2025年高考数学二轮复习 专题五 概率与统计 第3讲　统计与成对数据的分析原卷版

第3讲统计与成对数据的分析（新高考专用）目录目录【真题自测】 2【考点突破】 5【考点一】统计图表、数字特征 5【考点二】回归分析 8【考点三】独立性检验 12【专题精练】 14考情分析：高考对本讲内容的考查往往以实际问题为背景，考查随机抽样与用样本估计总体、经验回归方程的求解与运用、独立性检验问题，常与概率综合考查，中等难度．真题自测真题自测一、单选题1．（2024·全国·高考真题）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表亩产量[900，950）[950，1000）[1000，1050）[1050，1100）[1100，1150）[1150，1200）频数61218302410根据表中数据，下列结论中正确的是（

）A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间2．（2023·全国·高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（

）．A．种 B．种C．种 D．种3．（2022·全国·高考真题）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（

）A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差二、解答题4．（2022·全国·高考真题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．（ⅰ）证明：；（ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．附，0.0500.0100.001k3.8416.63510.8285．（2022·全国·高考真题）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据：样本号ｉ12345678910总和根部横截面积0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得．(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数．6．（2023·全国·高考真题）一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）.(1)设表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求的分布列和数学期望；(2)实验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：15.2

18.8

20.2

21.3

22.5

23.2

25.8

26.5

27.5

30.132.6

34.3

34.8

35.6

35.6

35.8

36.2

37.3

40.5

43.2实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：7.8

9.2

11.4

12.4

13.2

15.5

16.5

18.0

18.8

19.219.8

20.2

21.6

22.8

23.6

23.9

25.1

28.2

32.3

36.5（i）求40只小鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于的数据的个数，完成如下列联表：对照组实验组（ii）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异．附：0.1000.0500.0102.7063.8416.635考点突破考点突破【考点一】统计图表、数字特征核心梳理：1．频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距，纵坐标表示eq\f(频率,组距)，频率＝组距×eq\f(频率,组距).2．在频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1.3．利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数．(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即众数．(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和相等．(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．一、单选题1．（2024·四川·模拟预测）甲、乙两名运动员在一次射击训练中各射靶20次，命中环数的频率分布条形图如下．设甲、乙命中环数的众数分别为，，方差分别为，，则（

）A．， B．，C．， D．，2．（2024·辽宁·一模）下图是2022年5月一2023年5月共13个月我国纯电动汽车月度销量及增长情况统计图（单位：万辆），则下列说法错误的是（

）（注：同比：和上一年同期相比）

A．2023年前5个月我国纯电动汽车的销量超过214万辆B．这13个月我国纯电动汽车月度销量的中位数为61.5万辆C．这13个月我国纯电动汽车月度销量的众数为52.2万辆D．和上一年同期相比，我国纯电动汽车月度销量有增有减二、多选题3．（2024·河南·模拟预测）某地教师招聘考试，有3200人参加笔试，满分为100分，笔试成绩前20%（含20%）的考生有资格参加面试，所有考生的笔试成绩和年龄分别如频率分布直方图和扇形统计图所示，则（

）A．90后考生比00后考生多150人 B．笔试成绩的60%分位数为80C．参加面试的考生的成绩最低为86分 D．笔试成绩的平均分为76分4．（2024·广东汕头·一模）某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这名学生中，成绩位于80,90内的学生成绩方差为，成绩位于内的同学成绩方差为.则（

）参考公式：样本划分为层，各层的容量､平均数和方差分别为：、、；、、.记样本平均数为，样本方差为，.A．B．估计该年级学生成绩的中位数约为C．估计该年级成绩在分及以上的学生成绩的平均数为D．估计该年级成绩在分及以上的学生成绩的方差为三、填空题5．（2024·甘肃白银·三模）一组样本数据的众数为，中位数为．6．（2024·山东济宁·一模）2024年1月九省联考的数学试卷出现新结构，其中多选题计分标准如下：①本题共3小题，每小题6分，满分18分；②每道小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得6分，有选错的得0分；③部分选对得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分）．已知在某次新结构数学试题的考试中，小明同学三个多选题中第一小题确定得满分，第二小题随机地选了两个选项，第三小题随机地选了一个选项，则小明同学多选题所有可能总得分（相同总分只记录一次）的中位数为．7．（23-24高二上·湖北武汉·开学考试）有一组按从小到大顺序排列的数据：3，5，，8，9，10，若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为.8．（2023·山东聊城·模拟预测）某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取100名高中生的身体素质指标值，经计算，．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布，则估计该市高中生身体素质的合格率为．（用百分数作答，精确到0.1%）参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，．规律方法：(1)对于给出的统计图表，一定要结合问题背景理解图表意义．(2)频率分布直方图中纵坐标不要误以为是频率．【考点二】回归分析核心梳理：求经验回归方程的步骤(1)依据成对样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系(有时可省略)．(2)计算出eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^)).(3)写出经验回归方程．一、单选题1．（2024·四川成都·模拟预测）某老师为了了解数学学习成绩得分y（单位：分）与每天数学学习时间x（单位：分钟）是否存在线性关系，搜集了100组数据，并据此求得y关于x的线性回归方程为.若一位同学每天数学学习时间约80分钟，则可估计这位同学数学成绩为（

）A．106 B．122 C．136 D．1402．（2023·四川南充·一模）某商品的地区经销商对2023年1月到5月该商品的销售情况进行了调查，得到如下统计表．发现销售量y（万件）与时间x（月）成线性相关，根据表中数据，利用最小二乘法求得y与x的回归直线方程为：．则下列说法错误的是（

）时间x（月）12345销售量y（万件）11.62.0a3A．由回归方程可知2024年1月份该地区的销售量为6.8万件B．表中数据的样本中心点为C．D．由表中数据可知，y和x成正相关二、多选题3．（21-22高三上·重庆黔江·阶段练习）下列说法中正确的是（

）A．将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变B．回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点C．用相关指数来刻画回归效果时，越接近1，说明模型的拟合效果越好D．在列联表中，的值越大，说明两个分类变量之间的关系越弱4．（2024·浙江·一模）为调研加工零件效率，调研员通过试验获得加工零件个数与所用时间（单位：）的5组数据为：，根据以上数据可得经验回归方程为：，则（

）A．B．回归直线必过点C．加工60个零件的时间大约为D．若去掉，剩下4组数据的经验回归方程会有变化三、填空题5．（23-24高二上·四川绵阳·期末）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据:单价(元)销量(件)由表中数据，求得线性回归方程，若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线右上方的概率为6．（2024·全国·模拟预测）某市一水果店为了了解柑橘的月销售量（单位：千克）与月平均气温（单位：）之间的关系，随机统计了4个月的柑橘的月销售量与当月的平均气温，其数据如下表：月平均气温x/181282月销售量千克26456277由表中数据得到关于的线性回归方程为，气象部门预测2024年4月该市的平均气温为，据此估计该水果店2024年4月柑橘的销售量为千克．四、解答题7．（2024·河南郑州·三模）按照《中华人民共和国环境保护法》的规定，每年生态环境部都会会同国家发展改革委等部门共同编制《中国生态环境状况公报》，并向社会公开发布．下表是2017-2021年五年《中国生态环境状况公报》中酸雨区面积约占国土面积的百分比：年份2017年2018年2019年2020年2021年年份代码123456.45.55.04.83.8(1)求2017—2021年年份代码与的样本相关系数（精确到0.01）；(2)请用样本相关系数说明该组数据中与之间的关系可用一元线性回归模型进行描述，并求出关于的经验回归方程；(3)预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比．（回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：附：样本相关系数，．8．（23-24高三上·湖南衡阳·阶段练习）为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入.下图1是该公司2013年至2022年的年份代码x和年研发投入y（单位：亿元）的散点图，其中年份代码1∼10分别对应年份2013∼2022.

根据散点图，分别用模型①，②作为年研发投入y（单位：亿元）关于年份代码x的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图2所示的残差图.结合数据，计算得到如下表所示的一些统计量的值：752.2582.54.512028.35表中，.(1)根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入y（单位：亿元）关于年份代码x的经验回归方程模型?并说明理由；(2)（i）根据（1）中所选模型，求出y关于x的经验回归方程；（ii）设该科技公司的年利润（单位：亿元）和年研发投入y（单位：亿元）满足（且），问该科技公司哪一年的年利润最大?附：对于一组数据x1,y1，x2,y2，…，规律方法：(1)样本点不一定在经验回归直线上，但点(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))一定在经验回归直线上．(2)求eq\o(b,\s\up6(^))时，灵活选择公式，注意公式的推导和记忆．(3)利用样本相关系数判断相关性强弱时，看|r|的大小，而不是r的大小．(4)区分样本相关系数r与决定系数R2.(5)通过经验回归方程求的都是估计值，而不是真实值．【考点三】独立性检验核心梳理：独立性检验的一般步骤(1)根据样本数据列2×2列联表．(2)根据公式χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，计算χ2的值．(3)查表比较χ2与临界值的大小关系，作统计判断．χ2越大，对应假设事件H0成立(两类变量相互独立)的概率越小，H0不成立的概率越大．一、解答题1．（2024·安徽合肥·二模）树人中学高三（1）班某次数学质量检测（满分150分）的统计数据如下表：性别参加考试人数平均成绩标准差男3010016女209019在按比例分配分层随机抽样中，已知总体划分为2层，把第一层样本记为，其平均数记为，方差记为；把第二层样本记为，其平均数记为，方差记为；把总样本数据的平均数记为，方差记为．(1)证明：；(2)求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差（精确到1）；(3)假设全年级学生的考试成绩服从正态分布，以该班参加考试学生成绩的平均数和标准差分别作为和的估计值．如果按照的比例将考试成绩从高分到低分依次划分为四个等级，试确定各等级的分数线（精确到1）．附：．2．（2024·辽宁·模拟预测）土壤食物网对有机质的分解有两条途径，即真菌途径和细菌途径．在不同的土壤生态系统中，由于提供能源的有机物其分解的难易程度不同，这两条途径所起的作用也不同．以细菌分解途径为主导的土壤，有机质降解快，氮矿化率高，有利于养分供应，以真菌途径为主的土壤，氮和能量转化比较缓慢，有利于有机质存贮和氮的固持．某生物实验小组从一种土壤数据中随机抽查并统计了8组数据，如下表所示：编号12345678细菌百万个708090100110120130140真菌百万个8.010.012.515.017.521.027.039.0其散点图如下，散点大致分布在指数型函数的图象附近．(1)求关于的经验回归方程（系数精确到0.01）；(2)在做土壤相关的生态环境研究时，细菌与真菌的比值能够反映土壤的碳氮循环．以样本的频率估计总体分布的概率，若该实验小组随机抽查8组数据，再从中任选4组，记真菌（单位：百万个）与细菌（单位：百万个）的数值之比位于区间内的组数为，求的分布列与数学期望.附：经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，3．（2024·江苏南京·二模）某地5家超市春节期间的广告支出x（万元）与销售额y（万元）的数据如下：超市ABCDE广告支出x24568销售额y3040606070(1)从A，B，C，D，E这5家超市中随机抽取3家，记销售额不少于60万元的超市个数为X，求随机变量X的分布列及期望；(2)利用最小二乘法求y关于x的线性回归方程，并预测广告支出为10万元时的销售额．附：线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．4．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）入冬以来，东北成为全国旅游和网络话题的“顶流”．南方的小土豆们纷纷北上体验东北最美的冬天，这个冬天火的不只是东北的美食、东北人的热情，还有东北的洗浴中心，拥挤程度堪比春运，南方游客直接拉着行李箱进入．东北某城市洗浴中心花式宠“且”，为给顾客更好的体验，推出了和两个套餐服务，顾客可自由选择和两个套餐之一，并在App平台上推出了优惠券活动，下表是该洗浴中心在App平台10天销售优惠券情况．日期12345678910销售量（千张）1.91.982.22.362.432.592.682.762.70.4经计算可得：，，．(1)因为优惠券购买火爆，App平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除第10天数据，求关于的经验回归方程（结果中的数值用分数表示）；(2)若购买优惠券的顾客选择套餐的概率为，选择套餐的概率为，并且套餐可以用一张优惠券，套餐可以用两张优惠券，记App平台累计销售优惠券为张的概率为，求；(3)记（2）中所得概率的值构成数列．①求的最值；②数列收敛的定义：已知数列，若对于任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，，（是一个确定的实数），则称数列收敛于．根据数列收敛的定义证明数列收敛．参考公式：，．规律方法：(1)χ2越大两分类变量无关的可能性越小，推断犯错误的概率越小，通过表格查得无关的可能性．(2)在犯错误的概率不大于0.01的前提下认为两个变量有关，并不是指两个变量无关的可能性为0.01.专题精练专题精练一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）某机构统计了中国2018—2022年全部工业增加值（单位：万亿元）及增长率数据如图所示，则下列结论错误的是（

）A．2018—2022年中国的全部工业增加值逐年增加B．2018—2022年中国全部工业增加值的增长率的极差为C．与上一年相比，2022年中国增加的全部工业增加值是2019年增加的全部工业增加值的2倍D．2018年中国全部工业增加值的增长率比2018—2022年中国全部工业增加值的增长率的最小值高2．（2024·四川遂宁·三模）某调查机构对某地快递行业从业者进行调查统计，得到快递行业从业人员年龄分布饼状图（图1）、“90后”从事快递行业岗位分布条形图（图2），则下列结论中错误的是（

）A．快递行业从业人员中，“90后”占一半以上B．快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数超过总人数的20%C．快递行业从业人员中，从事运营岗位的“90后”的人数比“80前”的多D．快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数比“80后”的多3．（2024·陕西西安·模拟预测）某校为了解在校学生对中国传统文化的传承认知情况，随机抽取了100名学生进行中国传统文化知识考试，并将这100名学生成绩整理得到如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图（分成40,50，50,60，60,70，，80,90，90,100六组），下列结论中不正确的是（

）A．图中的B．若从成绩在，80,90，90,100内的学生中采用分层抽样抽取10名学生，则成绩在80,90内的有3人C．这100名学生成绩的中位数约为65D．若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，则这100名学生的平均成绩约为68.24．（23-24高三上·湖北·期末）有一组样本数据：5，6，6，6，7，7，8，8，9，9.则关于该组数据的下列数字特征中，数值最大的为（

）A．平均数 B．第50百分位数 C．极差 D．众数5．（2024·湖南·模拟预测）已知由小到大排列的个数据、、、，若这个数据的极差是它们中位数的倍，则这个数据的第百分位数是（

）A． B．6 C． D．46．（2024·浙江·二模）为了解某中学学生假期中每天自主学习的时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取高一学生40人，其每天学习时间均值为8小时，方差为0.5，抽取高二学生60人，其每天学习时间均值为9小时，方差为0.8，抽取高三学生100人，其每天学习时间均值为10小时，方差为1，则估计该校学生每天学习时间的方差为（

）A．1.4 B．1.45 C．1.5 D．1.557．（23-24高三下·山东·开学考试）为研究某池塘中水生植物的覆盖水塘面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型去拟合与的关系，设与的数据如表格所示：得到与的线性回归方程，则（

）346722.54.57A．-2 B．-1 C． D．8．（21-22高二下·山东滨州·期末）针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生､女生人数均为人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的.零假设为：喜欢短视频和性别相互独立.若依据的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，则的最小值为（）附：，附表：0.050.013.8416.635A．7 B．8 C．9 D．10二、多选题9．（2020·海南·高考真题）我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是A．这11天复工指数和复产指数均逐日增加;B．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;C．第3天至第11天复工复产指数均超过80%;D．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;10．（2024·安徽·三模）下列关于概率统计的说法中正确的是（

）A．某人在10次答题中，答对题数为，则答对7题的概率最大B．设随机变量服从正态分布，若，则C．已知回归直线方程为，若样本中心为，则D．两个变量的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱11．（2024·湖北·一模）某校为了解高一新生对数学是否感兴趣，从400名女生和600名男生中通过分层抽样的方式随机抽取100名学生进行问卷调查，将调查的结果得到如下等高堆积条形图和列联表，则（

）性别数学兴趣合计感兴趣不感兴趣女生男生合计100参考数据：本题中0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A．表中B．可以估计该校高一新生中对数学不感兴趣的女生人数比男生多C．根据小概率值的独立性检验，可以认为性别与对数学的兴趣有差异D．根据小概率值的独立性检验，可以认为性别与对数学的兴趣没有差异三、填空题12．（2023·全国·模拟预测）某农业科研所在5块面积相同的长方形试验田中均种植了同-一种农作物，每一块试验田的施肥量x（单位