《等腰三角形及其性质》教学课件

12.6等腰三角形等腰三角形及其性质动脑筋如图,把一张长方形纸片按图中的虚线对折,

AC和AB有什么关系?这个三角形有什么特点?然后沿着虚线剪去一部分,再把它展开,得△ABC.

在等腰三角形中，相等的两边叫作腰，

另外一边叫作底边，

两腰的夹角叫作顶角，

腰和底边的夹角叫作底角.腰腰底边顶角底角底角

两条边相等的三角形叫作等腰三角形.

三边都相等的三角形叫作等边三角形（或正三角形）.

等边三角形是特殊的等腰三角形——腰和底边相等的等腰三角形.

三边互不相等的三角形叫作不等边三角形.探究任意画一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，如图,作△ABC关于顶角平分线AD

所在直线的轴反射，由于∠1=∠2，AB=AC，因此：射线AB的像是射线AC，射线AC的像是射线

；线段AB的像是线段AC，线段AC的像是线段

；点B的像是点C，点C的像是点

；线段BC的像是线段CB.从而等腰三角形ABC关于直线

对称.ABABBAD探究由于点D的像是点D,因此线段DB的像是线段

，从而AD是底边BC上的

.由于射线DB的像是射线DC,射线DA的像是射线

,因此∠BDA=∠CDA=

°,从而AD是底边BC上的

.由于射线BA的像是射线CA,射线BC的像是射线

,因此∠B

∠C.DC中点DA90高CB=结论等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线.结论等腰三角形的两底角相等

（简称“等边对等角”）．在△ABC中，∵AC=AB（已知）∴∠B=∠C（等边对等角）几何语言：结论等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）．在△ABC中，AB=AC,点D在BC上1、∵AD⊥BC∴∠

=∠

，

=

.

2、∵AD是中线，∴

⊥

，∠

=∠

.3、∵AD是角平分线，∴

⊥

，

=

.几何语言：BADCADBDCDBDCDBADCADADBCADBC做一做在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△

ABC各角的度数.

解：∵在△ABC中，AB=AC

∴∠ABC=∠ACB,∠A+∠ABC+∠ACB=180°

∵在△ABD中，BD=AD

∴∠ABD=∠A，∠BDC=∠A+∠ABD,

即∠BDC=2∠A

∵在△BDC中，BD=BC

∴∠BDC=∠BCD,

∠A+2∠ACB=180°

即∠A+4∠A=180°

∴∠A=36°

∠ABC=∠BCA=2∠A=72°如图（1）在等腰△ABC中，AB=AC,∠A=36°,则∠B=,∠C=

.变式练习：1、如图（2）在等腰△ABC中，∠A=50°,则∠B=

，∠C=.2、如图（3）在等腰△ABC中，∠A=120°则∠B=

，∠C=

.做一做72°72°65°65°30°30°想一想如图，△ABC是等边三角形，那么∠A，∠B，∠C的大小之间有什么关系呢？因为△ABC是等边三角形，所以AB＝BC＝AC,从而∠C＝∠A＝∠B．由三角形内角和定理可得：∠A＝∠B＝∠C＝60°．等边三角形的三个内角相等，且都等于60°.结论由于等边三角形是特殊的等腰三角形，因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是三个内角的平分线所在的直线.举例例1已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，垂足为点D.求证：∠DBC=∠A.举例F作AF⊥BC于F

∵AB=AC

AF⊥BC

∴∠CAF=∠BAF=∠BAC

∵AF⊥BC

BD⊥AC

∴∠CAF+∠C=∠DBC+∠C=90°

∴∠DBC=∠CAF

∴∠DBC=∠BAC解题规律：在等腰三角形中，做顶角平分线或作底边上高或作底边上中线是一种常用的辅助线.举例例2

已知：如图,在△ABC

中,

AB=AC,点D,

E在边BC上,且AD=AE.求证：BD=CE.证明：作AF⊥BC,垂足为点F,则AF

是等腰三角形ABC

和等腰三角

形ADE

底边上的高,也是底边

上的中线.∴BF=CF，

DF=EF，∴BF

－DF=CF

－EF，即BD=CE.如图

的三角测平架中,AB=AC,在BC的中点D挂一个重锤,自然下垂,调整架身,使点A恰好在铅垂线上．(1)

AD与BC是否垂直,试说明理由;(2)这时BC处于水平位置,为什么?议一议小结与复习本节课你学习了等腰三角形的哪些重要性质?中考试题例

已知：在△ABC中,AC=BC,∠ACB=900,点D是AB的中点,点E是AB边上一点.证明：∵点D是AB中点，AC=BC，∠ACB=900∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=450∠CAD=∠CBD=450∴∠CAE=∠BCG又BF⊥CE∴∠CBG+∠BCF=900又∠ACE+∠BCF=900∴∠ACE=∠CBG又AC=BC，∴△AEC≌△CGB（ASA)∴AE=CG中考试题（1）直线BF垂直于CE于点F，交CD于点G（如图①），求证：AE=CG；（2）直线AH垂直CE,垂足为H,交CD的延长线于点M（如