高二年级 人教A版 数学选择性必修第三册第六章《组合数》课件

高二年级—人教A版—数学选择性必修第三册第六章广东仲元中学

白帆6.2.4组合数学习目标1、了解组合数的概念及公式；2、运用组合数解决实际问题；3、体会类比的思想方法，从特殊到一般的推理方法，培养数学计算素养。知识回顾1、排列的定义：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.2、组合的定义：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.问题：排列与组合的定义有什么联系与区别呢？并按照一定的顺序排成一列作为一组取出取出共同点：都要“从n个不同元素中任取m个元素”不同点：排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关.知识回顾3、排列数的概念与公式：我们把从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示.其公式为：问题：能否通过类比得出组合数的概念呢？学习新知环节一：类比分析，引出概念从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号（或）表示.举例说明：从3个不同元素中取出2个元素的组合数表示为，从4个不同元素中取出3个元素的组合数表示为.组合数是一个正整数学习新知环节二：问题探究，导出公式组合——元素相同，顺序不同，两组合相同排列——元素相同，顺序也相同，两排列才相同问题1：组合数等于多少呢？从3个不同元素中取出2个元素的组合数为3.从甲、乙、丙3个元素中取出2个元素学习新知环节二：问题探究，导出公式问题2：从4个不同元素中取出3个元素的组合数分析：类比求的过程，假设这4个元素分别为，从中取出3个元素的排列数为，分别为以下情况：通过该图，我们可以从另一个角度理解“从4个不同元素中取出3个元素的排列数为”.第一步（取出）有种不同的组合第二步（排序）有种不同的排列每一种组合组内根据分步乘法的计数原理，有,学习新知环节二：问题探究，导出公式问题3：如何将结论从特殊推广到一般的情况呢？求“从n个不同元素中取出m个元素的排列数”，可以看作由以下两个步骤得到：第1步：从n个不同元素中取出m个元素作为一组，有种不同的组合；第2步：将取出的m个元素作全排列，有种不同的排列；最后，根据分布乘法计数原理有.因此，这里，并且m≤n.这个公式叫做组合数公式.另外，我们规定.上式也可以写成,由，阶乘式乘积式学习新知环节三：应用举例，解决问题解：根据组合数计算公式可得：例1

计算：（1）；（2）；（3）；（4）思考：观察这两组结果，你有什么发现？学习新知拓展内容1：在例题中，我们发现与，与都是相同的数.

与与与它们的上标之和等于下标组合数的性质1：取出m个元素剩下的n-m个元素表示从n个不同元素中取出m个元素的组合数表示从n个不同元素中取出n-m个元素的组合数学习新知拓展内容1：等式左边等式右边所以左边=右边，证毕.证明组合数性质1：解：根据组合数计算公式可得：思考：两种计算公式，你觉得哪一种更好用？计算时，可以通过组合数的性质简化运算.例1

计算：（1）；（2）；（3）；（4）分析：1）式子中分母是100！2）分子是101个连续自然数的乘积

最大的为n＋100，最小的为n公式的理解要到位：①分母的阶乘与分子中乘式的个数要统一；②分子最大的数为组合数的下标学习新知环节三：应用举例，解决问题例2式子

可表示为(

)A.B.C.D.根据公式：得：学习新知环节三：应用举例，解决问题例3

在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.（1）有多少种不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？思考（1）：这是一个排列问题还是组合问题？学习新知环节三：应用举例，解决问题例3

在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.（1）有多少种不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？思考（2）：如何抽取才能使得抽出的3件产品恰好有1件是次品？先从2件次品中抽出1件，再从98件正品中抽出2件.学习新知环节三：应用举例，解决问题例3

在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.（1）有多少种不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？思考（3）：抽出的3件产品至少有1件是次品，可以包括那些情况？有1件次品和有2件次品两种情况.解：（1）所有的不同抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的组合数，所以抽法种数为（2）从2件次品中抽出1件的抽法有种，从98件合格品中抽出2件的抽法有种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为思考：能否将上式中的改为呢？不可以，虽然数值一样，但是意义不同.（3）方法1

从100件产品抽出3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数为

方法2

分析：从100件产品中抽出3件有0件次品有1件次品有2件次品至少有1件是次品抽出3件中至少有1件是次品的抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数，即类比组合数性质1的解释，你能利用分类加法计数原理，说明组合数的性质2吗？

学习新知假设一批产品中有n件正品和1件次品，共n+1件产品.等式的左侧表示从n+1件产品中取出m件产品的组合数，包含了没有次品（m件正品+0件次品）和有次品（m-1件正品和1件次品）两种情况.拓展内容2：组合数性质2：

你能证明这个式子吗？学习新知证明等式成立拓展内容2：证明：根据组合数的公式，左边右边所以，左边=右边，证毕.回顾总结1、组合数的概念与计算公式2）组合数的计算公式有两种：3）巧用组合数的性质，简化运算.1）从n个不同元素中取出m个元素的所有不同组合的个数，记为.回顾总结2、运用组合数解决实际问题1）分析所求问题是一个组合问题还是排列问题;2）带有“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数；3）带有“至多”“至少”问题,其解法常有两种思路：一是直接分类法，确保不重不漏；二是间接法，注意找准对立面．课后作业：课后配套练习谢谢观看！高二年级—人教A版—数学选择性必修第三册第六章广东仲元中学

白帆6.2.4组合数答疑探究问题1组合中的分组、分配问题例1按以下要求分配6本不同的书，各有几种方法？(1)平均分配给甲、乙、丙3人，每人2本；(2)分成3份，每份2本；(3)分成3份，一份1本，一份2本，一份3本；(4)甲、乙、丙3人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本．解：(1)可以将问题转化为3个人一个一个地来取书，每人取2本；首先甲从6本不同的书中任取2本的方法有

种其次乙从剩下的4本书中任取2本的方法有

种最后丙从余下的2本书中取2本的方法有

种所以按照分步乘法计数原理，共有

种方法探究问题1组合中的分组、分配问题例1按以下要求分配6本不同的书，各有几种方法？(1)平均分配给甲、乙、丙3人，每人2本；(2)分成3份，每份2本；(3)分成3份，一份1本，一份2本，一份3本；(4)甲、乙、丙3人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本．(2)可以将问题转化为先从6本书中任取2本作为一组，再从剩下的4本书中任取2本作为一组，最后还剩下2本作为一组；但是由于在进行上述选取过程中，出现了先后顺序，因此，选出来的三组之间自然形成了排序，如果要将6本书分成3份，应该要去掉这种顺序有种方法所以，其结果为种平均分组，组间自然有序探究问题1组合中的分组、分配问题例1按以下要求分配6本不同的书，各有几种方法？(1)平均分配给甲、乙、丙3人，每人2本；(2)分成3份，每份2本；(3)分成3份，一份1本，一份2本，一份3本；(4)甲、乙、丙3人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本．(3)与第（2）不同之处在于，分成的3个组之间元素个数是有区别的，因此我们只需要考虑第一次取1本，第二次取2本，第三次取3本.有种方法(4)在第（3）问已经分成3组的情况下，分配给3个人，可以认为是3组之间的全排列.有种方法探究问题2元素相同（指标分配）问题隔板策略例2.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？

解：因为10个名额没有差别，所以，第一步：把它们排成一排，这样相邻名额之间形成了9个空隙.第二步：在9个空隙中选6个位置插个隔板，把名额分成7份，从左到右对应７个班级.一班二班三班四班五班六班七班所以，分配方案有种解：(1)方法一：要构成三角形，必须三点不在同一条直线上.因此可以分为以下三种情况：①三点都在圆周上；②两点在圆周上，一点在直径上；③一点在圆周上，两点在直径上.例3如图，在以

为直径的半圆周上，有异于

的6个点

，

线段

上有异于

的4个点.ABC1C2C3C4C5C6D1D2D3D4方法二：从10个点中任取3个点，再去掉三点共线的情况.探究问题3与几何图形有关的组合问题(1)以这10个点中的3个为顶点可作多少个三角形？(2)以图中12个点(包括

)中的4个为顶点，可作出多少个四边形？所以，一共可以作个三角形所以，一共可以作个三角形(2)方法一：要构成四边形，则四点必须不共线，三点也必须不共线.因此可以分为以下三种情况：①四点都在圆周上；②三点在圆周上，一点在直径上；③两点在圆周上，两点在直径上.例3如图，在以

为直径的半圆周上，有异于

的6个点

，

线段

上有异于

的4个点