸显。在这种情况下，我们可以使用一种简单的方法来得到反问题的近似解。我们将标准正则化方程A改写为A因为我们在近似的情况下要引入不同的模型参数加权，所以我们在Wm我们假设正则化参数α非常大，以至于我们可以忽视ATWα进而我们得到了近似正则化解m我们可以看出，求解近似解mα并不需要求矩阵A系数α-1A在求近似解的情形下，模型参数的加权矩阵是对综合灵敏度矩阵求开方得到的。W我们用mαm那么m其中mHomework6:basedonChapter41.Listtheiterativeprocess(programflowchart)ofminimalresidualmethod(MRM)algorithmforthelinearinverseproblemd=Am（列出线性反问题d=Am的最小残差算法的迭代流程（流程图））计算残差rn=Amn-d计算残差r计算方向l计算步长k已知观测数据已知观测数据d和正算子AA给出初始模型给出初始模型m0，令是否达到预定收敛条件，如果否是否达到预定收敛条件，如果否更新模型更新模型mn+1=是否达到预定收敛条件，如果是是否达到预定收敛条件，如果是迭代结束，得到反演结果迭代结束，得到反演结果m2.Listtheiterativeprocess(programflowchart)ofgeneralizedMRM(GMRM)algorithmforthelinearinverseproblemd=Am（列出线性反问题d=Am的广义最小残差算法的迭代流程（流程图））已知观测数据已知观测数据d和正算子AA给出初始模型给出初始模型m0，令计算残差计算残差r计算l计算ln+1,(1)=计算计算l计算计算l是否达到预定收敛条件，如果否是否达到预定收敛条件，如果否计算计算βpln更新模型更新模型mn+1=是否达到预定收敛条件，如果是是否达到预定收敛条件，如果是迭代结束，得到反演结果迭代结束，得到反演结果m3.Listtheiterativeprocess(programflowchart)oftheregularizedMRMalgorithmfortheill-posedlinearinverseproblemd=Am（列出不适定线性反问题d=Am的正则化广义最小残差算法的迭代流程（流程图））计算残差rn=A计算残差r计算方向l已知观测数据已知观测数据d和正算子AA给出初始模型给出初始模型m0，令是否达到预定收敛条件，如果否是否达到预定收敛条件，如果否计算步长计算步长k更新模型更新模型mn+1=是否达到预定收敛条件，如果是是否达到预定收敛条件，如果是迭代结束，得到反演结果迭代结束，得到反演结果m4.Listtheiterativeprocess(programflowchart)oftheregularizedGMRMalgorithmfortheill-posedlinearinverseproblemd=Am（列出不适定线性反问题d=Am的正则化最小残差算法的迭代流程（流程图））已知观测数据已知观测数据d和正算子AA给出初始模型给出初始模型m0，令计算残差rn计算残差r计算l计算ln+1,(1)α计算计算lnα计算计算l是否达到预定收敛条件，如果否是否达到预定收敛条件，如果否计算计算βpln更新模型更新模型mn+1=是否达到预定收敛条件，如果是是否达到预定收敛条件，如果是迭代结束，得到反演结果迭代结束，得到反演结果mHomework7:basedonChapter51.Listtwokindsofapproachestodeterminethesteplengthusinglinesearchmethod;listthecorrespondingalgorithm’siterativeprocesses(programflowchart)forthesteepestdecentmethod（列举两种使用线型搜索方法确定步长的方法；并且列出相应算法对最速下降法的迭代流程（流程图））步长的基本作用是使得目标函数在当前迭代环境下达到最小，因此最优化的步长必定使得目标函数的一阶导数为零。经引入伴随算子，我们得到关系F如果算子A近似于一个线性算子，那么我们可以作近似：A进而得到步长k当A是一个普通的非线性算子时，我们就要用到二次近似：A其中Fmn(2)通过这个形式的近似，我们最终可以将原最小化问题转变成关于k(k=kn)p其中pg该问题的最优解即为在这种近似下的最优步长。第一种步长确定方法下的最速下降迭代流程为计算残差rn=A(mn计算残差r计算方向l计算步长k已知观测数据已知观测数据d和正算子AA给出初始模型给出初始模型m0，令是否达到预定收敛条件，如果否是否达到预定收敛条件，如果否是否达到预定收敛条件，如果是更新模型mn+1=m是否达到预定收敛条件，如果是更新模型mn+1=迭代结束，得到反演结果迭代结束，得到反演结果m第二种步长确定方法下的最速下降迭代流程与第一种类似，唯一的区别在于每次迭代计算方向时需要多计算出rn+11和hn的值，进而得到p0，p1，p22.Listthealgorithm’siterativeprocess(programflowchart)ofNewtonmethodwithlinearandquadraticlinesearches（列出线性线型搜索和二次线型搜索牛顿法的算法迭代流程（流程图））基于线性线型搜索的牛顿法迭代流程为计算残差rn=A(计算残差r计算方向l已知观测数据已知观测数据d和正算子AA给出初始模型给出初始模型m0，令是否达到预定收敛条件，如果否是否达到预定收敛条件，如果否计算步长计算步长k更新模型更新模型mn+1=是否达到预定收敛条件，如果是是否达到预定收敛条件，如果是迭代结束，得到反演结果迭代结束，得到反演结果m基于二次线型搜索的牛顿法迭代流程为计算残差rn计算残差r已知观测数据已知观测数据d和正算子AA给出初始模型给出初始模型m0，令计算r计算rn+11=A计算方向计算方向l是否达到预定收敛条件，如果否是否达到预定收敛条件，如果否计算计算p0=rn,rn，通过通过关系p0更新模型更新模型mn+1=是否达到预定收敛条件，如果是是否达到预定收敛条件，如果是迭代结束，得到反演结果迭代结束，得到反演结果m3.Whatisthepreconditionedsteepestdecentmethod?（什么是预处理最速下降法？）鉴于求海森矩阵的逆在很多情况下非常困难，我们用另一个矩阵Gn来代替它。最简单的选取GG那么模型更新的关系就变为m类似地，其中kn∅例如在线性线型搜索中，上式的最优解为k应用上述修改后的梯度法，被称作预处理最速下降法。通过不同选取Gn4.Listthealgorithm’siterativeprocess(programflowchart)fortheconjugategradient(CG)method（列出共轭梯度法的算法迭代流程（流程图））计算残差rn计算残差r已知观测数据已知观测数据d和正算子AA给出初始模型给出初始模型m0，令计算计算ln=Fm是否达到预定收敛条件，如果否是否达到预定收敛条件，如果否计算方向计算方向l计算步长计算步长k更新模型更新模型mn+1=是否达到预定收敛条件，如果是是否达到预定收敛条件，如果是迭代结束，得到反演结果迭代结束，得到反演结果m5.Listthealgorithm’siterativeprocess(programflowchart)fortheregularizedsteepestdecentmethod（列出正则化最速下降法的算法迭代流程（流程图））计算残差rn=A计算残差r计算方向l已知观测数据已知观测数据d和正算子AA给出初始模型给出初始模型m0，令是否达到预定收敛条件，如果否是否达到预定收敛条件，如果否计算步长计算步长k更新模型更新模型mn+1=是否达到预定收敛条件，如果是是否达到预定收敛条件，如果是迭代结束，得到反演结果迭代结束，得到反演结果m6.Listthealgorithm’siterativeprocess(programflowchart)fortheregularizedconjugategradient(RCG)method（列出正则化共轭梯度法的算法迭代流程（流程图））计算残差r计算残差r已知观测数据已知观测