甘德强：《电力市场与电力经济》

电力市场与电力经济讲义

甘德强

浙江大学

二00四年四月十五日

电力市场与电力经济

当前我国正在积极进行电力市场开发。在世界上一些国家，特别是兴旺国家，电力市场运行已经

多年并正在逐步深化完善。电力市场因而成为近年来电力行业最热门的话题之一。同时，电力市场理

论也成为高级电力工程师希望具备的知识。

近年来电力市场有关理论的开展特别迅速。有关的根本概念，运行经验，市场规那么见诸可能上

千篇的论文和报告。专著也有多本出版。英国于2001年实现了双边交易市场，美国于2002年3月提

出了所谓“标准市场设计”。我国东北和华东区域电力市场也将于2004年正式启动。为此，有必要编

写一本系统反映电力市场根本理论和重要进展的讲义.此外，电力市场的建立与开展与微观经济分析

是密切相关的。很多关键的决策问题都需要经济学知识。例如要不要市场化主要与电力生产规模效益

程度有关，怎样拆分一个垄断国营企业为假设干独立核算的企业以便建立竞争机制与博弈分析有关。

因此我们在讲义中适当的补充介绍微观经济分析原理。

本书更像一个“地道”的讲义，而非专著。因此，在选材的时候，我们吸收国外教科书的优点，

力求突出问题的物理和数学实质，删除繁琐的细节。尽力做到删繁就简，便广自学。这也是讲义的特

点之一。实际上，一旦掌握根本知识，读者可以在工作的时候自如的处理细节问题。另外，我们还尽

可能的指出解决问题的一般步骤（如优化建模的步骤），引导读者学习实际工作和研究问题的能力。

本书讲述市场运行的根本概念包括市场结构和经济分析，侧重于介绍已经实际运行的市场结构，

特别是联营型电力市场的市场结构。书中也讲述局部技术支持系统的知识。这局部内容主要取自作者

的研究成果。

讲义的主要内容是为大学电机系高年级学生和一年级研究生编写的.我们假定读者已经掌握根底

课程包括微积分，线性代数。因为关心电力市场理论的读者可能会有各种各样的专业背景，所以我们

在编写讲义时，简要介绍了一些电力系统的根本知识。这样，即使没有学习过电路和电力系统分析的

读者也根本能够阅读讲义。对于某些涉及较多细节的章节，我们都一一指出，以便于不同类型读者阅

读。本书的另外一个特点是提供了MATLAB程序，便于学生练习和验证新的设想。这样做的另外一

个目的是引导读者学习MATLAB,为读者掌握MATLAB这个科学研究的优秀语言奠定根底，

在讲义中，我们首先简要介绍电力系统运行方式在过去的一个多世纪以来的变迁历史，随后在第

二章介绍电力系统运行的根本知识，包括平安经济调度，潮流计算，AGC和备用方案，以及机组起停

方案。在介绍这些根本概念的时候，我们同时介绍优化的根本原理如KTT条件。我们的侧重点是优化

原理而非优化算法。当一个学生具备这些知识后，很容易理解电力市场的理论。

第三章介绍几种常见的有功巾场运行方式，包括统•电价模型，节点电价模型，差价合同模型,

多结算系统模型和双边交易模型。这些模型都在实际市场，比方美国东北市场和浙江电力市场，得到

广泛应用。

第四章介绍辅助效劳市场的根本概念。这一章的知识相对来说，还没有开展成熟。对于有些不希

望知道辅助效劳市场细节的读者，跳过这一章也能够继续阅读后续内容。本章的特色是，强调辅助效

劳和能量市场的紧密关系，从联合优化的角度介绍调度和定价的各种严格数学推导和启发式方法（如

序列优化）。

第五章介绍公共费用分摊，特别是与输电系统有关的费用分摊。本章的重点是基于公理的分摊输

电投资费用的方法。另外这一章还要介绍在北美广泛使用的输电权投招标。这一章的知识也在快速开

展之中，但我们认为是电力市场理论不可缺少的局部，所以希望对电力市场理论有兴趣的读者能够了

解。

第六章经济分析是讲义的另一个重点局部。经济分析是电力市场高层次决策（如市场结构设计）

的根底。我国开展市场经济较及，相应的对经济分析的投入也较少。因此，电力市场经济分析就尤其

需要得到更多重视。这一章我们将介绍博弈论的根本概念标准博弈以及纳什均衡，微观经济学的根本

概念包括需求函数，生产函数和市场博弈分析。在这一章的最后我们介绍电力市场经济分析的几种模

型。这一章的知识也在快速的开展。有兴趣的读者还应当进一步阅读有关文献。

读者在阅读完第1,2,3章后可以直接阅读讲义的第4,5,6章中任何一章，因为这些章节相对

独立。下列图显示讲义各个章节的联系。

图讲义中各个章节的逻辑关系

电力市场这个课题涉及很多学科，自身的内容也没有比拟通用流行的分类。下面是讲义中我们对

电力市一场理论进行的分类（讲义也是这样安排的）：

-技术支持系统：包括调度计算的数学模型和计算方法，各种负荷预测，各种备用的需求计算，以

及相关的软件设计等等。这方面的内容和传统的电力系统能量管理系统理论并没有实质上的区别。

-市场设计：包括有功和辅助效劳调度模型的设计，交易结算机制，公共费用分摊方法，市场垄断

力的管制方法等等。我们认为这方面的内容是电力市场理论的核心。

-市场分析：包括市场各方厅为分析，社会效益分析，市场运行计量经济分析，市场力计算，电价

预测等等。这些内容也是电力市场的重要课题。

在编著这本教材的过程中我们得到了选修浙江大学《电力市场与电力经济》课程的研究生和本科

生同学们的支持与帮助。他们积极参与了课程讨论和实验，阅读了讲义内容，对讲义的结构提出了意

见并纠正了讲义中的局部错误。讲义中局部研究成果取自浙江大学电机系博士研究生胡朝阳，赵学顺

和许蜻的“杰作”。研究生于洋帮助编写了电价预测有关内容。此外，讲义中的一些观点和内容也是与

美国康乃尔大学电气学院RJThomas教授，高级研究员RZimmerman博士，美国ISONewEnglandInc

技术部主任ELitvinov博士的奉献分不开的。在此表示感谢。最后也是最重要的，感谢导师西安交通

大学王锡凡教授引导笔者走上科学研究的道路！

讲义的目的是传播知识，表达的意见只有学术意义，当中的错误应当作者负责。希望热心读者批

评指正。作者的地址是dgan碰通信地址为浙江大学电气工程学院，浙江杭

州，310027。

电力市场与电力经济讲义

1.绪论EquationChapter1Section14

1.1微观经济学根底4

1.2电力生产的历史8

参考文献10

2.电力系统运行根底EquationChapter2Section1Ii

2.1经济调度11

2.2潮流计算12

2.3事故潮流分析17

2.4约束优化根底18

2.5平安经济调度22

2.6频率控制25

2.7旋转备用28

2.8机组起停方案28

2.9输电界面输电能力计算31

2.1()电力系统运行概述36

附录一确定辅助效劳需求37

附录一非线性规划约束正那么条件**40

参考文献41

3.市场设计一实时有功市场EuualionChamer3Seclion142

3.1机构设置43

3.2统一电价模式44

3.3节点电价模式48

3.4配电侧竞标原理54

3.5日前市场55

3.6事后节点电价**57

3.7网损考虑**60

3.8英国双边交易模式63

3.9加州电力市场68

附录一区域电力市场的讨论68

附录一多段报价机组的处理69

参考文献72

4.市场设计一辅助效劳管理EquationChapter4Section173

4.1备用市场73

4.2AGC市场77

4.3有功、备用和AGC联合运行巾场79

4.4AGC效劳非竞价管理82

4.4无功管理83

附录一澳大利亚国家电力市场87

参考文献87

5.市场设计一公共费用分摊EqualionChapter5Section188

5.1输电费89

5.2开停机费用90

5.3输电权**100

附录一美国标准市场设计106

参考文献106

6.微观经济分析EqualionChapter6Section1107

6.1非合作博弈论根底108

6.2电力市场价格竞争博弈模型114

6.3市场力分析119

6.4电力市场模拟实验120

6.5电价预测128

附录一电力市场监管和评估133

附录一不动点理论和市场均衡的存在性**134

参考文献135

中英文用语对照表136

1.绪论EquationChapter1Section1

1.1微观经济学根底

现代微观经济学的核心理论大概包括需求理论，生产理论，市场均衡和博弈理论。本节将简要介

绍前两局部的知识。后面介绍博弈理论及其应用。

〜供需平衡原理〜

在现代社会，人们消费商品以获得自身效益。例如，人们都接受高等教育或消费食品。社会中每

一个个体都有各臼的偏好(PREFERENCE)<,个体的偏好会影响个体对某种商品的需求。商必是有价

的。因此，消费某种商品的数量(商品需求)一般还是价格的函数。现代需求理论是建立在这两个根

本概念的根底上的。在经济学研究中进行市场供需分析的时候，一般假设需求仅仅是价格的函数。本

节也采用这个假设。这个函数就是需求函数(Demandfunction)o例如，某一时刻的电量需求可以表示

为函数P(0)。

显然，电价越高，电量需求越少。因此电量需求函数P(p)应当是单调减的，如下图。

图单调减的电量需求函数P(p)

后面常常用到需求函数的逆函数，记为夕（P）,如下图。

图电量需求函数的逆函数夕（P）

在市场的另外•面，供给商也可以采用供给曲线来描述，如下列图所示。

图供给曲线

供给曲线表示对于市场上.生产者能够得到的价格，他们愿意出售的数量。显然，供给曲线是单调

增的。

下列图显示，供给与需求交点为供需平衡点，其相应价格为出清价格Po当市场价格高于P,处

于P1时，供需不平衡，供给剩余量迫使供给商降低价格，最终供需平衡在价格水平P;当市场价格低

于P,处于P2时，供需不平衡，供给短缺量促使供给商提高价格，最终供需平衡仍然在价格水平P。

图供需平衡

〜无形的手与有形的手〜

前面我们讲述到，供需可以自动平衡到一个出清价格..这就是所谓“无形的手”.市场供需平衡

时，消费者和生产者享受赢余，如下列图所示。当价格处于均衡点时，局部消费者可能愿意支付高于

均衡点价格P的价格P1，因此这些消费者享受赢余。市场消费者享受赢余的幅度由图中上三角形的面

积来描述。同理，生产者赢余可以由图中下三角形的面积表示。

图消费者赢余和生产者赢余

假设政府处于某种原因干预市场（有形的手〕，设定一个市场最高限价P2（如下列图所示），此

时生产者将降低产量至Q2。消费者赢余变化为A-B,生产者赢余变化是一A一C。两者之差为无谓损

失，人小等于B十C。

图管制价格上限低于出清价格时的社会赢余损失

假设政府设定•个市场最低限价P1（如卜•列图所示），比时需求量为至Q1。消费者赢余变化为

-A-B,生产者赢余变化是A—C。两者之差为无谓损失，大小等于B+C。

图管制价格高于出清价格时的社会赢余损失

上述说明，政府干预市场是没有必要的。当然，这个断言的正确性是有前提的。

〜价格弹性和完全竞争市场〜

需求随价格变化的速率用价格塑性来描述。其定义如下：

p_dP_

£（「）=(1.1)

~P~dp

消费者对某些商品具有几乎无穷大的弹性（无穷大为数学抽象），比方珠宝。对这样的商品其需

求函数的逆函数如下列图所示,

图弹性无穷大的需求

而对某些生活必须品，例如食品，消费者的需求与价格没有多少关系。这样的商品其需求函数的

逆函数如下列图所示。

图完全无弹性的需求

生产商品是需要费用的。比方，生产电量需求购置燃料。一般，生产费用是原料价格和产量的函

数。经常，我们假设原料价格恒定，或者我们对原料价格不感兴趣，所以认为生产费用只是产量的函

数。对于电量生产费用函数，我们用c(P)表示。生产费用函数有一个重要概念叫边际费用，其定义为

—.显然，边际费用是产量的函数。

dP

现在我们介绍生产理论的一个重要定律，即根本生产定律，一个公司生产的目的是取得最大赢利。

假设这个公司面临的逆需求函数是p(P)。公司的赢利最大化问题可以表示为：

Max乃(P)=v(P)-c(P\=p(P)P-c(P)(1.2)

p

对P求导得:

dvde八、

—=—(1.3)

(1PdP

上式说明：如果公司获得最大廉利，那么边际嬴利等于边际费用。这就是著名的根本牛.产定律。

注意WP)=p(P)P,所以手=p(P)+半这样根本生产定律可以写为:

dPdP

如然瓢)

从价格塑性的定义£=«"，我们得到生二」巴。代入式(1.4)经整理我们得到一个重要结论:

PdpdPPs

c/c

P=a(i.5)

1+-

£

一般情况下，？VO,所以EVO。上式(1.5)说明，公司的定价策略是由价格塑性确定的。如果价格

dp

塑性高，那么价格应当低；反之，如果价格塑性低，那么价格应当高。这个结论在日常生活中都能够

观察到。

现在考虑•个理想化的情况。当价格塑性无穷高时，逆需求函数P(P)是个常数。所以■!■二(),

£

这时：

P*L6)

dP

这就是完全竞争市场的价格，即生产价格等于边际费用。经济学家们认为，一个完全竞争的生产

从社会利益来讲是最好的。在设计市场的时候，应当尽量使得所设计的市场是完全竞争市场。试想如

果所有商品，电力，通讯，等等都非常廉价，对公民来讲岂不是很理想？

当市场存在几乎无穷多个供给商的时候，而且各个供给商所长生产份额都很小的时候，市场就是

一个完全竞争市场。

〜规模效益与自然垄断〜

现在介绍生产函数(PRODUCTIONFUNCTION)的概念。一个公司生产某种商品，总是需要使

用原料。比方，一个大学“生产”大学生需要足够多的老师。再如，一个电厂生产电力需要使用燃料。

用z表示一个燃煤电厂使用的煤的吨数，E表示相应的发电机生产的电量，生产函数可表示为E(z)。

显然，生产函数常常是单调增的，如下图。

图单调增的电量生产函数

关于生产函数有两个根本概念。第一，生产函数一般是个参数优化问题。原因在于许多商品可以

用不同技术和不同原料生产，显然厂商会采用最廉价的方式生产出最多的商品。第二个根本概念很重

要，它是关于生产函数的形状的。这就是规模效益。有如下三种情况(参见图示)：

如果对任何/>0和z,£(/z)=/E(z),我们说生产函数有恒定规模效益。

如果对任何，>0和z,E([z)<lE(z),我们说生产函数无规模效益。

如果对任何1>0和z,⑵，我们说生产函数有显著规模效益。

一个生产是否具有规模效益也可以通过观察边际费用函数的形状来判断。一般，对恒定规模效益

的生产，其对应的边际费用函数是常数；对有显著规模效益的生产，其对应的边际费用函数是下降的;

反之，对无规模效益的生产，其对应的边际费用函数是上升的；如下图。

图边际费用函数和规模效益

现代微观经济学有如下重要断言：一个具有规模效益的产业不能到达完全竞争，因此是自然垄断

产业。对于自然垄断产业，政府干预是恰当的。

以上讲述的主要内容是常规的，在一般的微观经济学教材里都能找到。我们主要参考了文献

[LUENBERGER].

最早的电力市场经济分析论文出现在1980年左右。随后，每年都有大量的文献和报告介绍电力

巾场经济分析方法。尽管如此，电力巾场经济仍然是•个非常新的领域。同时，因为电力巾场许多重

要的，高层次的决策都是基于微观经济分析的结论，因此，电力市场经济分析是个重要的领域。

多年以来，人们一直认为电力生产具有明显的规模效益。文献［JOSKOW］对电力生产规模效

益进行了实证分析，改变了人们对这个问题的看法，引发了电力市场在世界范围的建立。影响电力市

场开发的其它因素当然也存在，比方，在英国有历史和政治的原因。据我们所知，文献【JOSKOW】

的结论为电力市场的建立提供了理论依据。

1.2电力生产的历史

电力生产自电灯创造以来的大局部时间里都是由政府调控的。政府调控主要表现在对电价的调控

上。政府调控后的电价略高于本钱。为什么电力生产在以前要政府调控呢？有以下几个原因：规模效

益显著；很低的用电需求弹性。具有上述特性的产业被称为“自然垄断”产业。因此，电力生产过去

是“自然垄断”产业。其它常见自然垄断产业有邮政效劳和初级教育等等。

自然垄断的优点是，如果监管得当，仍然有较高的效率，且效率高于市场。自然垄断的缺点一般

包括以下几点：劳动效率不高：没有动因来鼓励新技术使用；没有动因来鼓励新效劳的开发,

在最近的十年里，世界各国都在尝试或研究市场方式的电力生产。当前我国正在积极进行电力市

场开发，以市场的方式运行电力系统即将成为事实。为什么呢？技术进步推动了市场化进程：

>研究成果说明发电本钱规模效益正在减小且已经足够小（各个国家发电技术水平不同，国

外研究结论未必适合中国国情）；

>强大的电网是竞争的必要条件之一。比照交通系统对经济的影响就可以得到这个结论。现

在输电技术逐步提高，电网越来越强；

>用电弹性正在或者将要提高。这是因为各种智能化电表，设备的出现，以及因特网的诞生。

这说明，发电侧可以引入竞争。竞争可能带来的好处：更多的用户选择（效劳多样性）：更多的

新技术使用；更有效的资源配置。那么网络呢？让我们来看看下述事实：

>如果线路由一个厂商独立拥有，用户仍然可以选择有线电视节目，供电厂商，或供给商，

享受竞争带来的好处。

>为在线路侧引入竞争，架设两条线路是高本钱的重复建设。类似地，架设多条铁轨或输油

管道来实现网络竞争是浪费的。

电网和配电经营仍然是“自然垄断”，适合运用固定投资回报率的调节经济（regulatedeconomy）o

电力系统市场开展的重要事件小结如下：

>1980—美国里根总统经济参谋主任，麻省理工学院P.Joskow发表发电技术规模效益分析报

告

>1982—智利在世界二首次建立实时电力市场；麻省理工学院F.Schweppe等人提出分时电

价理论

1990—英国作为世界上第一个兴旺国家建立联营电力市场

>1992—哈佛大学W.Hogan提出财务输电权理论

>1994—挪威和周边国家建立世界上第一个跨国电力市场Nordic电力市场

>1995—新西兰Cantbury大学学者和新西兰国家电力公司提出后来广泛使用的事后电价理

论

>1996—澳大利亚和新西兰建立基于事后节点电价的联营电力市场；美国加州建立基于区域

电价体系的联营电力市场；美国FERC发表FERCORDER888：

>1997—加拿大阿尔伯他省建立类似英国联营电力市场的电力市场

>1998—美国PJM地区建立基于事后节点电价的联营电力市场

>1999—美国新英格兰地区建立基于联合优化的电力市场：纽约州建立基于联合优化和节点

电价的联营电力市场

>2000—加拿大安大概省建立基于联合优化和节点电价的联营电力市场：浙江省建立类似英

国联营电力市场的电力市场并使用差价合约技术

>2001—英国实现第二次改革，建立双边交易电力市场；美国德克萨斯州建立基于区域电价

体系的联营电力市场；美国FERC发表FERCORDER2000

>2002—美国FERC发表”标准市场设计草案WorkingPaperOnStandardMarketDesign")

电力有许多区别于普通商品的特点：

>依赖于网络传输，用电和发电无一一对应的关系

>电力不可大规模存储

>零短期价格塑性

上述特性为电力市场的创立造成了很大困难。现代经济学认为，一个市场成功的必要条件之一是

产权明晰，这样才可以让商品自由交换。因为电力依赖于网络传输，用电和发电无一一对应的关系，

因此，建立一个产权明晰的电力市场有困难。因为电力不可大规模存储，这又增加了建立产权的困难。

现代经济学还断言，一个良好的市场应当有积极的用户侧响应。但电力的零短期价格塑性使得建立用

户侧响应困难。

最后，我们讨论一下，中国要不要进行电力市场？这是一个许多电力工程师关心的问题。对这个

问题，我们不能给出一个明确的答案。但是，在这里让我们看看以下“有利”的事实：

>中国收入不均衡已经引起人们重视，中国电价和英国美国相当。各种产业组织垄断力量的存在是

原因之一。现在虽然中国缺电，但市场至少在负荷低水平的时候起到作用。此外，缺电的局面在

2—3年内就能够得到改善。

>原来庞大的电力系统现在分解为单一购置者和发电两大利益竞争的局部。竞争带来好处。电厂工

作态度积极，效率提高。

在答及这个问题的时候还应当看到如下“不利”的事实：

>我国发电产业的规模效益程度还没有定量的分析的结果。

>发电企业的产权结构还没有完全理顺。

>我国电力市场有关的技术支持系统，包括软件和硬件，都还需要加强。

>支持市场建设的法律制度尚需要进一步完善。

〜〜〜〜〜文献[Joskow】介绍电力市场开展的历史,经济学原因。大量的有关电力市场的信息,包

括详细的市场规那么,运行报告等等都可以在互联网找到。下面是一些作者收集的网站地址:

://caiso/

://elexon.co.uk/

://ercot/

://eex.de/index_e.asp

://nz.m-co/grids/home-flash.asp?id=110&area=14

://iemo/

://iso-ne/

:///

://nationa]grid/uk/

://nemmco.au/

://emco.co.nz/

://nyiso/

://.uk/

：//pjm/

://ukpx/default2.asp

://aeso.ca/index_f.html

://miso-pjm-spp/

://pjm-cem/

://nerc/~rto/

://rtowest/

://neca.au/

://.au/

://t.nz/ers/inf_disc.html

:///djh/index.jsp

:///

参考文献

1.P.LJoskow,^Restructuring,CompetitionandRegulatoryReformintheU.S.ElectricitySector",

JournalofEconomicPerspectives,1997,vol.11.no.3,pp.119-138

2.W.Sweet,E.A.Bretz,A.Kahn,“HowtoMakeDeregulationWork'',IEEESpectrum,vol.39,no.1,

2002

3.R.J.Green,^CompetitioninGeneration:TheEconomicFoundations"，ProceedingsoftheIEEE,vol.

88,no.2.February2000.pp.128-139

4.杰里，瑞尼著，王根蓿，朱保华译，高级微观经济理论，第二版，上海财经大学出版社，2002

2.电力系统运行根底EqnationChapter2Section1

现在流行的电力市场大都配备有实时市场。因此，要学习电力市场，必须首先学习电力系统运行

的根本理论。此外，对于一个电力工程师来说，我们最关心的问题往往也是电力市场运行问题.

2.1经济调度

电力系统的首要元件是发电机。发电机种类有燃煤，燃油，燃气，核电和水电。运行这些机组的

本钱有两类：固定本钱，可变本钱。系统运行应当考虑这两类本钱。一一般，当发电机建成后，固定本

钱分摊到可变本钱，由此可得到机组费用曲线。令生代表发电机出力，费用曲线可以用函数。(生)表

示。

给定一个预测负荷，显然，应当调度机组使得运行费用总和最小。这就是经济运行的根本概念.

这个问题的数学模型可以表达为一个优化问题：

NG

M山£《(％.)(2.1)

Pc<=1

SIe，PG=PD(2.2)

PG<PG<PG(2.3)

其中e,=[l1，…，1].EG和先分别为发电机出力下限，上限；办代表系统总负荷；NG

为系统发电机数目。现在，我们介绍怎么求解上述优化问题。本节考虑没有不等式约束的情形。有不

等式约束问题的解法我们随后介绍。这个问题变为：

NG

M/力Nq(%j)(2.4)

PGi-i

T

ST.ePG=PD(2.5)

对上述问题可以采用经典的拉格朗日乘子法求解。令力代表与等式约束对应的拉格朗日乘子，上述等

式约束优化问题可以转化为：

NG7

Minr=Eq.(&)+「(/PG-%)(2.6)

PG//=1

对变量PG和/I求偏导就得到最优性条件：

—=-^+/l=0,z=l,2,...,NG

.”GidPGi（2.7）

身二也-3a

上式即所谓协调方程。根据协调方程，经济调度的最优解是调度发电机出力使得费用曲线微增率

相等。这是因为最优解满足如下方程：

3%明726PG,NG

这个结论也就是著名的等微增率法那么。

2.2潮流计算

如果输电导线输送的电流过大的话，导线会被烧断。所以输电系统的送电能力是有限的。在调度

系统发电机时，应当保证线路潮流不过载。例如，在下列图所示系统中，发电机G1的出力应当限制

在150MW以内，尽管它的报价比发电机G2更低。发电机G2那么不得不出力50MW尽管它的报价

高。

实际电力系统潮流计算要比两机系统潮流计算复杂。根木计算方法是建立在电磁场和电路理论根

底上。具体的说，根据电磁场理论可以建立线路模型。发电机和负荷一般用恒定节点注入功率表示。

再根据电路理论可以建立线路和节点的联立非线性方程组。

描述一个电力系统在某一时刻的状态模型是电路模型，状态变量是各个母线（变电站）复电压和

电流，如下列图所示。

图电力系统元件电路模型

图中各个变量意义如下：

舄+/Q）一节点，注入功率：

六一节点i对地支路电流；

号+K”一线路阻抗；

4一节点/注入电流；

Rio+jX“，一节点，对地支路阻抗；

%,+jXi0一节点、j对地支路阻抗;

r—线路电流;

令i和v分别代表节点电流和电压复向量，丫代表节点导纳矩阵。电力系统状态变量（电压和电

流）满足所谓基尔霍夫定律：

I=YV(2.9)

令N为节点总数目,上式可以写为:

令:

Branchi-j的admittance为:

节点导纳矩阵中的非对角元、对角元:

%=—%⑵⑵

匕二Z%（2/3）

J

户i

注意更功率的定义:

N

(2.14)

这样：E+./Q—匕之=。⑵15)

./=!

当节点电压以极坐标表示时，V=VZ^o上述方程中电压向量是未知，节点导纳矩阵是与系统线

路参数和系统接线有关常数矩阵。通常我们知道的是节点注入有功，节点负荷和节点注入无功，节点

无功负荷。所以上述方程展开并可以改写为：

PG「"M玄&匕cos%+B/jsin%)=0

j=i

(2.16)

QG「QDL匕£(4匕sin%BjjVjcos%)=0

7=1

其中•和/b为第i节点发电机有功出力和负荷，在求解潮流方程时为常数；念,・和•为第i节点

发电机无功出力和负荷，在求解潮流方程时也为常数；G和A分别为节点导纳矩阵元素的实部和虚部:

匕和4.为第i节点复电压的模和相角，%=名一%。

在讲义中，我们主要考虑有功问题，所以不考虑无功方程组。假设电压模(在实际生产中，电压

变化不大)，且线路两端电压相角差很小所以sin%b%,cos%al,同时G状。0,这样我们可以

简化上述潮流方程，得到如下线性方程组：

N

6一号厂匕Z9易%=0(2.⑺

上述有功潮流方程在许多调度中心在线调度计算时使用。如果我们假设电压等于I，就得到如下方程:

N

PG「=0(2.18)

>1

NNN

将上式中的和式分开为Z%%=0i£B厂。如果我们在形成导纳矩阵的时候忽略支路

j=l片1j=T

N

电阻，根据导纳矩阵的定义，E%=o,所以，上述方程可以写为：

/=1

N

%一%+E%%=0(2.19)

7=1

或者：

N

PGi-PDi=£(一%)%(2.20)

j=l

写成矩阵形式，

%=PG-PD=B0(2.21)

以上我们得到简洁的直流潮流方程形式。

在某些节点没有负荷或者发电机，这时，与这些节点相美的P。或PG矩阵元素为0。上式即为直

流潮流方程。

现在我们推导支路潮流的近似表达式。首先回忆如图示支路模型，其中++和

6向+/8”为支路导纳，,工)。

令7代表电流的共规，+jQij代表注入节点i的复功率，这样根据一般的电路理论，

=匕花(备-四。)+(日-V.)(G,-JB,)](2.22)

=匕佗Gj。一用%+V^-jV^-叫+用冬)

注意到v=v"，令。,一％=为所以：

2

与+jQ,}=[(Go+G,)V.一(与sin%+G.cos^,)vy7l「23)

+j[-(BiO+纥)匕2+(Bqcos%-G.sin%)匕匕]

所以，

Pq=(Gjo+Gjj)V^—(Bjjsin%+G4cos%)匕匕(2.24)

近似地，我们令匕=％=I,sin%x%,G«0,G"才0,这样,

JJJioJ

Pij=一为为(2.25)

1

经常我们用外表示线路有功潮流。因为吗•=-.X:,近似地令支路电阻为零，这样3力=-」一，

〃J考+xjvXu

此处Xij为线路j-J的阻抗，流经线路i-j的潮流鸟按照如下公式计算：

Fij=(e「Oj)/Xij(2.26)

令C为节点关联矩阵，其形状如下：

i列j列

C=...1...-1...线路(2.27)

在形成上面例矩阵时，我们假设潮流从节点i流向令矩阵X有与C相同的结构，其元素定义如下:

i列J列

11

X?线路一(2.28)

这样线路潮流方程可以写成矩阵形式如下:

F—X0(2.29)

上述模型使用稀疏矩阵，便于计算。在后面我们还将用到稠密矩阵表示的经济调度模型。现在加

以推导。注意矩阵B是不可逆的，为求解直流潮流方程，一般我们选择一个参考节点并令其相角为0。

为表达方便起见，我们假设系统有N个节点，并且参考节点取为节点N。我们使用带‘符号变量表示

删去与参考节点有关项后的向量或矩阵。注意当节点注入功率向量P%和负荷P3后，参考节点净注入

有功可以等于直流潮流方程可以改写为：

P[F=B3

‘兄N-分”-一篮-P；))(2.30)

%=°

母线相角可以直接计算如下：

O'=B'T(PZ-P8)(2.31)

注意:

B-(P2-P})=B-10

F=X6=XM-%)(232)

000

令:

B-10

(2.33)

00

线路潮流可以表达为：

F=T(PG-PD)(2.34)

矩阵T的元素可以称为支路潮流一发电机出力灵敏度系数。木节介绍的两种直流潮流模型将在讲

义中屡次用到，读者务必熟练掌握。

例题

在图示系统中，各个线路阻抗相同，均为1(基准值为lOOOMWJo采用本节介绍的两种方法计

算线路潮流1如果需要更多练习，可以参照文献【王锡凡】或相关书籍。)

答案

先采用第一种方法计算。例系统直流潮流方程为：

现在令节点3为平衡节点，在上述方程中删去第三行和变量打，得如下方程：

这样，求解上述方程得节点相用：

注意，3=0,所以各个支路潮流如下：

将上述标么值转化为有名值就得到各个支路潮流值，分别为500,400,100兆瓦。

现在用第二种方法计算。首先建立矩阵X如下：

--I1I2-1

X=-11,对应线路3-1

1-12-3

-0.66670.3333

前面已经计算出矩阵B'的逆为Bi=_。再计算矩阵T：

0.33330.6667

直接计算支路潮流：

两种方法计算结果吻合。

2.3事故潮流分析

电力系统元件比方发电机组或者线路会出现偶然事故，其结果是机组跳机或者线路调闸。我们来

看看这些偶然密故对系统调度有什么影响。假设下列图中的调度方案是最优的。

图不考虑N一】事故时的最优调度

当一条线路跳闸后，系统潮流如下列图所示。

图事故后系统状态

从上图可见，线路出现过载。一般，这样的过载是不能接受的。下列图显示平安经济调度的结果。

图平安经济调度

在平安经济调度下，如果一条线路调闸，其事故后系统也是平安的，如下列图所示。

图在平安经济调度时的事故后系统状态

现代电力系统的调度都考虑了N-I事故，而平安性分析是其技术根底。

2.4约束优化根底

现在我们来看怎样建立下述单变量，具有不等式约束的优化问题的最优性条件。

Minc(x)(2.35)

ST.h(x)<h〃(2.36)

假设我们已经找到最优解x。在这个最优解处，不等式约束6")4〃可能是起作用的(即〃(幻=〃),

也可能不起作用(即人(幻<〃：。如果这个不等式约束约束不起作用，最优解满足条件：

—=0(2.37)

dx

如果不等式约束起作用，上述不等式优化问题变为等式约束同题：

Minc(x)(2.38)

ST.h(x)=b(2.39)

为求解上述问题，建立拉格朗日函数「=c(x)+川〃(x)一加，对X和4求偏导，建立最优性条件：

半+〃孚=。(2.40)

axax

/z(.r)=/?(2.41)

将上述结论小结如下余优性■条外：

h(x)<b,—=0(2.42)

dx

或者：

/7(x)=b,F/j—=0(2.43)

dxdx

现在我们来看，当不等式约束起作用时，与不等式相关的拉格朗日乘子〃有什么性质。

首先注意一个根本领实，即如果我们把b当作一个参数，那么最优解X和相应目标函数值c(x)随

b变化而变化。也就是说，最优解X和目标函数都是参数b的函数。更进一步，因为人的大小决定了

解的集合｛x:〃(x)<〃｝的大小，所以b越大，最优解的目标函数值c(x)就应该越小或者非增。这就是

说：

R标函数在最优点的值是参数b的非增加函数

因为最优解人和拉格朗日乘子〃满足如下联立方程:

dedh八

dxdx(2.44)

h(x)=b

这样，我们知道最优解是b的隐函数，即x=将此式带入上述联立方程得:

h[x(h)]=b(2.45)

对〃求导得半空=1。将此式带入最优性条件，得半+〃”=0,即如下重要关系:

dxdbdxdx

…*.46)

前面我们己经说明，如果b越大，最优解的目标函数值c(r)就应该越小。也就是说：

>如果db>b,必有devO；反之，如果db<。，必有de>U。因此

从另外一个角度，因为目标函数在最优点的值是参数人的下降函数，故化<0,因此〃>0。也

db

就是说：

>不等式(<)约束对应的拉格朗日乘子>0

注意到在不等式约束起作用的最优性条件中，如果令〃=0,就得到不等式约束不起作用的最优

性条件。为便于统一处理，我们可以令不等式不起约束时的拉格朗日乘子〃=0,得到一个统一形式

的拉格朗R函数「=「(X)+〃U'7(K)—〃L这样,在建"拉格朗R函数时,就不必担忧不等式约束是否

起作用，也不必将等式和不等式约束区别对待。今后我们就要采用这个方法建立拉格朗日函数。我们

还得到一个形式上更简捷的最优性条件如下：

(单变量单不等式约束优化问题最优性条件)

h(x)<b

dedh八

hU=0

dxdx(2.47)

ju[h(x)-/?]=0

;/>0

这样，我们就建立了单变量，具有不等式约束的优化问题的最优性条件。为方便记忆，最优性条件中

〈〃可以看作是拉格朗日函数「=cM+pWx)-h］对〃求导的结果。式//［h(x)-b\=0称为对

补松弛条件，它要求〃或者［版人)-0两项中一项必须为冬。

从上述结论很容易就得出多变量，一般不等式约束的最优性条件。这个方法在很多场合有效。首

先定义多变量，一般不等式约束的最优性优化问题为：

Minc(x)(2.48)

S.T.h(x)<b(2.49)

g(x)=d(2.50)

令拉格朗日函数如下:

r=c(x)+『[h(x)-b]+»[g(x)-d](2.51)

下面不加证明给出这个最优性条件，ATT条件:

g(x)=d

ji7|h(x)-b]=0

ji>()

上述方程要成为最优解必要性条件还应当满足一个要求，那就是，上述方程组有解。可以证明,

这等效于如下条件：

>最优解处矩阵”和单行满秩(绘的行向量线性无关,当的行向量线性无关】

dxdxdxdx

上述条件就是所谓约束正那么(ConstraintQualification)。有人担忧约束正那么条件是否总是成立,

这个担忧是有远见的。本章附录给出了一个非常优美的数学断言：

约束正那么条件几乎总是成立的

有关KTT条件的详细推导读者请参阅优化理论书籍。文献【柳焯】深入浅出并结合电力系统应用,

值得推荐。

最后需要指出，并不是所有优化问题都存在最优解。解的存在性的一个充分条件⑴山侬）

>目标函数连续并且N行解的集合有界和闭合

下面看一个运用KTT条件求解优化问题的例子。

例题一求解下述有不等式约束优化问题旧?

答案一首先建立拉格朗日函数：

最优性条件为：

上述最优性条件包含4个变量，但只有两个线性方程，另外两个线性方程可以从对补松弛条件寻找。

这样，我们得到4个条件：1一（4%=0）；2-（4，冬工。）；3—（4=。，打工。）；4-

（4工0,4=0对应地，我们得到4个联立方程组：

2力+4=02M+4-4=02yl+4-4=0

2y2+24]—=02y2+22|-22=02乃+2%—^2—0

4二0y\+2y2-2=04二0

%=01一%一%二0I一»一）'2=0

2））+4—=0

2乃+24-4=0

y\+2乃一2=0

/U=0

求解上述4个方程组，剔除不符合最优性条件的方程解，我们就能够得到最优解。

在本小节推导中，我们假设起作用约束已经找到，并进而找到了最优性条件。但这个假设对求解

实际问题不能提供任何帮助。对于线性优化问题，寻找起作用约束可采用较为成熟的单纯形算法［见

文献【柳焯】）。

下面介绍一个线性规划图解法。所求解的问题如下：

其图解如下列图所示。

图线性规划图解

对非线性优化问题，目前还没有比拟公认的成熟方法，很多算法都只是对某一类问题有效。解例

题采用的是枚举法，这个方法显然不实用，因为它需要求解的方程数F1随问题大小（约束数H和变量

数目）成指数增长。

2.5平安经济调度

将经济调度和直流潮流模型合并，我们就得到考虑到线路潮流约束的经济调度模型如下：

NG

M/力(%j)(2.53)

PG/=1

ST.PG-PD=B0(2.54)

X0<F(2.55)

PC<PG<PG(2.56)

上述模型中我们还应当增加•个约束,^-X0<F,这样就能够考虑支路潮流逆向问题。但为使

得公式简洁,我们没有这么作。

实际现代电力系统运行都采用了类似上述模型的平安经济调度，只是具体的数学模型和求解方法

有一定的量的区别。比方，当需要考虑电压问题时，我们将上述模型扩展可建立最优潮流模僵。没有

现代软件支持的调度中心那么凭调度员经验求解上述问题。此外，一般调度中心都需要考虑事故约束

甚至暂态稳定约束。熟练掌握上述经济调度模型有利于进一步学习其它复杂一些的调度模型，起到举

一反三的效果。为加深理解，让我们看一个简单例子。

例题

建立上节所示三节点系统平安经济调度问题。

答案

(%二。为常数)

一般，在技术支持系统经常使用上述稀疏形式经济调度模型。在电价分析的时候，我们经常使用

更为简洁的稠密形式经济调度,考虑到线路潮流约束的使用稠密矩阵表达的经济调度可以表示为：

NG

Min(生»(2.57)

PGi=l

r

ST.e(PG-PD)=0(2.58)

T(PG-PD)<F(2.59)

PG<PG<PG(2.60)

例题

建立上节描述的3节点系统的稠密形式平安经济调度模型。

答案

本节介绍的经济调度模型将在讲义中屡次用到，读者务必熟练掌握。现在来看怎样求解上述问题。

当要求解的问题带有不等式约束时，求解思路与求解带有等式约束的优化问题是接近的。

假设我们已经找到所有起作用约束，令％和心分别代表起作用约束对应的T和F,C代表出

力卜限对应的起作用约束的集合，C代表出力上限对应的起作用约束的集合。这样，问题就变为等式

约束问题如下：

NG

M%£q(%j)(2.61)

PGi=l

7

ST.e(PG-PD)=0(2.62)

TQ(PG-Po)=%，

(2.63)

&=&,it0(2.64)

&=&/，JGC(2.65)

类似地，定义拉格朗日函数：

NG__

/=1/eQjeQ

(2.66)

对拉格朗日函数求导得如下驻点方程：

=TZ-+4+汇〃人Zi+3•一"♦=0(2・67)

°rGiC/Gik

?=G(PG-PQ)-%=0(2.68)

即

Cl-—

—=&一%i=0，ie。(2.69)

2=%-£0=0,JwC(2.70)

CTj

上述联立方程组即为有不等式约束的优化问题的最优解的必要条件。

为方便，我们仍然定义不起作用约束的拉格朗日乘子，并令他们为0。这样，与不等式约束有关

的最优解必要条件可以统一写为下述对补松弛形式〔称对补松弛条件)：

r

H[T(PG-PD)-F]=0

r

•f(PG-PG)=0(2.71)

/(PGF)=。

最优性条件(KTT条件)可以总结如下：

,/(PG-P。)曾

T(PG-PD)^F

PG<PG<PG

鉴+/l+4C-5=0,i=l,2,...,NG

”Gik

•(2.72)

?

11[T(PG-PD)-F]=O

口PG)=0

7

T(PG-PG)=0

|^,T,f20

令MJ弋表线路数目，注意KTT条件有1+NL+3*NG个方程，正好等于变量数目。

在KTT条件中，等式和不等式约束得到统一处理。同样，在建立拉格朗日函数时，等式和不等

式约束也可以统一处理如下：

NG——

I=I

后面我们就采用上述通用方法建立拉格朗日函数。

一实用的平安经济调度算法一

平安经济调度的整个计算过程比拟繁琐，大致包括自动事应选择，严重事故分析•，识别作用约束,

求解线性规划模型等等假设干计算步骤，如卜列图所示。