高中数学复习专题05 立体几何中的距离问题(解析版)

第三篇立体几何专题05立体几何中的距离问题常见考点考点一点面、线面、面面距离典例1．如图，四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，平面平面，E，F分别是PD，AB中点.(1)求证：平面；(2)若CE与平面PCF成角为30°，求点B到平面CEF的距离d.【答案】(1)证明过程见解析(2)【解析】【分析】（1）作出辅助线，构造平行四边形，证明线线平行，进而证明线面平行；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解.(1)取PC中点G，连接EG，BG，因为E是PD中点，所以EG是三角形PCD的中位线，所以EG∥CD且EG=CD，又因为F是AB中点，四边形ABCD是平行四边形，所以BF∥CD，BF=AB，故EG∥BF，EG=BF，所以四边形BFEG是平行四边形，所以EF∥BG，因为EF平面PBC，BG平面PBC，所以平面.(2)因为，F是AB中点，所以PF⊥AB，因为平面平面，交线为AB，所以PF⊥平面ABCD，因为，所以以F为坐标原点，FC所在直线为x轴，过点F平行于BC的直线为y轴，FP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，，，则，，，，设（），则，，其中平面PCF的法向量设为，则，解得：，，设平面CEF的法向量为，则，解得：，设，则，所以，则变式1-1．如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，，侧棱，D、E分别是和的中点.(1)求证：平面平面；(2)求点到平面ADE的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量证明，然后可证；（2）求出法向量，然后根据点到平面的距离向量公式可得.(1)易知、、两两垂直，于是如图建立空间直角坐标系则、、、、、所以、、、、因为，所以又因为平面，平面所以平面又平面所以平面平面(2)设平面的法向量为则，取得则点到平面ADE的距离变式1-2．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，，在棱上取点，使得平面.(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)求直线到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)(3)【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质定理证得结论成立.（2）判断出点的位置，建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面与平面夹角的余弦值.（3）利用向量法求得直线到平面的距离.(1)由于平面平面，且交线为，平面，，所以平面.(2)设，连接，由于平面，平面，平面平面，所以，由于是的中点，所以是的中点.由于平面，所以，故两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系，如图所示，，设平面的法向量为，所以，故可设，平面的法向量为，平面与平面夹角为，则.(3)由于平面，则到平面的距离，即到平面的距离.,到平面的距离为.即直线到平面的距离为.变式1-3．如图，在直三棱柱中，，，，点在棱上，，，，分别为，，的中点，与相交于点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求平面与平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面.（2）利用向量法证得平面平面.（3）利用向量法求得平面与平面的距离.【详解】（1）设，建立如图所示空间直角坐标系，，，，所以，即，所以平面.（2），，即，所以平面.所以平面平面.（3）由（2）可知平面平面，平面，平面.，所以平面与平面的距离为.考点二点线、线线距离典例2．如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点．（1）求点到直线的距离；（2）求直线到直线的距离；（3）求点到平面的距离；（4）求直线到平面的距离．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】【分析】（1）建立坐标系，求出向量在单位向量上的投影，结合勾股定理可得点到直线的距离；（2）先证明再转化为点到直线的距离求解；（3）求解平面的法向量，利用点到平面的距离公式进行求解；（4）把直线到平面的距离转化为到平面的距离，利用法向量进行求解.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则（1）因为，所以.所以点到直线的距离为.（2）因为所以，即所以点到直线的距离即为直线到直线的距离.所以直线到直线的距离为（3）设平面的一个法向量为，.由令，则，即.设点到平面的距离为，则，即点到平面的距离为.（4）因为所以平面，所以直线到平面的距离等于到平面的距离.，由（3）得平面的一个法向量为，所以到平面的距离为，所以直线到平面的距离为.变式2-1．在如图所示的多面体中，且.，且，且，平面ABCD，.(1)求点F到直线EC的距离；(2)求平面BED与平面EDC夹角的余弦值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，，以为坐标原点建立空间直角坐标系，代入即可；（2）求出平面与平面的法向量，再利用向量的夹角公式即可得解.(1)因为平面，平面，平面，所以，且，因为，如图所示，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，，所以求点F到直线EC的距离为.(2)，设平面的法向量为，则，即，令，有，设平面的法向量为，则，即，令，有，设平面和平面的夹角为，，所以平面和平面的夹角的余弦值为．变式2-2．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝2，点E为CC1中点，点F为BD1中点．（1）求异面直线BD1与CC1的距离；（2）求直线BD1与平面BDE所成角的正弦值；（3）求点F到平面BDE的距离．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）以D为原点，建立空间直角坐标系，由•0，•0，知EF为BD1与CC1的公垂线，再计算||，即可；（2）求得平面BDE的法向量，设直线BD1与平面BDE所成角为θ，由sinθ＝|cos，|，即可得解；（3）点F到平面BDE的距离为，代入相关数据，进行运算即可得解．【详解】（1）以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B（1，1，0），D1（0，0，2），C（0，1，0），C1（0，1，2），E（0，1，1），F（，，1），∴（﹣1，﹣1，2），（0，0，2），（，，0），∴•0，•0，∴BD1⊥EF，CC1⊥EF，即EF为BD1与CC1的公垂线，而||，∴异面直线BD1与CC1的距离为．（2）由（1）知，（1，1，0），（0，1，1），（﹣1，﹣1，2），设平面BDE的法向量为（x，y，z），则，即，令y＝1，则x＝﹣1，z＝﹣1，∴（﹣1，1，﹣1），设直线BD1与平面BDE所成角为θ，则sinθ＝|cos，|＝||＝||，故直线BD1与平面BDE所成角的正弦值为．（3）由（1）知，（，，1），由（2）知，平面BDE的法向量为（﹣1，1，﹣1），∴点F到平面BDE的距离为||．变式2-3．如图，三棱柱中，侧面底面，是边长为2的正三角形，已知点满足.（1）求二面角的大小；（2）求异面直线与的距离；（3）直线上是否存在点，使平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）（3）存在点，其坐标为，即恰好为点【解析】（1）建立空间直角坐标系，利用平面的法向量和平面的法向量，计算出二面角的余弦值，由此求得其大小.（2）求得异面直线与的公垂线的方向向量，并由此计算出异面直线与的距离.（3）根据求得点的坐标，设出点的坐标，根据、与平面的法向量垂直列方程组，解方程组求得点的坐标，由此判断出存在点符合题意.【详解】（1）侧面底面，又均为正三角形，取得中点，连接，，则底面，故以为坐标原点，分别以为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，则设平面的法向量为取，可得又平面的一个法向量为由图知二面角为锐角，故二面角的大小为.（2）异面直线与的公垂线的方向向量，则易得，异面直线与的距离（3），而又，点的坐标为假设存在点符合题意，则点的坐标可设为平面为平面的一个法向量，由，得.又平面，故存在点，使平面，其坐标为，即恰好为点.【点睛】本小题主要考查利用空间向量法计算二面角、异面直线公垂线段的长，考查利用空间向量法研究线面平行的条件，考查数形结合的数学思想方法，考查空间想象能力，属于中档题.巩固练习练习一点面、线面、面面距离1．如图，直三棱柱中，，，，且.(1)求平面BDC与平面所成角的余弦值；(2)求点到平面BDC距离.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）以C为原点.的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面BDC的法向量与平面的法向量，利用数量积公式计算即可得出结果.（2）利用向量公式计算即可得出结果.(1)依题意两两互相垂直，以C为原点.的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则设平面BDC的一个法向量为，则令，则得，此时.设平面的一个法向量为则令则得此时因为,所以平面BDC与平面所成角的余弦值为.(2)因为,点到平面BDC距离为.2．如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形且，侧面底面ABCD，且侧面PAD是正三角形，E､F分别是AD，PB的中点.(1)求证：平面PCE；(2)求直线CF与平面PCE所成角的正弦值；(3)求点F到平面PCE的距离.【答案】(1)证明见解析(2)(3)【解析】【分析】（1）作出辅助线，证明线线平行，进而证明出线面平行；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角；（3）在第二问的基础上求解点面距离.(1)取PC的中点M，连接MF，ME，因为F是PB的中点，所以MF是三角形PBC的中点，所以MF∥BC，且，因为底面ABCD为矩形，E是AD的中点，所以AE∥BC，，所以∥，且MF=AE，所以四边形AFME是平行四边形，故AF∥ME，因为平面PCE，平面PCE，所以平面PCE(2)因为侧面PAD是正三角形，E是AD的中点，所以，又因为侧面底面ABCD，交线为，所以底面，以E为坐标原点，所在直线为x轴，取BC中点H，EH所在直线为y轴，EP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，，，，，，设平面的法向量，则，解得：，令得：，所以，，设直线CF与平面PCE所成角为，故；所以直线CF与平面PCE所成角的正弦值为.(3)点F到平面PCE的距离.3．如图在直三棱柱中，为的中点，为的中点，是中点，是与的交点，是与的交点.(1)求证：；(2)求证：平面；(3)求直线与平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【解析】【分析】（1）法一：通过建立空间直角坐标系，运用向量数量积证明，法二：通过线面垂直证明，法三:根据三垂线证明；（2）法一：通过建立空间直角坐标系，运用向量数量积证明，法二：通过面面平行证明线面平行；（3）法一：通过建立空间直角坐标系，运用向量方法求解，法二：运用等体积法求解.(1)证明：法一：在直三棱柱中，因为，以点为坐标原点，方向分别为轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.因为，所以，所以所以，所以.法二：连接，在直三棱柱中，有面，面，所以，又，则，因为，所以面因为面，所以因为，所以四边形为正方形，所以因为，所以面因为面，所以.法三：用三垂线定理证明：连接，在直三棱柱中，有面因为面，所以，又，则，因为，所以面所以在平面内的射影为，因为四边形为正方形，所以，因此根据三垂线定理可知(2)证明：法一：因为为的中点，为的中点，为中点，是与的交点，所以､，依题意可知为重心，则，可得所以，，设为平面的法向量，则即取得则平面的一个法向量为.所以，则，因为平面，所以平面.法二：连接.在正方形中，为的中点，所以且，所以四边形是平行四边形，所以又为中点，所以四边形是矩形，所以且因为且，所以，所以四边形为平行四边形，所以.因为，平面平面平面平面，所以平面平面，平面，所以平面(3)法一：由（2）知平面的一个法向量，且平面，所以到平面的距离与到平面的距离相等，，所以，所以点到平面的距离所以到平面的距离为法二：因为分别为和中点，所以为的重心，所以，所以到平面的距离是到平面距离的.取中点则，又平面平面，所以平面，所以到平面的距离与到平面的距离相等.设点到平面的距离为，由得，又，所以，所以到平面的距离是，所以到平面的距离为.4．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，M，N分别是BB1，B1C1的中点．(1)求直线MN到平面ACD1的距离；(2)若G是A1B1的中点，求平面MNG与平面ACD1的距离．【答案】(1)(2).【解析】【分析】（1）证明MN∥平面ACD1，转化为求点M到平面ACD1的距离，利用向量法求解即可；（2）证明平面MNG∥平面ACD1，转化为求直线MN到平面ACD1的距离，由（1）得解.(1)以分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，故.因为直线MN与AD1不重合，所以MN∥AD1.又因为MN⊄平面ACD1，AD1⊂平面ACD1，所以MN∥平面ACD1.故直线MN到平面ACD1的距离等于点M到平面ACD1的距离．设平面ACD1的一个法向量为，所以，令，则，所以，所以点M到平面ACD1的距离为，即直线MN到平面ACD1的距离为.(2)连接A1C1，因为G，N分别为A1B1，B1C1的中点，所以GN∥A1C1.又因为A1C1∥AC，所以GN∥AC.因为GN⊄平面ACD1，AC⊂平面ACD1，所以GN∥平面ACD1.同理可得MN∥平面ACD1.因为MN∩GN＝N，MN,GN⊂平面MNG，所以平面MNG∥平面ACD1，所以平面MNG与平面ACD1的距离即为直线MN到平面ACD1的距离，由(1)知其为.练习二点线、线线距离5．已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，分别是棱的中点.(1)求证：平面；(2)求点到直线的距离.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】【分析】(1)以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量证明和即可；(2)利用向量投影即可求解.(1)∵三棱柱的侧棱垂直于底面，，∴以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，∵，分别是棱的中点，∴，,∵，，∴，，∵,平面,平面，∴平面.(2)∵，∴，,∴，∴，故点到直线的距离为.6．已知四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，，，点M在PD上，且.(1)求的值；(2)求点B到直线CM的距离.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，设，通过坐标运算得到结果；（2）在棱上取点，使得，则长即为所求.(1)以为原点建立空间直角坐标系如图所示：则，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，，2，，，0，，设，，，则，，，，即，，∴(2)在棱上取点，使得，设，，，则，又，∴故，因为，则，解得，，∴∴.∴点B到直线CM的距离.7．如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面ABCD，E是AB上一点，.已知，，.（1）求直线AD与平面PBC间的距离；（2）求异面直线EC与PB间的距离；（