5.3诱导公式【三大必考点+七大秒杀招+六大题型+分层训练】高一数学题型归类（解析版）

5.3诱导公式【三大必考点+七大秒杀招+六大题型+分层训练】知识精讲知识精讲知识点01角的对称(1)角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，如图(a)；(2)角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，如图(b)；(3)角π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，如图(c)．知识点02诱导公式公式二sin(π＋α)＝－sinαcos(π＋α)＝－cosαtan(π＋α)＝tanα公式三sin(－α)＝－sinαcos(－α)＝cosαtan(－α)＝－tanα公式四sin(π－α)＝sinαcos(π－α)＝－cosαtan(π－α)＝－tanα(1)公式一、二、三、四都叫做诱导公式，它们可概括如下：①记忆方法：2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，可以简单地说成“函数名不变，符号看象限”．②解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原三角函数是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若把α看成锐角，则π＋α在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin(π＋α)＝－sinα.(2)利用诱导公式一和三，还可以得到如下公式：sin(2π－α)＝－sinα，cos(2π－α)＝cosα，tan(2π－α)＝－tanα.知识点03诱导公式五、六(1)公式五、六中的角α是任意角．(2)诱导公式一～六中的角可归纳为k·eq\f(π,2)±α的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”．①“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的．②“奇”“偶”是对诱导公式k·eq\f(π,2)±α中的整数k来讲的．③“象限”指k·eq\f(π,2)±α中，将α看成锐角时，k·eq\f(π,2)±α所在的象限，根据“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号．(3)利用诱导公式五、六，结合诱导公式二，还可以推出如下公式：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝－cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝－sinα，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝－cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝sinα.解题大招解题大招大招01利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤(1)“负化正”——用公式一或三来转化；(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角；(3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；(4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值．大招02给式(值)求值1、解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．2、解答此类题目的关键在于利用数学中化归的思想来探究两个角(或整体)之间的关系，当寻找到角与角之间的联系后，未知角这一整体的三角函数值可以通过已知角的三角函数值和有关的三角公式求得，这是三角函数解题技巧之一.大招03三角函数式化简的常用方法(1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为另一个角的三角函数．(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．(3)注意“1”的应用：1＝sin2α＋cos2α＝taneq\f(π,4).(4)用诱导公式进行化简时，若遇到kπ±α的形式，需对k进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简．大招04三角函数式的化简注意:(1)利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数;(2)常用“切化弦”法，即通常将表达式中的切函数化为弦函数;(3)注意“1”的变形应用.大招05由已知角求未知角的三角函数值①观察已知角与未知角之间的关系，运用诱导公式将会不同名的函数化为同名的函数，将不同的角化为相同的角是解决问题的关键;②对于有条件的三角函数求值题，求解的一般方法是从角的关系上寻求突破，找到所求角与已知角之间的关系，结合诱导公式，进而把待求式转化到已知式完成求值;③当所给的角是复合角时，不易看出已知角与所求角的联系，可将已知角看成一个整体，用这个整体去表示所求角，便可发现它们之间的关系.大招06解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．大招07诱导公式综合应用要“三看”一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系．二看函数名称：一般是弦切互化．三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形．题型分类题型分类题型01三角函数的诱导公式【例1】已知sinα−3π4=A．223 B．−223 【解题思路】利用同角三角函数之间的基本关系和诱导公式计算可得结果.【解答过程】易知cosπ故选：D.【变式1-1】与sin(θ−π2A．sin(3πC．cos(2π−θ)【解题思路】利用诱导公式化简已知函数，再利用诱导公式逐项化简判断.【解答过程】依题意，sin(θ−对于A，sin(对于B，cos(θ−对于C，cos(2对于D，sin(θ+故选：A.【变式1-2】求值：sin300°+tan600°=A．32 B．−32 C．3【解题思路】利用三角函数的诱导公式化简求值即可.【解答过程】sin=sin故选：A.题型02三角函数的化简、求值——诱导公式【例2】求下列各三角值：(1)sin1320°(2)cos−(3)sin2【解题思路】（1）根据诱导公式即可求解；（2）根据诱导公式即可求解；（3）根据诱导公式即可求解；【解答过程】（1）sin（2）cos（3）sin2150°+sin【变式2-1】化简：(1)cos−α(2)sin1400°+α【解题思路】（1）利用诱导公式和同角关系式中的商数关系化简即可；（2）利用诱导公式化简即可.【解答过程】（1）原式=cos（2）原式==sin【变式2-2】计算(1)tan(2)tan(3)cos【解题思路】（1）（2）（3）利用诱导公式及特殊角的三角函数值求解即得.【解答过程】（1）tan（2）tan1200°+3（3）cos(−120°)题型03三角函数恒等式的证明——诱导公式【例3】证明：tan(2【解题思路】利用诱导公式化简即可.【解答过程】左边=−所以tan(2【变式3-1】（1）求证：tan(2π−α)（2）设tan(α+8π7【解题思路】（1）（2）应用诱导公式化简等式中结构复杂的一侧，即可证结论.【解答过程】（1）左边=tan(−α)sin(−α)cos(−α)（2）方法1：左边=sin[π+(8π7+α)]+3cos[(α+方法2：由tan(α+8π7所以，等式左边=sin[2π+(π7+α)]+3cos【变式3-2】已知A、B、C为△ABC的三个内角，求证：sin【解题思路】利用三角形的内角和定理可得出B+C2【解答过程】证明：在△ABC中，A+B+C=π，则B+C所以，cos=sin故原等式得证.题型04诱导公式的综合应用【例4】已知角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点1,−2，则sinα+3πA．10−55 B．10+55 C．【解题思路】先根据三角函数的定义，求出角α的三角函数值，再结合诱导公式求值.【解答过程】由题知，sinα=−25，cos所以sin=−1故选：B.【变式4-1】已知α角的始边与x轴非负半轴重合，P−2,3是α角终边上一点，则tan−πA．−4712 B．4712 C．31【解题思路】运用诱导公式化简，结合三角函数定义可解.【解答过程】tan=sin根据三角函数定义sinα==−1故选：D.【变式4-2】已知α角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点P(−4,3).(1)求sinα,(2)求f(α)=cos【解题思路】（1）根据三角函数的定义，即可求出结果；（2）利用诱导公式对原式进行化简，代入sinα，cos【解答过程】（1）因为角α的终边经过点P(−4,3)，由三角函数的定义知sinα=cosα=tan（2）由诱导公式，得f(α)=cosπ2题型05诱导公式在三角形中的应用【例5】已知A,B,C为△ABC的三个内角，下列各式不成立的是（

）A．sinA=sinB+CC．sinA2=【解题思路】利用三角函数诱导公式，结合三角形的内角和为π，逐个去分析即可选出答案．【解答过程】由题意知，在△ABC中，A+B+C=π对A选项，sinC+B对B选项，cosA+C对C选项，cosC+B对D选项，sinA+C故选：D.【变式5-1】已知角A,B,C为△ABC的三个内角，若sinA+B−C2=sinA−B+CA．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形【解题思路】根据诱导公式以及内角和定理得出B=C，从而判断三角形的形状.【解答过程】因为sin所以sinπ可得cosC=又因为B,C∈0,π所以B=C，则AC=AB，所以△ABC一定是等腰三角形．故选：C．【变式5-2】在△ABC中，试判断下列关系是否成立，并说明理由.（1）cos(A+B)=（2）sin(A+B)=（3）sinA+B（4）cosA+B【解题思路】根据三角形内角和定理，结合诱导公式逐一判断即可.【解答过程】解：（1）不成立，∵cos∴cos（2）成立，∴sin（3）不成立.∵sin（4）不成立∵cos题型06同角基本关系式和诱导公式的综合应用【例6】已知角α∈−π2,0，且tan2A．154 B．14 C．−3【解题思路】切化弦，然后可得cosα【解答过程】因为tan2所以sin2因为α∈−π2所以1cos2α−3因为α∈−π2,0，可得所以得1cosα=4，可得cos所以sinα+2023故选：A．【变式6-1】在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在直线y=−3x上，则sin(A．2+3 B．2−3 C．3 【解题思路】根据给定条件，利用正切函数的定义求出tanθ【解答过程】显然点(1,−3),(−1,3)都在直线所以sin(故选：B.【变式6-2】已知函数f(1)化简fα(2)若fα=−15，求(3)若α∈−π6【解题思路】（1）由诱导公式化简即可得出答案；（2）利用同角三角函数的基本关系即可得出答案；（3）由已知求出sinα+π6=1【解答过程】（1）fα（2）因为fα=sin当α为第三象限角时，cosα=−当α为第四象限角村，cosα=（3）因为fα=sincoscos因为α∈−π6故cos5因此cos2分层分层训练【基础过关】1．若，则（

）A． B．1 C． D．或【答案】C【分析】根据诱导公式可得，化弦为切即可求解.【详解】由题意得，，则.故选:.2．已知，（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据和1的大小，结合的正负判断即可.【详解】因为，故.又，且，故，则.故选：B3．若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用三角函数同角基本关系式求得，然后利用诱导公式求解.【详解】解：因为，所以，，所以，故选：B4．求值：（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角函数的诱导公式化简求值即可.【详解】，故选：A5．若是任意实数，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由诱导公式化简可得．【详解】由三角函数诱导公式得．故选：C．6．“”是“为第一象限角”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用诱导公式及正弦函数的性质结合充分、必要条件的定义判定选项即可.【详解】易知，所以为第一象限角、第二象限角或终边落在纵轴正半轴上的角，显然不满足充分性，满足必要性.故选：B7．若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用诱导公式以及同角三角函数的商数关系化简可得结果.【详解】.故选：C.8．若，则=（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由诱导公式化简条件即可求解.【详解】因为，所以，故选：B9．已知，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由诱导公式求解．【详解】，故选：B．10．已知角以为始边，它的终边与单位圆相交于点，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据三角函数定义，结合诱导公式化简计算即可.【详解】角以为始边，它的终边与单位圆相交于点，点的纵坐标为，所以，所以.故选：C．11．（多选）已知角的终边经过，则（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根据三角函数的定义即可求解，，，结合诱导公式即可求解.【详解】由于角的终边经过，故，，，，，故AD错误，BC正确，故选：BC12．（多选）在△ABC中，下列关系式恒成立的有（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】结合三角形的内角和定理和诱导公式，准确运算，即可求解.【详解】对于A中，由，所以A正确；对于B中由，所以B正确；对于C中，由，所以C正确；对于D中，，所以D错误．故选：ABC.13．（多选）给出下列四个结论，其中正确的结论是（

）A．，成立的条件是是锐角B．若，则．C．若，则D．若，则，【答案】CD【分析】由诱导公式判断选项A错误；对分类讨论得到选项B错误；利用同角商数关系和诱导公式证明选项C正确；由得或．再证明选项D正确.【详解】由诱导公式二，知时，，所以A错误．当（）时，，此时，当（）时，，此时，所以B错误．若（），则，所以C正确．将等式两边平方，得，所以或．若，则，此时；若，则，此时，故，所以D正确．故选：CD14．已知.(1)求的值；(2)若，是方程的两个根，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用诱导公式化简，再由同角三角函数的基本关系将弦化切，即可得解；（2）利用韦达定理得到，从而得到，再由同角三角函数的基本关系求出，即可得解.【详解】（1）因为，所以，所以，解得；（2）因为，是方程的两个根，所以，∴，又，∴．15．已知．(1)化简,并求的值;(2)若,且,求的值．【答案】(1);(2)【分析】(1)先根据诱导公对进行化简,再将代入进算出结果即可;(2)将代入可求,根据的正负及,可判断正负,从而判断正负,对平方再开方,代入即可得所求.【详解】（1）解:由题知,;（2）,,,且,,故.

【能力提升】1．函数的部分图象大致为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由分母不为零确定函数的定义域，再由三角函数的诱导公式和确定函数为奇函数，最后讨论和时的正负可得结果；【详解】由可得函数的定义域为，且，因为，所以为奇函数．因为，所以当时，，当时，，排除A，C，D，故选：B.2．已知，则“(k∈Z)，是“”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【答案】A【分析】分别判断当时的值，以及当时的取值情况.【详解】判断充分性当时，根据余弦函数的性质，.所以由能推出，充分性成立.判断必要性当时，，满足的不只是，还有情况.所以由不能推出，必要性不成立.是的充分非必要条件.故选：A.3．已知函数，若，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先判断函数的单调性，再比较各自变量的大小即可.【详解】由题意可知，的定义域为，设，则，因为，，，所以，所以在上是增函数；又因为，，所以，，，所以，故选：A4．已知角，且，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】切化弦，然后可得，再结合平方关系式和诱导公式可得.【详解】因为，所以，因为，所以，所以，解得或，因为，可得，，所以得，可得，可得，所以．故选：A．5．若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由两边同时平方，从而利用可以实现角α的弦切互化，【详解】由两边同时平方，可得，，解得..故选：C.6．在△ABC中，设甲：，乙：，则以下判断正确的是（

）．A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】A【分析】利用三角函数的诱导公式与基本关系式，结合充要条件的判断方法即可得解.【详解】当时，取，满足要求，但，则甲不是乙的必要条件；当即时，，则，所以，则甲是乙的充分条件；综上，甲是乙的充分条件但不是必要条件.故选：A.7．已知，，则“”是“存在使得”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式即可判断.【详解】(1)当存在使得时，则；即不能推出.(2)当时，或，,所以对第二种情况，不存在时，使得成立，故“”是“存在使得”的既不充分不必要条件.故选：D8．已知是第四象限角，终边与单位圆O交于点，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用任意角三角函数定义结合余弦函数的性质求解即可.【详解】根据任意角三角函数定义知，由，得，所以，所以或．又是第四象限角，所以，所以，即．故选：C．9．已知，关于等式，以下两个命题：①对任意的，总存在，使得等式成立；②对任意的，总存在，使得等式成立.则下列判断正确的是（

）A．①与②都正确 B．①正确，②不正确C．①不正确，②正确 D．①与②都不正确【答案】B【分析】结合诱导公式及特殊角的三角函数值，举例判断即可.【详解】①任意的，当时，，，满足，故①正确；②当时，，，则不存在，使得等式成立，故②不正确.故选：B.10．函数的图象大致是（

）A．

B．

C． D．【答案】B【分析】根据诱导公式化简函数