江苏省四校2020-2021学年高一下学期期中联考数学试卷

高中数学精编资源2/2江苏省2020~2021学年度高一年级第二学期四校期中联考试卷数学试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息.2．请将答案正确填写在答题卡上.第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、单选题（共40分）1.若为虚数单位,,且则复数的模等于（）A． B． C． D．2.若点为角终边上一点,则的值为（）A． B．C．D．3.已知向量,,且与共线,那么的值为（）A． B． C． D．4.在正方体中为底面的中心,为的中点,则异面直线与所成角的正弦值为（）A． B． C． D．5.已知复数满足（为虚数单位）,且,则正数的值为（）A． B． C． D．6.已知的面积为,,,则（）A． B． C． D．7.设非零向量,的夹角为,若,且不等式对任意恒成立,则实数的取值范围为（）A． B．C． D．8.古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界,画出相等的两个阴阳鱼,阳鱼的头部有阴眼,阴鱼的头部有个阳眼,表示万物都在相互转化,互相渗透,阴中有阳,阳中有阴,阴阳相合,相生相克,蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律.图2（正八边形）是由图1（八卦模型图）抽象而得到,并建立如下平面直角坐标系,设.则下述四个结论：①以直线为终边的角的集合可以表示为；②以点为圆心、为半径的圆的弦所对的弧长为；③；④中,正确结论的个数是（）A． B． C． D．二、多选题（共20分）9.在中,角、、的对边分别为、、,,则（）A． B． C． D．不可能为锐角三角形10.已知与为单位向量,且,向量满足,则的可能取值有（）A． B． C． D．11.一几何体的平面展开图如图所示,其中四边形为正方形,、分别为、的中点,在此几何体中,给出的下面结论中正确的有（）A．直线与直线异面 B．直线与直线异面C．直线平面 D．直线平面12.已知函数,有下列四个结论,其中正确的结论为（）A．在区间上单调递增B．是的一个周期C．的值域为 D．的图象关于轴对称第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明三、填空题（共20分）13.计算：．14.已知中,角,,所对的边分别为,,,若,则．15.在中,,,,为线段上一点,则的最小值为．16.在中,若,,则的最小值为,面积的最大值为．四、解答题（共70分）17.已知函数．（1）若,求的值；（2）设三内角所对边分别为且,求在上的值域．18.已知复数同时满足下列两个条件：①的实部和虚部都是整数,且在复平面内对应的点位于第四象限；②．（I）求出复数；（II）求.19.如图,四棱锥,平面,四边形是直角梯形,,,,为中点.（1）求证：平面；（2）求证：.20.如图,在平面直角坐标系中,已知四边形是等腰梯形,,,点满足,点在线段上运动（包括端点）.（1）求的余弦值；（2）是否存在实数,使,若存在,求出满足条件的实数的取值范围,若不存在,请说明理由.21.如图,直角中,点,在斜边上（,异于,,且在,之间）.（1）若是角的平分线,,且,求三角形的面积；（2）已知,,,设.①若,求的长；②求面积的最小值.22.已知向量,,函数.（1）求函数的单调增区间.（2）若方程在上有解,求实数的取值范围.（3）设,已知区间（,且）满足：在上至少含有个零点,在所有满足上述条件的中求的最小值.试卷答案一、选择题1.详解：,则,,所以,故选.2.分析：由题意,求出,,根据倍角公式求出,,再根据两角差的余弦公式把展开,即得答案.详解：点为角终边上一点,,,,,.故选：.点睛：本题考查三角函数的第二定义、倍角公式、两角差的余弦公式,属于基础题.3.分析：利用向量的运算法则求出两个向量的和；利用向量共线的充要条件列出方程求出；利用向量的数量积公式求出值．解：与共线解得.故选.点评：本题考查向量的运算法则、考查向量共线的充要条件、考查向量的数量积公式．4.分析：取中点为,连接,找出异面直线夹角为,在三角形中利用边角关系得到答案.详解：取中点为,连接,在正方体中为底面的中心,为的中点易知：异面直线与所成角为设正方体边长为,在中：,,故答案选.点睛：本题考查了立体几何里异面直线的夹角,通过平行找到对应的角是解题的关键.5.分析：由已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简复数,再利用复数求模公式计算即可得到答案.详解：由,得,又,所以,解得.故选：.点睛：本题主要考查复数代数形式的乘除运算和复数模的求法,属于基础题.6.详解：因为∵,,的面积为,∴解得：,∴,故选．7.分析：根据题先利用平面向量的数量积的运算法则进行转化为恒成立,然后结合函数的恒成立,列出不等式组,即可求解.详解：由题意,非零向量的夹角为,且,则,不等式对任意恒成立,所以,即,整理得恒成立,因为,所以,即,可得,即实数的取值范围为.故选：.点睛：求平面向量的模的两种方法：1、利用及,把向量模的运算转化为数量积的运算；2、利用向量的几何意义,即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等方法求解.8.分析：根据终边相同的角的定义可判断命题①的正误；利用扇形的弧长公式可判断命题②的正误；利用平面向量数量积的定义可判断命题③的正误；利用平面向量的坐标运算可判断命题④的正误.详解：对于命题①,以直线为终边的角的集合可以表示为,命题①错误；对于命题②,,以点为圆心、为半径的圆的弦所对的弧长为,命题②正确；对于命题③,由平面向量数量积的定义可得,命题③错误；对于命题④,易知点,,所以,命题④正确.故选：.点睛：本题以数学文化为背景,考查了终边相同的角的集合、扇形的弧长、平面向量数量积的定义以及平面向量的坐标运算,考查计算能力,属于基础题.9.分析：根据题中条件,先数形结合表示出向量,的和,再利用向量与向量,和之差,表示出向量的终点轨迹,是以为圆心,半径为的圆,所以向量的模长范围,依据选项选出.10.分析：根据题中条件,先由正弦定理,可判断正确；根据余弦定理,可判断正确；根据两角和与差的正弦公式,可判断正确；根据特殊值可判断正确.详解：因为,由正弦定理可得,,即正确；又由可得,即,所以正确；由可得,所以或（舍）,故正确；由上推导可知,,所以可能为锐角三角形,如：,,,所以错误；故选：.点睛：本题主要考查正余弦定理的简单应用,涉及两角和与差的正弦公式,属于常考题型.11.分析：将平面展开图还原几何体后,由异面直线的定义和线面平行,垂直的判定定理对选项逐个进行分析证明即可得到答案.详解：由展开图恢复原几何体如图所示：选项,由点不在平面内,直线不经过,根据异面直线的定义可知：直线与直线异面,所以正确；选项,因为点,为中点,根据三角形中位线定理可得,又,,因此四边形是梯形,故直线与直线不是异面直线,所以不正确；选项,由知：,平面,平面,直线平面,故正确；选项,若直线平面,则,,点为中点,则,不妨设,则,,则与不垂直,所以不正确.故选．点睛：本题考查线面平行与垂直的判定与性质定理和异面直线的定义,考查分析推理能力.12.分析：代入特殊值检验,可得错误；求得的表达式,即可判断的正误；分段讨论,根据的范围,求得的范围,利用二次函数的性质,即可求得的值域,即可判断的正误；根据奇偶性的定义,即可判断的奇偶性,即可判断的正误,即可得答案.详解：对于：因为,所以,,,所以,所以在区间上不是单调递增函数,故错误；对于：,所以不是的一个周期,故错误；对于：,所以的周期为,当时,,；当时,,；当时,,；当时,,；当时,,；综上：的值域为,故正确；对于：,所以为偶函数,即的图象关于轴对称,故正确,故选：.点睛：解题的关键是根据的解析式,结合函数的奇偶性、周期性求解,考查分类讨论,化简计算的能力,综合性较强,属中档题.二、填空题13.解析：由题意可得：.14.解析：,则由正弦定理得,整理得,.故答案为.点睛：本题主要是熟练应用正弦定理进行边角转化,利用二倍角公式,切化弦公式进行化简即可得解.15.解析：以为坐标原点,,,所在直线为,轴建立直角坐标系,可得,,,则直线的方程为,设,则,,,,则由,可得的最小值为,16.分析：由余弦定理结合基本不等式可得的最大值,即得三角形面积最大值,利用正弦定理得的最大值,由切化弦后结合两角和的正弦公式,诱导公式可得的最小值解析：由余弦定理,即,,当且仅当时等号成立,最大值为,,,,,最大值为,,由正弦定理得,,,最小值为．点睛：本题考查正弦定理、余弦定理,还考查了基本不等式,两角和的正弦公式,诱导公式,掌握正弦定理和余弦定理是解题关键.三、解答题17.（1）或；（2）.分析：（1）由,可得,利用二倍角公式以及同角三角函数的关系可得,进而可求的值；（2）由,利用正弦定理可得,化为,求得,利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为,利用正弦函数的单调性,可得到函数在上的值域．详解：（1）由,得．．,即或,或．（漏解的两分）（2）由正弦定理可得,即,再由正弦定理得化为则即,又,＝,由,则,故,即值域是.点睛：以三角形为载体,三角恒等变换为手段,正弦定理、余弦定理为工具,对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题,一般难度不大,但综合性较强.解答这类问题,两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式,一定要熟练掌握并灵活应用,特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.18.（1）；（2）.解析：（1）设（,,且,）利用为实数以及其范围进行求解；（2）先求,再利用模长公式进行求解．试题解析：（Ⅰ）设（,,且,）,则,,,由（1）知：,.代入（2）得：,即.,,,,（Ⅱ）由题意：.考点：1.复数的概念；2.复数的运算；3.复数的模长．19.（1）证明见详解；（2）证明见详解.分析：（1）取的中点,证出,再利用线面平行的判定定理即可证出.（2）利用线面垂直的判定定理可证出平面,再根据线面垂直的定义即可证出.详解：如图,取的中点,连接,,为中点,,且,又,,,,为平行四边形,即,又平面,平面,所以平面.（用推出符号得满分,差条件每条扣两分）（2）由平面,所以,又因为,,所以,,平面,又平面,.（用推出符号得满分,差条件每条扣两分）点睛：本题考查了线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理,要证线面平行,需先证线线平行；要证异面直线垂直,可先证线面垂直,此题属于基础题.20.（1）；（2）．分析：（1）由题意求得,再根据,运算即求得结果；（2）设,其中,由,得,可得．再根据,求得实数的取值范围.详解：（1）由题意可得,,,,,故；（2）设,其中,,,,若,则,即,可得,若,则不存在,若,则,,故.注：未分类讨论按漏解算,扣2分考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；数量积表示两个向量的夹角．21.（1）；（2）,分析：（1）过点作交于,作交于,利用三角形相似求出线段的长,从而求出三角形的面积；（2）依题意,表示出,,,再由正弦定理表示出,,,,①由同角三角函数的基本关系求出,即可求出,从而得解；②由面积公式即三角恒等变换求出面积最小值.详解：解：（1）如图,过点作交于,作交于,则因为,平分且,（2）在中,,所以,,,又,设,,,,在和中由正弦定理可得,即,,,,①当时,则,,②令因为,,所以当时,点睛：本题考查正弦定理,三角形面积公式及三角恒等变换的应用,属于难题.22.（1）；（2）；（3）.分析：（1）根据数量积运算和倍角公式、辅助角公式,求出.令,,求出的取值范围,即得函数的单调递增区间；（2）由（1）