2024年高考数学最后冲刺训练《五大类圆锥曲线题型》含答案解析

专题05五类圆锥曲线题型-2024年高考数学大题秒

杀技巧及专项训练(原卷版)

c高考大题题型归纳;I)

【题型1圆锥曲线中的轨迹方程问题】

【题型2圆锥曲线中齐次化处理斜率乘积问题】

【题型3圆锥曲线中的三角形(四边形)面积问题】

【题型4圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题】

【题型5圆锥曲线中的极点与极线】

题型1圆锥曲线中的轨迹方程问题

模型一曲线方程的定义

一般地，如果曲线C与方程尸(x,y)=0之间有以下两个关系:

①曲线C上的点的坐标都是方程F(X,y)=0的解；

②以方程尸(x，V)=0的解为坐标的点都是曲线。上的点.

此时，把方程/0/)=0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程/(x/)=0的曲线.

模型二求曲线方程的一般步骤:

(1)建立适当的直角坐标系(如果已给出，本步骤省略)；

(2)设曲线上任意一点的坐标为(x,y)；

(3)根据曲线上点所适合的条件写出等式；

(4)用坐标％、V表示这个等式，并化简；

(5)确定化简后的式子中点的范围.

上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围.

模型三求轨迹方程的方法:

方法一■定义法:

如果动点尸的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义,

则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。

方法二直接法:

如果动点尸的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点尸满足的等量

关系易于建立，则可以先表示出点尸所满足的几何上的等量关系，再用点尸的坐标（XJ）

表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。

方法三代入法（相关点法）：

如果动点尸的运动是由另外某一点P的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标

满足某已知曲线方程），则可以设出尸（X/）,用（X,y）表示出相关点P的坐标，然后把P

的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点尸的轨迹方程。

方法四点差法:

圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点

2（士,%）,8（々,%）的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得再+超，

必+为，x1-x2,必一%等关系式，由于弦48的中点尸（X/）的坐标满足2X=M+/，

2y=X+%且直线AB的斜率为三£，由此可求得弦AB中点的轨迹方程.

模型演炼

已知双曲线二-『1（。>0,6>0）与直线4：k依+加心±9］有唯一的公共点过点”

abvaJ

且与4垂直的直线4分别交X轴，了轴于/（x,0）,3（0））两点，点尸坐标为（XJ）,当“点

坐标为（2,3）时，尸点坐标为（8,4）.

（1）求双曲线的标准方程;

⑵当点”运动时，求P点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.

1模型演炼

已知8（1,0）,直线NN,8M相交于且直线的斜率之积为2.

⑴求动点M的轨迹方程；

⑵设尸,。是点M轨迹上不同的两点且都在了轴的右侧，直线/P/。在了轴上的截距之比

为1:2,求证：直线PO经过一个定点，并求出该定点坐标.

模型演炼

在平面直角坐标系xOy中，已知点片卜6,0卜耳（石,0）,|龙阴|+|〃工|=4,点W的轨迹为

C.

⑴求C的方程；

⑵设点P在直线X=s（同＞2）上，48为C的左右顶点，直线上4交C于点E（异于42）,

直线尸B交C于点尸（异于42）,EF交4B于G,过G作x轴的垂线分别交尸9、肥于

氏7,问是否存在常数2,使得忸G|=X|TG|.

OZONEFINEDAY

专项满分必刷

1.又是一个动点，匐⑶与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线

），=-Ylx垂直，垂足位于第四象限，且必心•而心=兽.

281

⑴求动点”的轨迹方程E;

⑵设4（-2,0）,4（2,0）,过点（3,0）的直线/与曲线£交于a2两点（点/在X轴上方），P

为直线//，48的交点，当点尸的纵坐标为生叵时，求直线/的方程.

2

2.在平面直角坐标系xQv中，已知双曲线M:二--=1经过点”（2,1）,点8与点A关于原

m

点对称，C为“上一动点，且C异于42两点.

⑴求M的离心率；

（2）若4867的重心为人，点。（8,4）,求口力的最小值；

（3）若△8CT的垂心为A,求动点T的轨迹方程.

3.已知长为2后的线段尸。的中点为原点。，圆T经过R。两点且与直线F+2=0相切，圆

心T的轨迹为曲线C.

⑴求曲线C的方程；

⑵过点。（1㈤且互相垂直的直线分别与曲线C交于点ER和点MN,且|£0=。印,

四边形MEN”的面积为15遍，求实数6的值.

22.

4.已知椭圆C:鼻+方=1(。>6>0)的离心率为了，长轴长为4,48是其左、右顶点，F

是其右焦点.

(1)求椭圆C的标准方程；

⑵设尸(%,%)(%>0)是椭圆C上一点，4W吆的角平分线与直线/尸交于点

①求点T的轨迹方程；

9

②若△中尸面积为a，求为.

5.已知点尸(-1,0)和直线mx=2,点尸到加的距离d=4-&|PF|.

(1)求点尸的轨迹方程；

⑵不经过圆点O的直线/与点尸的轨迹交于A,8两点.设直线的斜率分别为勺,

记W=t,是否存在f值使得的面积为定值，若存在，求出，的值；若不存在,

说明理由.

6.已知动圆过定点力(2,0),且截了轴所得的弦长为4.

(1)求动圆圆心C的轨迹方程；

(2)若点尸(1,0),过点P(5,-4)的直线交C的轨迹于两点，求|四卜|网|的最小值.

7.在中，已知8（T0）,C（l,0）,设G,H,少分别是的重心、垂心、外心，且

存在XeR使丽二力数.

⑴求点A的轨迹「的方程；

（2）求“8C的外心少的纵坐标加的取值范围；

（3）设直线/少与「的另一个交点为记△/少G与AMGH的面积分别为E.S”是否存在

实数/使”==？若存在，求出入的值；若不存在，请说明理由.

,2

8.已知/（2,0）,8（—2,0）,P为平面上的一个动点.设直线NP,8P的斜率分别为勺，修，且

3

满足勺石=-j记尸的轨迹为曲线r.

（1）求r的轨迹方程；

（2）直线尸/,P8分别交动直线X=t于点C,。，过点C作尸B的垂线交X轴于点”.麻.而是

否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.

题型2圆锥曲线中齐次化处理斜率乘积问题

模型一

已知点尸（飞,为）是椭圆与+5=1（。>6>0）上的一个定点，48是椭圆上的两个动点。

ab

、

2,则直线N5过定点且定点为与—斗,一与要—%；当4=0时,

若直线kpi+kpB

AAa,

%0

kAB为定值^2；

证明：重新建系将椭圆。上的尸（X。,％）成为新的坐标原点按

（X/）一（，，/）x-xr=x-0X=x'+xx'+x)2

Q,°n得椭圆c,：0

Go/o）一（0,0）n.—2

y-y=7-°a

0y=y+y0

又点尸（飞,%）在椭圆5+4=1上，22

所以与+*=1,代入上式可得

abab2

工。罕

I’?V2xf2yo…,……①

椭圆。上的定点p（xo,%）和动点48分别对应椭圆G上的定点。和动点4,瓦，设直线

4名的方程为mx'+ny'=l,代入①得＜+与+(与x'+当了)(加x'+ny')=

0。当x'w0

abab

f

时，两边除以x’2得.1+2产y2+（-2xQn2yomy1+2x0m

-------1------F因为点用的

2z-)----2=0,4,

b2x'2aXa

坐标满足这个方程，所以ko「koB是这个关于工的方程的两个根.

UA\UD\Y，

A

若kpa+kpB=入，由平移斜率不变可知kOAi+kOBi=A,故

2

-2b\n-2ay0m当彳=。时,

八k丁4八k所以—26,0〃-2。2为机=o,由此得

a-(l+2y0n)

m=笆。所以Z5的斜率为定值笆,女”为定值笆;

卜仲1

nyoayoa%。

22222y

即-2bxn-2aym=Aa+2a2yo"------0-m-一2%n=l,由此知点

Qo1

4、^a7

一2%在直线：加工'+町?'=1上，从而直线48过定点

/、

2-o2b/

。丁一丁-y（）•

7

模型二

已知点尸（%,九）是平面内一个定点，椭圆C：A+==l（a〉b〉O）上有两动点48

ab

若直线七4+如B=X，则直线45过定点.

证明：重新建系将椭圆。上的尸（玉,为）成为新的坐标原点按

\x,y）^（x',y'）[x-x'=xo-O[x=x'+x0（才+工丫（/y

,„=>5,椭圆a：----：—H----；—=1

仇，为—（0,0）卜一>=%-0卜=7+为a-b-

2

TT/曰

巨x"y'2x0,2y0，x；,八

展开得：一7+白+―》'+-_/+号+等—1=0.

a2b2a2b2"a2b2

平面内的定点尸（%,%）和椭圆c上的动点/、5分别对应椭圆G上的定点。和动点4、

B1,设直线幺圈的方程为mx'+ny'=\,代入展开式得

/+£+〔作x'+%v]（"x'+"，'）+—1]（相x'+〃/）2=。，构造齐次式）,

当x'wO时，两边同时除以X”整理得，

（封|（〃％+1）2_〃2忖+（2mn*+2%“।2加〃1+2%加_^V++

2-m2=0

2/J21口2J/

[axb2

因为点4、耳的坐标满足这个方程，所以七4和左明是关于予的方程的两根.若

kPA+kPB=2,由平移斜率不变可知左04+左％=X所以

2m碣+2/〃+2mn/+2%1m_2mH

4b?___________

左。4+koB1=一=2整理可得到机和〃的关系，从而

〃F（犯o+U2

b2—

可知直线4名过定点，由平移规律可得直线48过定点.

模型演练

22

已知椭圆C：二+与=1（。〉6〉0）的左、右焦点分别为片，F2,点河（0,2）是椭圆的一

ab

个顶点，△片〃区是等腰直角三角形.

（1）求椭圆C的方程;

（2）设点尸是椭圆C上一动点，求线段EW的中点。的轨迹方程；

（3）过点M分别作直线M4,M3交椭圆于3两点，设两直线的斜率分别为勺，k2,

且占+e=8,探究：直线48是否过定点，并说明理由.

）模型演炼

22

已知椭圆0+学=1（。〉6〉0）的左、右焦点分别是耳，F2,点尸（0,1）在椭圆上，且

所庵=-2.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点0（2,-1）且不过点尸的直线/交椭圆于4,B两点,求证：直线尸/与P8的斜

率之和为定值.

模型演炼

如图，椭圆£：卫+（=1伍〉6〉0）经过点2（0,—1）,且离心率为Y2.

ab2

（1）求椭圆E的方程;

(2)若经过点(1,1),且斜率为A的直线与椭圆E交于不同的两点尸，Q(均异于点N),

证明：直线NP与4。的斜率之和为定值.

02ONEFINEDAY

专项满分必刷)

22(5

1.已知椭圆C:J+4=l(a>6>0)经过点B，下顶点A为抛物线/=-4y的焦

abI2,

点.

(1)求椭圆。的方程；

⑵若点P(西,必),。(尤2，%)(%>%)均在椭圆C上，且满足直线NP与4。的斜率之积为:，

(i)求证：直线P。过定点；

(ii)当赤〃而时，求直线尸。的方程.

22

2.已知椭圆£：—+^-=1(a>/>>0)中，点A,C分别是£的左、上顶点，

a"b~

\AC\=45,且E的焦距为2vL

(1)求£的方程和离心率；

(2)过点(1,0)且斜率不为零的直线交椭圆于&,S两点，设直线火S,CR,CS的斜率分别为

k,左，左2，若左+左2=—3,求％的值.

22

3.已知椭圆氏=+2=1(°>6>0)经过点(2,a),右焦点为尸(2,0),4,8分别为椭圆E

ab

的上顶点和下顶点.

⑴求椭圆E的标准方程；

⑵己知过(0,1)且斜率存在的直线/与椭圆£交于C、。两点，直线8D与直线NC的斜率分

别为岛和无，求3的值.

4.在平面直角坐标系xQy中，重新定义两点/(国,弘),8(%,%)之间的“距离”为

阳=艮-再W我们把到两定点耳(-c,。),居(c,0)(c>0)的“距离”之和为常数

2a(a>c)的点的轨迹叫“椭圆”.

⑴求“椭圆”的方程；

⑵根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由；

(3)设c=l,a=2,作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为C,C的左顶点为A,过用作

直线交C于”,N两点，的外心为0,求证：直线。。与的斜率之积为定值.

5.焦点在x轴上的椭圆3+%=1的左顶点为M,/(%,必)，B(x2,y2),C1,名)为椭圆

上不同三点，且当砺=彳历时，直线"3和直线的斜率之积为

4

⑴求6的值；

⑵若&OAB的面积为1,求x；+x；和疗+货的值；

⑶在(2)的条件下，设N3的中点为。，求|。必但却的最大值.

22

6.已知耳，耳分别是椭圆C:[+勺=1(“>6>0)的左、右焦点，左顶点为4则上顶点

ab

为B、,且/用的方程为gx-2y+2百=0.

(1)求椭圆C的标准方程；

⑵若尸是直线x=3上一点，过点尸的两条不同直线分别交C于点。，E和点"，N,且

PD\PM\

—=求证：直线OE的斜率与直线MN的斜率之和为定值•

PN\PE\

22

7.已知椭圆C:J+二=l(a>6>0)的左、右焦点分别为耳，耳，上顶点为A,右顶点为

ab

IT

B,△/期的面积为20+2，/月/鸟=万.

(1)求椭圆C的标准方程；

⑵过点片且斜率大于0的直线/交椭圆C于M,N两点，线段的中点为。，若

0°,当’求直线尸。与直线/的斜率之积的最小值.

8.已知P为圆f+j?=4上任意一点，过点尸作x轴的垂线，垂足为0,M为P0的中点.M

的轨迹曲线E

(1)求曲线E的轨迹方程；

⑵曲线E交x轴正半轴于点/,交y轴正半轴于点R直线/与曲线E交于C,。两点，若直

线///直线48,设直线NC,8。的斜率分别为七做证明：左心为定值.

题型3圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题

弦长公式

\AB|=/再―》2>+（%—8）2

M8|=/l+k2）（X1—乙了

=J1+左2kl_X2|

=J1+片）[（再+工2）2—4XJ%2]（最常用公式，使用频率最高）

=jl+*+为>-4乂%

三角形面积问题

氏o-％+同

直线48方程：y=kx+md=\PH\=

J1+42

_VA|fcr0-y0+m\

2⑷

模型三焦点三角形的面积

直线AB过焦点月,18£的面积为

S

MBFl=；阳月卜回一刃=。|必一%|=有

2

22^ab^a^+b-B--C}\C\

^OB=^\AB\d=^A+B2222

aA+bB=2+§2

ab&a2A2—B?七2

a2A2+b2B2

注意：4为联立消去x后关于了的一元二次方程的二次项系数

模型四平行四边形的面积

直线AB为y=kx+5,直线CDy=kx+m2

同=J1+左2|西-X2|=Jl+/+/)2_4匹马=J1+F«_£)2_4,£=Jl+F4

V=i明.小衍£」工|=石加「初

u口ABCD11⑷TiTF

注意：A'为直线与椭圆联立后消去>后的一元二次方程的系数.

模型五范围问题

应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等”

圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举：

\。=---2-t-=---2--

（1）r+64^64（注意分y0,/>0,/<0三种情况讨论）

t

I,D|2212kz212/212

/、\1AB\1=3-1—--------=3H-------；---<3H--------

⑵9/+6/+121：2x3+6

yKH—T-+o

当且仅当配=，时，等号成立

325.警+9.崇―4霁25K、9g:64

(3)阂

25"

当且仅当25•薯=9・芸时等号成立.

9/25%

22

112/2c、1ITm-m+8

(4)2^2m(一加+8^-22X2=V2

当且仅当加2=—相+8时，等号成立

⑸

________________________2左2—加；+1+加;

I向〒三工品=4®叵

当且仅当2F+1=2叫2时等号成立.

模型演演

双曲线，最早由门奈赫莫斯发现，后来阿波罗尼兹进行了总结和完善.在他的著作中，双曲

22

线也被称作“超曲线”.已知双曲线C：A-A=l(a,6>0)的实半轴长为2,左、右顶点分别

ab

为44,经过点8(4,0)的直线/与C的右支分别交于N两点，其中点"在x轴上方.

k

⑴若轴时，|MN|=2迷，设直线朋4幅2的斜率分别为即k2,求或的值；

⑵若ZBA2N=2NBA、M,求的面积.

Ei模型演演

设抛物线方程为/=2x,过点尸的直线尸4P8分别与抛物线相切于48两点，且点A在x

轴下方，点B在x轴上方.

⑴当点尸的坐标为(-1,-2)时，求|4耳；

(2)点C在抛物线上，且在x轴下方，直线交x轴于点N,直线N5交x轴于点且

s

3MM<2忸M.若"BC的重心在X轴上，求—的最大值.(注：S表示三角形的面积)

3△BMN

模型演炼

22/y

已知椭圆C：=+彳=1(。>6>0)过点N(2,夜)，且C的离心率为注.

ab2

(1)求C的方程；

⑵设直线/交C于不同于点N的M,N两点，直线⑷V的倾斜角分别为a,P,若

COSCL

----=-1,求面积的最大值.

cosp

03ONEFINEDA^'\

专项满分必刷）

2

1.设点片(-c,0)、芭(c,。)分别是椭圆C:j+F=l的左、右焦点，尸为椭圆C上任意一点,

a

且丽•丽的最小值为-2.

(1)求椭圆C的方程；

(2)求椭圆C的外切矩形/BCD的面积S的最大值.

22

2.在椭圆C:上+乙=1上任取一点尸，过点尸作x轴的垂线段P£),。为垂足，点M在线

42

段PO上，且满足=

⑴当点P在椭圆C上运动时，求点M的轨迹£的方程;

（2）若曲线E与x,丁轴的正半轴分别交于点A,B,点N是E上第三象限内一点，线段/N

与了轴交于点线段2N与x轴交于点G,求四边形43G〃的面积.

3.在椭圆（双曲线）中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭

圆（双曲线）的中心，半径等于椭圆（双曲线）长半轴（实半轴）与短半轴（虚半轴）平方和（差）的算

22

术平方根，则这个圆叫蒙日圆.已知椭圆£：3+2=1（°>6>0）的蒙日圆的面积为13兀，该

ab

椭圆的上顶点和下顶点分别为月出，且|片司=2,设过点0（0,的直线4与椭圆E交于43

两点（不与4,5两点重合）且直线/2：x+2y-6=0.

⑴证明：/耳，台月的交点P在直线歹=2上；

⑵求直线明，如，围成的三角形面积的最小值.

4.已知椭圆C的方程£+4=l（a>b>0）,右焦点为尸（1,0）,且离心率为:

ab2

（1）求椭圆C的方程；

⑵设48是椭圆C的左、右顶点，过尸的直线/交C于。，E两点（其中。点在X轴上方）,

求ADBF与AAEF的面积之比的取值范围.

5.已知椭圆…）的左、右焦点分别为不离心率为*点”

直线x=-3（j主0）上运动,且直线MF、的斜率与直线MF2的斜率之商为2.

⑴求C的方程;

(2)若点/、2在椭圆C上，。为坐标原点，且。4,02,求力08面积的最小值.

22

6.已知椭圆C:J+==l(a>6>0)的下、上顶点分别为乌,与，左、右顶点分别为4,4,

ab

四边形%的面积为6石，若椭圆c上的点到右焦点距离的最大值和最小值之和为6.(i)

求椭圆c的方程；

⑵过点(-1,。)且斜率不为o的直线/与c交于RO(异于4,4)两点，设直线4尸与直线

4。交于点探究三角形片82M的面积是否为定值，请说明理由.

7.已知椭圆E:g+《=l(a>0,b>0)经过PW],两点.

abIZ)\2J

(1)求£的方程；

(2)若圆/+丁=1的两条相互垂直的切线4%均不与坐标轴垂直，且直线分别与£相交

于点N,C和8,D,求四边形/BCD面积的最小值.

22

8.已知椭圆C的方程为5+彳=1(“>6>0),由其3个顶点确定的三角形的面积为4,点

ab

尸(2,1)在C上，48为直线x=4上关于x轴对称的两个动点，直线N尸,3尸与C的另一个交

点分别为

(1)求C的标准方程；

⑵证明：直线经过定点；

(3)0为坐标原点，求△MCW面积的最大值.

题型4圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题

模型一定点问题

1.求解（或证明）直线和曲线过定点的基本思路是把直线或曲线方程中的变量》,＞视作常

数，把方程一边化为零，既然是过定点，那么这个方程就是对任意参数都成立，这时参数的

系数就要全部等于零，这样就得到一个关于工,丁的方程组，这个方程组的解所确定的点就

是直线或曲线所过的定点.

2.常用方法一是引进参数法，引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变

化的量与参数何时没有关系，找到定点二是特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探

索出定点，再证明该定点与变量无关.

模型二定值问题

1.解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜

率等）的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始

终是一个确定的值.常见定值问题的处理方法：

（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示

（2）将所求表达式用核心变量进行表示，然后进行化简，看能否得到一个常数.

2.定值问题的处理技巧：

（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进

而给后面一般情况的处理提供一个方向.

（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢

（3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运

算

模型三定直线问题

定直线问题是证明动点在定直线上，其实质是求动点的轨迹方程，所以所用的方法即为求

轨迹方程的方法，如定义法、消参法、交轨法等.

/模型演炼

已知抛物线C：V=2px(p>0),M是其准线与a轴的交点，过点M的直线/与抛物线C交

于42两点，当点/的坐标为(4,y°)时，有|人必|=|氏4|.

(1)求抛物线C的方程；

(2)设点N关于x轴的对称点为点P,证明：直线5尸过定点，并求出该定点坐标.

模型演族

已知斜率为百的直线/与抛物线C：/=4x相交于P,。两点.

(1)求线段中点纵坐标的值；

⑵已知点7(6,0),直线TP,TQ分别与抛物线相交于N两点(异于P,0).求证直线

恒过定点，并求出该定点的坐标.

01模型演炼

丫2

已知双曲线。：3-丁=1，点A是双曲线C的左顶点，点尸坐标为（4,0）.

⑴过点P作C的两条渐近线的平行线分别交双曲线C于&,S两点.求直线RS的方程；

⑵过点尸作直线/与椭圆一+/=1交于点。，E,直线AD,NE与双曲线C的另一个交

4

点分别是点“，N.试问：直线儿W是否过定点，若是，请求出该定点坐标；若不过定点,

请说明理由.

04ONEFINEDAY

专项满分必刷）

22

1.已知椭圆C:=+斗=1（q>6>0）的左、右焦点分别为耳，鸟,c过点5（-2,3）,且C的长轴

ab

长为8.

（1）求C的方程.

（2）设C的右顶点为点A,过点。（4,6）的直线/与C交于尸，。两点（异于8）,直线/P,/。

与了轴分别交于点M,N,试问线段九W的中点是否为定点？若是，求出该定点的坐标；若

不是，请说明理由.

22

2.已知椭圆。:鼻+彳=1（0>6>0）的上下顶点分别为鸟,鸟，左右顶点分别为4,4,四边

ab

形444与的面积为6VL若椭圆c上的点到右焦点距离的最大值和最小值之和为6.（1）求椭

圆c的方程；

⑵过点（T,o）且斜率不为o的直线/与c交于P,。（异于44）两点，设直线4尸与直线

40交于点"，证明：点”在定直线上.

22

3.如图，已知椭圆「的短轴长为4,焦点与双曲线三-?=1的焦点重合.点尸（4,0）,斜

（1）求常数f的取值范围，并求椭圆「的方程.

（2）（本题可以使用解析几何的方法，也可以利用下面材料所给的结论进行解答）

极点与极线是法国数学家吉拉德•迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》

中正式阐述的.对于椭圆「:]+，=1,极点尸（%,%）（不是原点）对应的极线为

）：誓+萼=1,且若极点尸在x轴上，则过点尸作椭圆的割线交「于点4,耳，则对于"上

ab

任意一点。，均有％4+%与=2⑥°（当斜率均存在时）.已知点。是直线4上的一点，且点。

的横坐标为2.连接尸。交V轴于点E.连接PA,PB分别交椭圆「于M,N两点.

①设直线48、血W分别交V轴于点。、点T,证明：点£为。、T的中点；

②证明直线：儿加恒过定点，并求出定点的坐标.

22

4.已知椭圆C:1r+%=1(。>6>0)的左、右焦点分别为耳匕C过点8(-2,3),且

降+而|=|阳.

(1)求C的方程.

(2)设C的右顶点为点A,过点。(4,6)的直线/与C交于尸，。两点(异于3),直线/尸,/。

与了轴分别交于点”,N,试问线段MN的中点是否为定点？若是，求出该定点的坐标；若

不是，请说明理由.

22

5.已知椭圆U1+2=1(。>6>0)的离心率为且经过点(1,|；

ab

(1)求椭圆C的方程；

⑵设过点P(O,I)且不与坐标轴垂直的直线/与椭圆c交于42两点，过42分别作y轴的垂

线，垂足为点求证：直线NN与即/的交点在某条定直线上，并求该定直线的方程.

22

6.已知椭圆工:、+4=1(“>%>0)的左顶点4-3,0)和下顶点焦距为4vL直线/交椭

ab

圆/于C,D(不同于椭圆的顶点)两点，直线AD交y轴于直线8c交x轴于N,且

直线MN交I于P.

(1)求椭圆心的标准方程；

(2)若直线AD,8C的斜率相等，证明：点P在一条定直线上运动.

7.在平面直角坐标系xQy中，动点M到点尸(1,0)的距离与到直线x=4的距离之比为

⑴求动点M轨迹少的方程；

⑵过点尸的两条直线分别交少于4,2两点和C,。两点，线段AB,CD的中点分别为尸,

Q.设直线N3,8的斜率分别为左，k2,且《+；=1,试判断直线尸。是否过定点.若

是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.

8.已知动圆V经过定点片卜6,0),且与圆巴：+_/=16内切.

(1)求动圆圆心”的轨迹C的方程；

⑵设轨迹C与X轴从左到右的交点为A,3,点尸为轨迹C上异于A,8的动点，设P3交

直线x=4于点7,连接NT交轨迹C于点。，直线/尸，/。的斜率分别为3.，k4s.

①求证：七"3。为定值；

②证明：直线尸0经过x轴上的定点，并求出该定点的坐标.

题型5圆锥曲线中的极点与极线

圆锥曲线的极点与极线

22

已知椭圆C：W+彳=1(a>b>0),则称点P(x。,％)和直线算+缪=1为椭圆的一对极点

a2b2a2b1

和极线.极点和极线是成对出现的.

我们先从几何的角度来研究圆锥曲线的极点与极线.

从几何角度看极点与极线

如图，设尸是不在圆锥曲线上的一点，过尸点引两条割线依次交圆锥曲线于四点E,F,

G,H,连接E〃，FG交于N,连接EG,FH交于M,则直线为点尸对应的极线.

若P为圆锥曲线上的点，则过P点的切线即为极线.

由图同理可知，尸用■为点N对应的极线，PN为点M所对应的极线.因而将△MvP称为自

极三点形.

设直线交圆锥曲线于点A,B两点,则PN,尸8恰为圆锥曲线的两条切线.

定理：（1）当P在圆锥曲线「上时，则点尸的极线是曲线「在P点处的切线；

（2）当尸在「外时，过点尸作「的两条切线，设其切点分别为A,B,则点尸的极线是直

线AB（即切点弦所在的直线）；

（3）当尸在「内时，过点P任作一割线交「于A,B,设「在A,3处的切线交于点。，

则点尸的极线是动点。的轨迹.

4^/模型演演

己知抛物线C：V=2px（0>O）的焦点为尸，且尸与圆川:/+（了+4）2=1上的点的距离的最

小值4.

⑴求。；

⑵若点尸在圆”上，是C的两条切线，48是切点，求AP/2面积的最大值.

模型演炼

已知尸为抛物线c：x?=2抄5>0)的焦点，直线/：y=2x+l与C交于/,2两点且

|/尸|+15F|=20.

(1)求C的方程.

(2)若直线〃?：y=2x+f(/wl)与C交于M,N两点，且与BN相交于点7,证明：点

T在定直线上.

模型演炼

若双曲线x2-y2=9与椭圆c:£+《=l(a>6>0)共顶点，且它们的离心率之积为工

ab3

(I)求椭圆C的标准方程；

(2)若椭圆c的左、右顶点分别为4,4,直线/与椭圆c交于P、。两点，设直线4尸

与4。的斜率分别为勺，k2,且勺一g鱼=o.试问，直线/是否过定点？若是，求出定点的

坐标；若不是，请说明理由.

05oNEFINEDAY"

专项满分必刷

1.设4,4分别是椭圆「4+/=1(。>1)的左、右顶点，点8为椭圆的上顶点.

a

（1）若4%.£S=-4，求椭圆r的方程；

（2）设鸟是椭圆的右焦点，点。是椭圆第二象限部分上一点，若线段招。的中点

〃■在y轴上，求△月8。的面积.

（3）设。=3,点尸是直线尤=6上的动点，点C和。是椭圆上异于左右顶点的两点，且C,

。分别在直线尸4和尸4上，求证：直线CD恒过一定点.

2

2.已知A,B分别是双曲线£:彳2-乙=1的左，右顶点，直线/（不与坐标轴垂直）过点

4

N（2,0）,且与双曲线E交于C,。两点.

（1）若函=3而，求直线/的方程；

（2）若直线NC与AD相交于点P,求证：点P在定直线上.

22

3.已知椭圆C章+方=1（。>0,6>0）与了轴的交点48（点/位于点B的上方），尸为左

焦点，原点。到直线反4的距离为在人

2

（1）求椭圆C的离心率；

（2）设6=2,直线>=米+4与椭圆C交于不同的两点求证：直线8M与直线/N

的交点G在定直线上.

4.已知椭圆C的离心率6=号,长轴的左、右端点分别为4(-2,0),4(2,0)

⑴求椭圆C的方程；

(2)设直线工=叼+1与椭圆C交于尸，。两点，直线4P与4。交于点S,试问：当〃7变化

时，点S是否恒在一条直线上？若是，请写出这条直线的方程，并证明你的结论；若不是,

请说明理由.

5.已知椭圆C：[+，=1(。>6>0)经过点/1,辛，其长半轴长为2.

(1)求椭圆C的方程：

⑵设经过点3(7,0)的直线/与椭圆C相交于。，E两点，点E关于x轴的对称点为尸，直

线。下与x轴相交于点G,求△DEG的面积S的取值范围.

6.已知椭圆C:，+1=l(a>0)的焦距为2,48分别为椭圆C的左、右顶点，为椭圆

C上的两点(异于48),连结AM,BN,MN,且BN斜率是斜率的3倍.

(1)求椭圆C的方程；

(2)证明:直线次W恒过定点.

22

7.椭圆c：金+与=1仅>0)的左、右顶点分别为4，4,上顶点为3,点。(1,0),线BD

的倾斜角为135。.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过。且斜率存在的动直线与椭圆C交于M、N两点，直线4M与4N交于尸，求证:

P在定直线上.

8.已知椭圆C:J+，=l(a>6>0)的离心率为，且点［1,一"在椭圆上.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)如图，椭圆C的左、右顶点分别为/,B,点、M,N是椭圆上异于/,2的不同两点,

直线8N的斜率为左(左/0),直线的斜率为北，求证：直线过定点.

专题05五类圆锥曲线题型-2024年高考数学大题秒

杀技巧及专项训练(解析版)

c高考大题题型归纳;I)

【题型1圆锥曲线中的轨迹方程问题】

【题型2圆锥曲线中齐次化处理斜率乘积问题】

【题型3圆锥曲线中的三角形(四边形)面积问题】

【题型4圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题】

【题型5圆锥曲线中的极点与极线】

题型1圆锥曲线中的轨迹方程问题

模型一曲线