(典型题)高中数学必修二第一章《立体几何初步》测试(含答案解析)

一、选择题1．如图，在中，，，是斜边的中点，将沿直线翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得，则的取值范围是（）A． B． C． D．2．设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，给出下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，，则；④若，，则与所成的角和与所成的角相等．其中正确命题的序号是）A．①② B．①④ C．②③ D．②④3．如图，在长方体中，，，M为棱上的一点．当取得最小值时，的长为（）A． B． C． D．4．在三棱锥中，平面，则三棱锥的外接球的表面积是（）A． B． C． D．5．在长方体中，，E是的中点，则直线与直线所成角的余弦值是（）A． B． C． D．6．已知平面图形，为矩形，，是以为顶点的等腰直角三角形，如图所示，将沿着翻折至，当四棱锥体积的最大值为，此时四棱锥外接球的表面积为（）A． B． C． D．7．已知球的半径为5，球面上有三点，满足，则三棱锥的体积为（）A． B． C． D．8．三个平面将空间分成n个部分，则n不可能是（）A．5 B．6 C．7 D．89．在正方体中，M是棱的中点．则下列说法正确的是（）A．异面直线与所成角的余弦值为B．为等腰直角三角形C．直线与平面所成角的正弦值等于D．直线与平面相交10．蹴鞠，又名蹴球，筑球等，蹴有用脚踢、踏的含义，鞠最早系外包皮革、内实含米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚踢、踏皮球的活动，类似现在的足球运动．2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录．3D打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠积累的方式来构造物体的技术．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如人体的髋关节、牙齿或飞机零部件等）．已知某蹴鞠的表面上有四个点A．B．C．D，满足任意两点间的直线距离为6cm，现在利用3D打印技术制作模型，该模型是由蹴鞠的内部挖去由ABCD组成的几何体后剩下的部分，打印所用原材料的密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原材料的质量约为（）（参考数据），，，．A．101g B．182g C．519g D．731g11．平行六面体的六个面都是菱形，那么点在面上的射影一定是的________心，点在面上的射影一定是的________心（）A．外心、重心 B．内心、垂心 C．外心、垂心 D．内心、重心12．空间四边形的各边及对角线长度都相等，、、外别是、、的中点，下列四个结论中不成立的是（）A．平面 B．平面C．平面平面 D．平面平面二、填空题13．已知某空心圆锥的母线长为，高为，记该圆锥内半径最大的球为球，则球与圆锥侧面的交线的长为________.14．如图，在矩形中，，，点E为的中点，F为线段（端点除外）上一动点．现将沿折起，使得平面平面．设直线与平面所成角为，的取值范围为__________．15．点A、B、C、D在同一个球的球面上，，若四面体体积的最大值为，则这个球的表面积为______.16．已知长方体，底面是边长为4的正方形，高为2，点是底面的中心，点在以为球心，半径为1的球面上，设二面角的平面角为，则的取值范围是________.17．在三棱柱中侧棱垂直底面且底面是为等边三角形且，在棱上，，则异面直线与所成角的余弦值___________.18．如图，在三棱锥中，，，，且，，则二面角的余弦值是_____．19．如图，已知正四面体的棱长为2，动点在四面体侧面上运动，并且总保持，则动点的轨迹的长度为__________.20．将底面直径为8，高为的圆锥体石块打磨成一个圆柱，则该圆柱侧面积的最大值为______.三、解答题21．如图，四面体中，O是的中点，点G、E分别在线段AO和BC上，，，，.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.22．如图所示，在边长为的菱形中，，沿将三角形向上折起到位置，为中点，若为三角形内一点（包括边界），且平面.（1）求点轨迹的长度；（2）若平面，求证：平面平面，并求三棱锥的体积.23．如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，且，侧棱，D，E分别是，的中点．（1）求直三棱柱的体积（用字母a表示）；（2）若点E在平面ABD上的射影是三角形ABD的重心G，①求直线EB与平面ABD所成角的余弦值；②求点到平面ABD的距离24．在三棱柱中，侧面为矩形，平面，，分别是棱，的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）若，求直线与平面所成角的正弦值.25．如图，在五面体中，四边形是平行四边形.（1）求证：；（2）若，，求证：平面平面.26．我市论语广场准备设置一些多面体形或球形的石凳供市民休息，如图（1）的多面体石凳是由图（2）的正方体石块截去八个相同的四面体得到，且该石凳的体积是.（Ⅰ）求正方体石块的棱长；（Ⅱ）若将图（2）的正方体石块打磨成一个球形的石凳，求此球形石凳的最大体积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】取中点，连接，，若，则可证明出平面，则可得.根据题目中各边长的关系可得出，关于的表达式，然后在中，利用三边关系求解即可.【详解】由题意得，则，如图所示，取中点，翻折前，在图1中，连接，，则，翻折后，在图2中，若，则有：∵，，，且平面，∴平面，∴，又，为中点，∴∴，，在中，由三边关系得：①，②，③；由①②③可得．故选：A.【点睛】本题考查折叠性问题，考查线面垂直的判定及性质在解题中的运用,解答本题的主要思路分析在于将异面直线间的垂直转化为线面垂直关系，即作出辅助线与，根据题目条件确定出平面，得到，从而通过几何条件求解.2．D解析：D【分析】①根据或判断；②利用面面垂直的判定定理判断；③根据，或，或与相交判断；④利用线面角的定义判断．【详解】①若，，则或，因此不正确；②若，则内必存在一条直线，因为，所以，又因为，所以，正确；③若，，，则，或，或与相交，因此不正确；④若，，则与所成的角和与所成的角相等，正确．其中正确命题的序号是②④．故选：D．【点睛】空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.3．A解析：A【分析】本题首先可通过将侧面绕逆时针转展开得出当、、共线时取得最小值，此时为的中点，然后根据平面得出，最后根据即可得出结果.【详解】如图，将侧面绕逆时针转展开，与侧面共面，连接，易知当、、共线时，取得最小值，因为，，所以为的中点，，因为平面，平面，所以，则，故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查根据线面垂直判断线线垂直，能否根据题意得出当为的中点时取得最小值是解决本题的关键，考查计算能力，考查数形结合思想，是中档题.4．D解析：D【分析】先找出的外接圆的半径，然后取的外接圆的圆心，过N作平面ABC的垂线NG，作PA的中垂线，交NG于O，则O是外接球球心，为外接球半径，求解半径并求表面积即可.【详解】如图所示，，取BC中点M，连接AM并延长到N使AM=MN，则四边形ABNC是两个等边三角形组成的菱形，AN=BN=CN，点N是的外接圆圆心，过N作平面ABC的垂线NG，则球心一定在垂线NG上，因为平面，则PA//NG，PA与NG共面，在面内作PA的中垂线，交NG于O，则O是外接球球心，半径R=OA，中，，，故，故外接球的表面积.故选:D.【点睛】求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.本题就是采用这个方法.本题使用了定义法.5．C解析：C【分析】连接、、，先证明四边形为平行四边形，得到，故异面直线与所成的角即为相交直线与所成的角，由余弦定理可得答案.【详解】连接、、，因为棱，，所以四边形为平行四边形，所以，故异面直线与所成的角即为相交直线与所成的角，因为,，所以，，，所以，由余弦定理得，从而.故选：C【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，关键点是找到异面直线所成的角，考查空间中线线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．6．C解析：C【分析】分析出当平面平面时，四棱锥的体积取最大值，求出、的长，然后将四棱锥补成长方体，计算出该长方体的体对角线长，即为外接球的直径，进而可求得外接球的表面积.【详解】取的中点，连接，由于是以为顶点的等腰直角三角形，则，设，则，设二面角的平面角为，则四棱锥的高为，当时，，矩形的面积为，，解得.将四棱锥补成长方体，所以，四棱锥的外接球直径为，则，因此，四棱锥的外接球的表面积为.故选：C.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.7．A解析：A【分析】利用正弦定理求出的外接圆半径，则可求出三棱锥的高，进而求出三棱锥体积.【详解】设的外接圆的圆心为D，半径为r，在中，，，由正弦定理可得，即，则，.故选：A.【点睛】本题考查球内三棱锥的相关计算，解题的关键是利用正弦定理求出的外接圆半径，利用勾股关系求出高.8．A解析：A【分析】三个平面不重合，先按其中平行的平面的个数分类：三个平面两两平行，两个平面平行，没有平行的平面(两两相交)，对两两相交的情况，再根据三条交线互相平行，重合，交于一点，分别讨论.【详解】按照三个平面中平行的个数来分类：（1）三个平面两两平行，如图1，可将空间分成4部分；（2）两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2，可将空间分成6部分；（3）三个平面中没有平行的平面：（i）三个平面两两相交且交线互相平行，如图3，可将空间分成7部分；（ii）三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4，可将空间分成8部分.（iii）三个平面两两相交且交线重合，如图5，可将空间分成6部分；综上，可以为4，6，7，8部分，不能为5部分，故选：A.9．C解析：C【分析】A通过平移，找出异面直线所成角，利用直角三角形求余弦即可.B.求出三角形的三边，通过勾股定理说明是不是直角三角形.C.求出点到面的距离，再求直线与平面所成角的正弦.D.可通过线线平行证明线面平行.【详解】设正方体棱长为2A.取的中点为，则，则与所成角为由面，故面，故，在中，，故B.中，，，，不满足勾股定理，不是直角三角形C.，，故面，面，故到面的距离等于到面的距离，即为直线与平面所成角为直线与平面所成角的正弦值等于D.如图为的中位线，有故直线与平面平行故选：C【点睛】本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.10．B解析：B【分析】由题意可知所需要材料的体积即为正四面体外接球体积与正四面体体积之差，求出正四面体体积、外接球体积，然后作差可得所需要材料的体积，再乘以原料密度可得结果.【详解】由题意可知，几何体是棱长为的正四面体，所需要材料的体积即为正四面体外接球体积与正四面体体积之差，设正四面体的棱长为，则正四面体的高为，设正四面体外接球半径为，则，解得，所以打印的体积为：，又，所以，故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查正四面体与正四面体的外接球，考查几何体的体积公式，解决本题的关键点是求出正四面体外接球体积与正四面体体积，考查学生空间想象能力和计算能力，属于中档题．11．C解析：C【分析】将三棱锥、三棱锥分离出来单独分析，根据线段长度以及线线关系证明的射影点分别是和的哪一种心.【详解】三棱锥如下图所示：记在面上的射影点为，连接，因为，又平面，所以，所以，所以为的外心；三棱锥如下图所示：记在面上的射影点为，连接，因为，且四边形是菱形，所以，所以，又因为平面，所以，所以平面，又因为平面，所以，同理可知：，所以为的垂心，故选：C.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过的射影点去证明线段长度的关系、线段位置的关系，借助线面垂直的定义和判定定理去分析解答问题.12．C解析：C【分析】由线面平行的判定定理可判断A；由线面垂直的判定定理可判断B；反证法可说明C；由面面垂直的判定定理可判断D.【详解】对于A，，外别是，的中点，，平面，平面，故A正确，不符合题意；对于B，各棱长相等，为中点，，，平面，，平面，故B正确，不符合题意；对于C，假设平面平面，设，连接，则是中点，，平面平面，平面，平面，，则，与矛盾，故C错误，符合题意；对于D，由B选项平面，平面，平面平面，故D正确，不符合题意.故选：C.【点睛】本题考查线面关系和面面关系的判定，解题的关键是正确理解判断定理，正确理解垂直平行关系.二、填空题13．【分析】由题可求出底面半径根据三角形相似关系可求出球半径再利用三角形面积关系可求出球O与圆锥的侧面的交线的半径即可求出交线长【详解】圆锥的轴截图如图所示由题可知圆锥的高母线设的内切圆与圆锥的母线相切解析：【分析】由题可求出底面半径，根据三角形相似关系可求出球半径，再利用三角形面积关系可求出球O与圆锥的侧面的交线的半径，即可求出交线长.【详解】圆锥的轴截图如图所示，由题可知，圆锥的高，母线，设的内切圆与圆锥的母线相切与点E，则，则该圆锥内半径最大的球即以为圆心，OE为半径的球，在直角三角形ABF中，，由圆的切线性质可得，所以，在直角三角形AFB和直角三角形AEO中，因为，所以，所以，则可得，过点E作，D为垂足，则球O与圆锥的侧面的交线是以DE为半径的圆，，因为，所以，所以球O与圆锥的侧面的交线长为.故答案为：.【点睛】本题考查圆锥与球的相切问题，解题的关键是利用轴截面，用平面几何的知识解决.14．【分析】在矩形中作交于交于在翻折后的几何体中证得平面平面从而平面得是直线与平面所成的角设C求得的范围后可得范围【详解】在矩形中作交于交于设由图易知∴即∴则在翻折后的几何体中又平面∴平面又平面∴平面平解析：【分析】在矩形中作，交于，交于，在翻折后的几何体中，证得平面平面，从而平面，得是直线与平面所成的角．设C，求得的范围后可得范围．【详解】在矩形中作，交于，交于，设，，由图易知，∴，即，∴，，则．在翻折后的几何体中，，，又，平面，∴平面，又平面，∴平面平面，又平面平面．平面平面，∴平面，连接，则是直线与平面所成的角．，而，，∴，∵，∴，∴，即．故答案为：．【点睛】方法点睛：本题考查求直线与平面所成的角，求线面角常用方法：（1）定义法：作出直线与平面所成的角并证明，然后在直角三角形中计算可得；（2）向量法：建立空间直角坐标系，由直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦的绝对值等于直线与平面所成角的正弦值计算．15．【分析】先由题意得到的面积以及外接圆的半径记的外接圆圆心为为使四面体体积最大只需与面垂直由此求出设球心为半径为根据为直角三角形由勾股定理列出等式求出球的半径即可得出结果【详解】根据题意知是一个等边三解析：【分析】先由题意，得到的面积，以及外接圆的半径，记的外接圆圆心为，为使四面体体积最大，只需与面垂直，由此求出，设球心为，半径为，根据为直角三角形，由勾股定理列出等式，求出球的半径，即可得出结果.【详解】根据题意知，是一个等边三角形，其面积为，外接圆的半径为，记的外接圆圆心为，则；由于底面积不变，高最大时体积最大，所以与面垂直时体积最大，最大值为，，设球心为，半径为，则在直角中，，即，，则这个球的表面积为：.故答案为：.【点睛】思路点睛：求解几何体与球外接问题时，一般需要先确定底面外接圆的圆心位置，求出底面外接圆的半径，根据球的性质，结合题中条件确定球心位置，求出球的半径，进而即可求解.16．【分析】根据题意画出相应的图形结合题意找出什么情况下取最大值什么情况下取最小值利用和差角正切公式求得最值得到结果【详解】根据题意如图所示：取的中点过点作球的切线切点分别为可以判断为的最小值为的最大值解析：【分析】根据题意，画出相应的图形，结合题意，找出什么情况下取最大值，什么情况下取最小值，利用和差角正切公式求得最值，得到结果.【详解】根据题意，如图所示：取的中点，过点作球的切线，切点分别为，可以判断为的最小值，为的最大值，且，，所以，，，所以的取值范围是，故答案为：.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关二面角的求解问题，解题方法如下：（1）先根据题意画图；（2）结合题意，找出在什么情况下取最大值和最小值；（3）结合图形求得相应角的正切值；（4）利用和差角正切公式求得结果.17．【分析】取的中点连接可得所以或其补角即为异面直线与所成角在中求即可求解【详解】取的中点连接因为所以且所以或其补角即为异面直线与所成角设则所以因为是等边三角形所以因为平面平面所以所以在中因为异面直线所解析：【分析】取的中点，连接，，可得，所以或其补角即为异面直线与所成角，在中，求即可求解.【详解】取的中点，连接，，，，，，因为，所以且，所以或其补角即为异面直线与所成角，设，则，所以，，因为是等边三角形，，所以，因为平面，平面，所以，所以，在中，，因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以异面直线与所成角的余弦值为，故答案为：【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．18．【分析】取的中点连接证明出可得出面角的平面角为计算出利用余弦定理求得由此可得出二面角的余弦值【详解】取的中点连接如下图所示：为的中点则且同理可得且所以二面角的平面角为由余弦定理得因此二面角的余弦值为解析：【分析】取的中点，连接、，证明出，，可得出面角的平面角为，计算出、，利用余弦定理求得，由此可得出二面角的余弦值.【详解】取的中点，连接、，如下图所示：，为的中点，则，且，，，同理可得，且，所以，二面角的平面角为，由余弦定理得，因此，二面角的余弦值为.故答案为：.【点睛】本题考查二面角余弦值的计算，考查二面角的定义，考查计算能力，属于中等题.19．【分析】取PA的中点E连接EBEC推出PA⊥平面BCE故点M的轨迹为线段CE解出即可【详解】取PA的中点E连接EBEC因为几何体是正四面体P﹣ABC所以BE⊥PAEC⊥PAEB∩EC＝E∴PA⊥平面解析：【分析】取PA的中点E，连接EB，EC，推出PA⊥平面BCE，故点M的轨迹为线段CE，解出即可．【详解】取PA的中点E，连接EB，EC，因为几何体是正四面体P﹣ABC，所以BE⊥PA，EC⊥PA，EB∩EC＝E，∴PA⊥平面BCE，且动点在正四面体侧面上运动，总保持，∴点M的轨迹为线段CE，正四面体P﹣ABC的棱长为2，在等边三角形PAC中求得CE＝.故答案为：【点睛】本题考查了正四面体的性质和线面垂直与线线垂直的判定，判断轨迹是解题的关键，属于中档题．20．【分析】欲使圆柱侧面积最大需使圆柱内接于圆锥设圆柱的高为h底面半径为r用r表示h从而求出圆柱侧面积的最大值【详解】欲使圆柱侧面积最大需使圆柱内接于圆锥；设圆柱的高为h底面半径为r则解得；所以；当时取解析：【分析】欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥，设圆柱的高为h，底面半径为r，用r表示h，从而求出圆柱侧面积的最大值.【详解】欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥；设圆柱的高为h，底面半径为r，则，解得；所以；当时，取得最大值为故答案为：.【点睛】本题考查了求圆柱侧面积的最值，考查空间想象能力，将问题转化为函数求最值，属于中档题.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）先依题意得到为的重心，即得到，证得，再利用线面平行的判定定理即证结论；（2）先在中，证得，求得，在中，求得，结合勾股定理证得，再利用线面垂直的判定定理证明平面，即证平面平面.【详解】证明：（1）连接并延长，交于，连接，在中，为BD中点，在AO上，，∴为的重心∴，又∴∴，∵平面，平面，∴平面；（2）在中，为中点，，，∴∴，在中，，为中点，连接，则，又，∴，∴由，，，平面，得平面，又平面，∴平面平面.【点睛】思路点睛：证明线面平行时运用线面平行的判定定理证得，或者利用面面平行的性质证得；证明线面垂直时，运用其判定定理需要证明一条直线与相交的两条直线垂直，当题目条件中给出长度时可以采用勾股定理逆定理证得线线垂直，或者运用面面垂直的性质定理证得线面垂直．22．（1）；（2）证明见解析，三棱锥的体积为.【分析】（1）取、中点为、，连接，证明出平面平面，可得出点的轨迹为线段，求出的长，可求得线段的长，即可得解；（2）连接延长交于点，利用面面平行的性质定理可得出，可得出平面，利用面面垂直的判定定理可证得平面平面，可得出三棱锥的高为，利用锥体的体积公式可求得结果.【详解】（1）如图，取、中点为、，连接，则点在线段上，证明如下：连接、，因为为中点，为中点，所以，平面，平面，平面，同理可证平面，又，所以平面平面，平面，所以平面，所以点的轨迹为线段，因为，所以，，所以，即点的轨迹的长度为；（2）连接延长交于点，因为平面平面，且平面平面，平面平面，所以，因为平面，所以平面，又平面，所以平面平面，可得为三棱锥的高，且，.【点睛】方法点睛：求空间几何体体积的方法如下：（1）求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．23．（1）；（2）①；②．【分析】（1）直接由体积公式计算；（2）取的中点，连接，得是矩形，由是的重心，平面，求出，①是直线与平面所成的角，在直角三角形中计算可得；②由点到平面ABD的距离等于点到平面ABD的距离可得．【详解】（1）由题意；（2）如图，取的中点，连接，由，，是中点得，，由直三棱柱可得是矩形，设，则，．，是的重心，则，，又平面，平面，∴，∴，即，解得，∴，①由平面，知是直线与平面所成的角，，，∴，∴．②∵，平面，面，∴面，∴点到平面ABD