2025年高考数学二轮复习 专题一 函数与导数 第9讲　零点问题原卷版

第9讲零点问题（新高考专用）目录目录【真题自测】 2【考点突破】 3【考点一】零点问题 3【专题精练】 5真题自测真题自测一、单选题1．（2023·全国·高考真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题2．（2024·全国·高考真题）设函数，则（

）A．当时，有三个零点B．当时，是的极大值点C．存在a，b，使得为曲线的对称轴D．存在a，使得点为曲线的对称中心三、解答题3．（2024·北京·高考真题）设函数，直线是曲线在点处的切线．(1)当时，求的单调区间.(2)求证：不经过点.(3)当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？（参考数据：，，）4．（2022·天津·高考真题）已知，函数(1)求曲线y=fx在处的切线方程；(2)若曲线y=fx和y=g（i）当时，求的取值范围；（ii）求证：．5．（2022·全国·高考真题）已知函数．(1)当时，求的最大值；(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．6．（2022·全国·高考真题）已知函数．(1)若，求a的取值范围；(2)证明：若有两个零点，则．7．（2022·全国·高考真题）已知函数(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．8．（2021·全国·高考真题）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点①；②．考点突破考点突破【考点一】零点问题一、单选题1．（2024·浙江杭州·模拟预测）若函数有且仅有两个零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．2．（2023·山东济南·一模）函数（且）的零点个数为（

）A． B． C． D．3．（2023·河南洛阳·一模）已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则的取值范围是（

）A． B．C． D．二、多选题4．（2024·湖北·一模）已知函数存在两个极值点，且，．设的零点个数为，方程的实根个数为，则（

）A．当时， B．当时，C．一定能被3整除 D．的取值集合为5．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数（

）A．在上单调递增 B．在上单调递增C．在上有唯一零点 D．在上有最小值为6．（2024·山西临汾·一模）已知函数在上可导且，其导函数满足：，则下列结论正确的是（

）A．函数有且仅有两个零点B．函数有且仅有三个零点C．当时，不等式恒成立D．在上的值域为三、填空题7．（2024·福建龙岩·三模）已知函数有且只有一个零点，则ab的取值范围为.8．（2024·陕西西安·一模）若不等式恒成立，则实数的取值范围为.9．（2024·山东济宁·一模）已知函数（且）恰有一个零点，则实数的取值范围为．四、解答题10．（2024·广东汕头·三模）已知函数.(1)若曲线在处的切线与轴垂直，求的极值.(2)若在只有一个零点，求.11．（2024·全国·模拟预测）已知函数．(1)求曲线在处的切线方程；(2)若，讨论曲线与曲线的交点个数．12．（2023·山西·模拟预测）已知函数.(1)若，求实数的取值范围；(2)若有2个不同的零点（），求证：.规律方法：(1)求解函数零点(方程根)个数问题的步骤①将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题．②利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质．③结合图象求解．(2)已知零点求参数的取值范围①结合图象与单调性，分析函数的极值点．②依据零点确定极值的范围．③对于参数选择恰当的分类标准进行讨论．专题精练专题精练一、单选题1．（23-24高三上·湖北荆门·阶段练习）的零点的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．32．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．3．（2023·四川成都·一模）已知函数有三个零点、、且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（2024·广西·模拟预测）若函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．5．（2024·四川·模拟预测）已知函数若函数有5个不同的零点，则的取值范围是（

）A． B． C．1,4 D．1,+∞6．（23-24高三下·内蒙古锡林郭勒盟·开学考试）若函数存在零点，则的最小值为（

）A． B． C． D．7．（2024·北京房山·一模）若函数，则函数零点的个数为（

）A．1 B．2 C．1或2 D．1或38．（2023·四川内江·一模）已知函数有两个零点，则的最小整数值为（

）A．3 B．2 C．1 D．0二、多选题9．（23-24高二下·湖南岳阳·开学考试）关于函数，，下列说法正确的是（

）A．若过点可以作曲线的两条切线，则B．若在上恒成立，则实数的取值范围为C．若在上恒成立，则D．若函数有且只有一个零点，则实数的范围为10．（23-24高二下·重庆·阶段练习）定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数图象的对称中心为，则下列说法中正确的有（

）A．， B．函数的极大值与极小值之和为6C．函数有三个零点 D．函数在区间上的最小值为111．（22-23高二下·重庆·期中）小明热爱数学，《九章算术》《几何原本》《数学家的眼光》《奥赛经典》《高等数学》都是他的案头读物．一日，正翻阅《高等数学》，一条关于函数的性质映入他的眼帘：函数在区间有定义，且对，，，若恒有，则称函数在区间上“严格下凸”；若恒有，则称函数在区间上“严格上凸”．现已知函数，为的导函数，下列说法正确的是（

）注：为自然对数的底数，，．A．有最小值，且最小值为整数B．存在常数，使得在“严格下凸”，在“严格上凸”C．恰有两个极值点D．恰有三个零点三、填空题12．（2024·河南信阳·模拟预测）若过点仅可作曲线的两条切线，则的取值范围是.13．（23-24高三上·河南焦作·期末）若函数在上没有零点，则实数的取值范围为．14．（23-24高三上·天津南开·阶段练习），若有且只有两个零点，则实数的取值范围是．四、解答题15．（2024·广东·二模）已知.(1)求的单调区间；(2)函数的图象上是否存在两点（其中），使得直线与函数的图象在处的切线平行？若存在，请求出直线；若不存在，请说明理由.16．（2023·北京西城·模拟预测）已知函数.(1)若，求在处切线方程；(2)求的极大值与极小值；(3)证明：存在实数，当时，函数有三个零点.17．（2024·河南郑州·三模）已知函数.(1)若，求