2-定积分的基本公式

节一、积分上限函数及其导数二、牛顿–莱布尼兹公式定积分的基本公式章定积分机动目录上页下页返回结束2021/6/271本节的教学要求理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理掌握牛顿-莱布尼茨公式重点定积分的基本公式

机动目录上页下页返回结束2021/6/272

机动目录上页下页返回结束一、变上限函数及其导数考察定积分设f(x)

在[a,b]上可积,任取一点变上限函数如果上限x

在区间[a,b]上任意变动,每一个取定的x值,则对于定积分有一个对应值,所以它在[a,b]上定义了一个函数,记为定积分的基本公式

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机动目录上页下页返回结束

注一定要分清函数的自变量x积分变量t.与

这个函数的几何意义是如图红色部分的面积函数.定积分的基本公式

2021/6/274

机动目录上页下页返回结束则变上限函数在[a,b]上可导,且它的导数定积分的基本公式

微积分的基本定理2021/6/275

机动目录上页下页返回结束系.因此区间[a,b]上连续函数f

(x)

的不定积

定理指出:函数就是f(x)

的一个原函数.(1)连续函数f(x)一定有原函数,分可以用定积分形式表示，即(2)初步揭示了积分学中定积分与原函数的联定积分的基本公式

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机动目录上页下页返回结束例1设，求解

由定理知例2设求定积分的基本公式

解

由定理知例3设求2021/6/277

机动目录上页下页返回结束例4设求解

因为所以定积分的基本公式

2021/6/278

机动目录上页下页返回结束例5求解

令则有定积分的基本公式

2021/6/279

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例6求2021/6/2710

机动目录上页下页返回结束例7求解型未定式，由洛必达法则得这是定积分的基本公式

2021/6/2711

机动目录上页下页返回结束定积分的基本公式

例8求2021/6/2712

机动目录上页下页返回结束解由有令得驻点由极值第二充分条件知是极值点.极小值为的极值.例

求函数定积分的基本公式

2021/6/2713课堂练习

2.

求原式解1.

求解原式=

机动目录上页下页返回结束定积分的基本公式

2021/6/2714

机动目录上页下页返回结束三、牛顿—莱布尼茨公式定理如果是连续函数一个原函数,则牛顿(Newton)—莱布尼茨(Leibniz)公式微积分基本公式在区间上的定积分的基本公式

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机动目录上页下页返回结束微积分基本公式表明求定积分问题转化为求原函数的问题.一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[a,b]上的增量.定积分的基本公式

2021/6/2716例

计算

机动目录上页下页返回结束解例

求定积分的基本公式

2021/6/2717，求

机动目录上页下页返回结束定积分的基本公式

例

2021/6/2718例

求定积分

解

由定积分的区间可加性

机动目录上页下页返回结束定积分的基本公式

2021/6/2719

机动目录上页下页返回结束

面积解平面图形的面积.所围成的例

定积分的基本公式

2021/6/2720解求求1.2.解原式原式

机动目录上页下页返回结束定积分的基本公式

练习2021/6/2721例

汽车以每小时

36

km

的速度行驶,

机动目录上页下页返回结束到某处需要减速停车,设汽车以等加速度刹车,问从开始刹车到停车走了多少距离?

解

设开始刹车时刻为则此时刻汽车速度刹车后汽车减速行驶,其速度为当汽车停住时,即得故在这段时间内汽车所走的距离为定积分的基本公式

2021/6/2722内容小结

机动目录上页下页返回结束2.微积分基本公式则有积分中值定理微分中值定理牛顿