湖南省邵阳市隆回县拔尖创新人才2023-2024学年八年级上学期竞赛数学试卷+

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年湖南省邵阳市隆回县拔尖创新人才八年级（上）竞赛数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在，，，，，，中，无理数的个数有(

)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.下列命题中正确的是(

)A.若，则 B.若，

C.若，且，则 D.互为倒数的两数之积为正3.若x是整数，则使分式的值为整数的x值有个.A.2 B.3 C.4 D.54.若，，则a与b的大小关系为(

)A. B. C. D.无法确定5.当x分别取2020，2018，2016，…，2，0，，，…，，，时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于(

)A. B.1 C.0 D.20206.如图，中，，，动点P在斜边AB所在的直线m上运动，连接PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有(

)

A.6个 B.5个 C.4个 D.3个7.如图，≌，D在BC上，连接CE，则以下结论：①AD平分；②；③；④其中正确的个数有(

)A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

8.若，，，则a，b，c的大小关系是(

)A. B. C. D.9.如图，在第1个中，，，在边上任取一点D，延长到，使，得到第2个；在边上任取一点E，延长到，使，得到第3个，……，按此做法继续下去，则第n个三角形中以为顶点的内角度数是(

)A. B. C. D.10.一支部队排成a米长队行军，在队尾的战士要与最前面的团长联系，他用分钟追上了团长、为了回到队尾，他在追上团长的地方等待了分钟.如果他从最前头跑步回到队尾，那么他需要的时间是(

)A.分钟 B.分钟 C.分钟 D.分钟二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。11.若，则化简为______.12.已知，则的算术平方根是______.13.已知不等式的正整数解恰是1，2，3，4，那么a的取值范围是______.14.化简二次根式号后的结果是______.15.如果代数式的值等于1，那么x的值为______.16.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为______.17.已知方程组的解是，则方程组的解是______.18.已知关于x的分式方程无解，则a的值为______.19.M是的边BC的中点，AN平分，于点N，且，，，则的周长等于______.

20.根据，，，，…，所蕴含的规律可得等于______.三、计算题：本大题共1小题，共14分。21.阅读下面的材料，并解答后面的问题

材料：将分式拆分成一个整式与一个分式分子为整数的和差的形式．

解：由分母为，可设

因为，

所以，

所以，解得，所以

这样，分式就被拆分成了一个整式与一个分式的和的形式，

根据你的理解解决下列问题：

请将分式拆分成一个整式与一个分式分子为整数的和差的形式；

若分式拆分成一个整式与一个分式分子为整数的和差的形式为：，求的最大值．四、解答题：本题共6小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。22.本小题8分

先化简：，再从，0，1，2中取一个你喜欢的数代入求值.23.本小题8分

已知，求的值．24.本小题8分

计算25.本小题8分

永州市万达广场筹建之初的一项挖土工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，每施工一天，需付甲工程队工程款万元，付乙工程队工程款万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：

方案一甲队单独完成这项工程，刚好按规定工期完成：

方案二乙队单独完成这项工程要比规定工期多用6天；

方案三若由甲、乙两队合作做5天，剩下的工程由乙队单独做，也正好按规定工期完工．

请你求出完成这项工程的规定时间；

如果你是工程领导小组的组长，为了节省工程款，同时又能如期完工，你将选择哪一种方案？说明理由．26.本小题10分

如图，在等腰直角中，，，D为BC的中点，，垂足为E，过点B作交DE的延长线于点F，连CF，交AB于点G、交AD于点M，连

求证：；

求证：；

连AF，试判断的形状，并说明理由.27.本小题14分

阅读理解：如图①，在四边形ABCD中，，E是BC的中点，若AE是的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．

解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证≌，得到，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．

AB、AD、DC之间的等量关系为______；

问题探究：如图②，在四边形ABCD中，，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．

问题解决：如图③，，AE与BC交于点E，BE：：3，点D在线段AE上，且，试判断AB、DF、CF之间的数量关系，并证明你的结论．

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：，是分数，故是有理数；

是整数，故是有理数；

，，，是无限不循环小数，故是无理数．

故选：

根据无理数与有理数的概念对各数进行逐一分析即可．

本题考查的是无理数的概念，熟知无限不循环小数叫做无理数是解答此题的关键．2.【答案】D

【解析】解：A、可举例子，则，故本选项错误；

B、可举例子，，，故本选项错误；

C、可举例子，，，故本选项错误；

D、互为倒数的两数之积为1，所以互为倒数的两数之积为正，故本选项正确．

故选

A、可举反例，则，B、，，，C、，，，且，则、互为倒数的两数之积为1，所以为正．

本题考查了有理数的绝对值，倒数，乘积等知识，可用反例来说明问题．3.【答案】C

【解析】解：，

要使的值为整数，就是为整数，

即，，，，

而当，时，x不是整数，

因此x是整数，分式的值也是整数的x值有4个，

故选：

将变形成，只要为整数即可，而的值为整数，即，，，，分别求解验证即可得出答案．

本题考查分式值的意义和计算方法，将分式进行适当的变形，利用整除的意义可求解．4.【答案】A

【解析】解：

，

故选：

利用作差法计算，即可判断a与b的大小关系．

本题考查了分式的加减，利用作差法比较大小关键是合理的变形．5.【答案】A

【解析】本题考查数字的变化规律，总结出数字的变化规律是解题的关键．

把互为倒数的两个数代入分式可得它们的和是0，把0代入分式得，故得出结果为

解：当时，，

当时，，

，

即互为倒数的两个数代入分式的和为

当时，，

所得结果相加的和为

故选：6.【答案】C

【解析】解：如图所示：以B为圆心，BC长为半径画弧，交直线m于点，，

以A为圆心，AC长为半径画弧，交直线m于点，，

边AC和BC的垂直平分线都交于点P3位置，

因此出现等腰三角形的点P的位置有4个，

故选：

根据等腰三角形的判定和含的直角三角形的性质解答即可．

此题考查等腰三角形的判定，关键是根据等腰三角形的判定和含的直角三角形的性质解答．7.【答案】C

【解析】解：AC和DE交于O，

≌，

，，，，

，，，

，，

平分，

，

，

，

，

由条件不能推出，

①②③正确．

故选：

由≌，推出，，，，再由等腰三角形的性质，可以求解．

本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，关键是掌握并灵活应用全等三角形的对应边相等，对应角相等；等腰三角形的底角相等．8.【答案】B

【解析】解：；

；

；

，

，

故选：

将各数进行计算后比较大小即可．

本题考查了有理数的大小比较，平方差公式，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，零指数幂，将各数进行计算求得正确的结果是解题的关键．9.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出，及的度数，找出规律是解答此题的关键．先根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出，的度数，找出规律即可得出第n个等腰三角形的底角度数．

【解答】

解：在中，，，

，

，是的外角，

；

同理可得，

，

第n个等腰三角形的底角度数是

故选：10.【答案】C

【解析】解：由题意列代数式得：，化简得：

故选：

【分析】本题考查分式的应用，正确列出代数式并化简是解题的关键.

队伍的速度为，队尾战士的速度，

故他从最前头跑步回到队尾，需要的时间是11.【答案】

【解析】解：，

故答案为：

根据二次根式的性质化简计算．

本题考查了二次根式，解题的关键是掌握二次根式的性质．12.【答案】3

【解析】解：要使有意义，必须且，

解得：，

即，

所以，

所以的算术平方根是，

故答案为：

根据二次根式有意义的条件得出且，求出x，再求出y，最后求出答案即可．

本题考查了二次根式有意义的条件和算术平方根，能求出x和y的值是解此题的关键．13.【答案】

【解析】解：不等式的解集是：，不等式的正整数解恰是1，2，3，4，，的取值范围是

首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．

正确解出不等式的解集，正确确定的范围，是解决本题的关键．解不等式时要用到不等式的基本性质．14.【答案】

【解析】【分析】

本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键，属于基础题．

原式利用二次根式的性质化简，计算即可得到结果．

【解答】

解：

故答案为：15.【答案】1或或

【解析】解：①当指数为0，即，

原式，成立；

②当底数为1，即，，

原式，成立；

③当底数为，即，，

原式，成立，

综上所述，x的值为：1或或

根据有理数的乘方的法则，分三种情况进行讨论，即可得到答案．

本题考查了有理数的乘方，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．16.【答案】或

【解析】解：当顶角为钝角时，如图1，可求得其顶角的邻补角为，则顶角为；

当顶角为锐角时，如图2，可求得其顶角为；

综上可知该等腰三角形的顶角为或

故答案为：或

分顶角为钝角和顶角为锐角两种情况：当顶角为钝角时，则可求得其邻补角为；当顶角为锐角时，可求得顶角为；可得出答案．

本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等及直角三角形两锐角互余是解题的关键．17.【答案】

【解析】解：将第二个方程组两个方程的两边都除以9，得，

，

方程组的解是，

，

解得

故答案为：

把第二个方程组的两个方程的两边都除以9，通过换元替代的方法即可得到一个关于x，y的方程组，即可求解．

本题主要考查了方程组的解，正确观察已知方程的系数之间的关系是解题的关键．18.【答案】5或

【解析】解：，

去分母得：，

，

当，即时，整式方程无解，分式方程也无解；

当，即时，整式方程有唯一解，但是或分式方程无解，

当时，，

当时a不存在．

或时分式方程无解．

故答案为：5或

首先去掉分母，然后讨论整式方程无解条件，接着讨论整式方程有解但是分式方程无解条件，由此求出a的值．

本题主要考查了分式方程无解分两种情况：整式方程本身无解；整式方程有解但是分式方程产生增根．19.【答案】41

【解析】解：延长线段BN交AC于

平分，

，

又，，

≌，

，，

又是的边BC的中点，

，

的周长是

故答案为

延长线段BN交AC于E，易证≌，可得N为BE的中点；由已知M是BC的中点，可得MN是的中位线，由中位线定理可得CE的长，根据可得AC的长，进而得出的周长．

本题主要考查了中位线定理和全等三角形的判定及性质．解决本题的关键是作出辅助线，利用全等三角形得出线段相等，进而应用中位线定理解决问题．20.【答案】

【解析】解：，

，

，

，

…

每3个数为一周期循环，

，

，

故答案为：

根据题意分别用含n的式子表示出、、、，从而得出数列的循环周期为3，据此即可得解答．

本题主要考查数字的变化规律，根据已知数列的计算公式得出其循环周期是解题的关键．21.【答案】解：根据题意得：

原式

；

根据题意得：

原式

，

，，

整理得：，，

，

则的最大值为

【解析】根据题意将分式拆分成一个整式和一个分式即可；

根据题意将分式拆分成一个整式和一个分式，根据已知拆分的结果确定出m与n的值，

此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及分式的加减法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．22.【答案】解：，

，

，

因为，，

，

把代入，原式

【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把代入计算即可求出值．

此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．23.【答案】解：两边平方，得：，

则

【解析】把两边平方即可求解．

本题考查了完全平方公式，正确理解公式的变形是关键．24.【答案】解：

【解析】把分式的分子、分母因式分解，再根据分式混合运算的法则计算即可．

本题考查的是分式的混合运算，掌握分式的混合运算的法则是解题的关键．25.【答案】解：设完成这项工程的规定时间为x天，则甲工程队需x天完成这项工程，乙工程队需天完成这项工程，

根据题意得：，

解得：，

经检验，是原方程的解，且符合题意．

答：完成这项工程的规定时间为30天．

选择方案三，理由如下：

方案一需付工程款：万元；

方案二不能如期完工，不符合题意；

方案三需付工程款：万元

，

选择方案三．

【解析】设完成这项工程的规定时间为x天，则甲工程队需x天完成这项工程，乙工程队需天完成这项工程，由题意：由甲、乙两队合作做5天，剩下的工程由乙队单独做，也正好按规定工期完工．即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论；

根据总费用=每天需付费用工作天数，分别求出方案一、三需付的工程款，比较后即可得出结论．

本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据数量关系列式计算．26.【答案】证明：为等腰直角三角形，

，

，

，

，即BE平分，

而，

垂直平分DF，

，

点为BC的中点，

，

，

在和中，

，

≌，

，

，

，

，

；

证明：在和中，

，

≌，

，

≌，

，

；

解：为等腰三角形．理由如下：

垂