四川省绵阳市2025届高三第一次诊断性考试数学试题

四川省绵阳市2025届高三第一次诊断性考试数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A=−2,−1,0,1,2，B=xx+1A．−2,−1 B．−2,−1,0 C．−2,0 D．−2,22．“ac2>bA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知x>0,y>0，且满足x+y=xy−3，则xy的最小值为（）A．3 B．23 C．6 4．某公司根据近几年经营经验，得到广告支出与获得利润数据如下：广告支出x/万元258111519利润y/万元334550535864根据表中数据可得利润y关于广告支出x的经验回归方程为y=1.65x+A．30万元 B．32万元 C．36万元 D．40万元5．下列选项中，既是增函数，也是奇函数的是（）A．y=x−2 B．y=x+1x C．6．已知θ为第一象限角，且tanθ+π3A．9 B．3 C．13 D．7．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）间的关系为P=P0e−kt（e是自然对数的底数，A．33h B．35h C．37h D．39h8．已知函数fx=−3A．0,32 C．−2e,0 D．−二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知数列an的前n项和为Sn，且A．SB．SC．SnD．存在大于1的整数n，k，使得S10．已知函数fx=2sinωxA．ω∈B．令gx=fx+π6C．函数fx在0,πD．函数fx在−11．已知函数fx的定义域为R，fx不恒为0，且A．f0可以等于零 B．fxC．曲线fx−1为轴对称图形 D．若f1三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b=2,c=3,cosB+C=−2313．已知函数f(x)=|ln|x+2||−m，m为正的常数，则f(x)的零点之和为．14．若x=2是函数fx=x−3四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．近年来，解放军强军兴军的深刻变化，感召了越来越多的高中优秀青年学子献身国防，投身军营.2024年高考，很多高考毕业学生报考了军事类院校．从某地区内学校的高三年级中随机抽取了900名学生，其中男生500人，女生400人，通过调查，有报考军事类院校意向的男生、女生各100名．（1）完成给出的列联表，并分别估计该地区高三男、女学生有报考军事类院校意向的概率；有报考意向无报考意向合计男学生女学生合计（2）根据小概率值α=0.10的独立性检验，能否认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关．参考公式及数据：χ2α0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001x1.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82816．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asinC=12，且（1）求△ABC的面积；（2）若B=π17．已知数列an,bn满足n+1an=n（1）若a1+a（2）若a1=2，设数列an,b（ⅰ）求数列an（ⅱ）求Tn18．已知函数fx（1）当a=−5时，则过点0,2的曲线fx（2）讨论fx（3）若fx19．已知函数fx=lnx+x2−3x+a，f（1）求实数a的值；（2）若数列an满足2an（ⅰ）当n≥2,n∈Z时，比较an（ⅱ）求证：3i=1

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：由x+12≤1，可得−2≤x≤0，

所以所以A∩B=−2,−1,0,1,2故答案为：B.【分析】利用一元二次不等式求解方法求出集合B，再根据集合交集的运算法则，从而得出集合A和集合B的交集.2．【答案】A【解析】【解答】解：若ac2>bc2当a>b，c=0时，ac所以“ac2>b故答案为：A.【分析】利用不等式的基本性质结合充分条件、必要条件的判断方法，从而得出答案.3．【答案】D【解析】【解答】解：x+y=xy−3≥2xyxy2xy−3≥0,xy≥9当且仅当x=y=3时等号成立，所以xy的最小值为9.故答案为：D.【分析】利用基本不等式求最值的方法和一元二次不等式求解方法，从而得出xy的范围，进而得出xy的最小值.4．【答案】D【解析】【解答】解：x=2+5+8+11+15+196因为y=1.65x+a过点x,y，则故当y=100时，1.65x+34=100，得出x=40故答案为：D.【分析】利用表中数据结合平均数公式得出中心点坐标，再代入得出a^5．【答案】C【解析】【解答】解：对于A，令fx=x−2，所以y=x对于B，y=x+1x在−∞,−1和1,+∞上单调递增，

对于C，令gx=x−sinx，所以y=x−sin又因为y'=1−cos对于D，令hx=ln则h'x=x+1x−1⋅x−1x+1'故答案为：C.【分析】利用偶函数的定义，从而判断出选项A；利用函数的单调性的定义，从而判断出选项B；利用奇函数的定义和单调性的定义，从而判断出选项C；利用单调函数的定义判断出选项D，从而找出正确的选项.6．【答案】B【解析】【解答】解：由题意知θ为第一象限角，且tanθ+故tanθ+tanπ31−tanθtanπ3则1−cos2θ1+cos2θ故答案为：B.【分析】根据三角函数值在各象限的符号和两角和的正切公式，从而求出满足要求的tanθ的值，再结合二倍角的余弦公式和同角三角函数基本关系式，从而得出1−cos2θ1+cos2θ7．【答案】C【解析】【解答】解：依题意，(1−20%)P0=当P=(1−60%)P0时，解得t=9所以，污消除60%的污染物需要的时间约为37h.故答案为：C.【分析】根据给定条件和代入法求出常数k，然后再令P=0.4和对数的运算法则得出消除60%的污染物大约需要的时间.8．【答案】A【解析】【解答】解：令hx=e当0<x<1时，h'x<0，则h当x>1时，h'x>0，则h令kx=−3x+1由关于x的不等式xf可知x≠0，当x>0时，fx<gx当x<0时，fx>gx作出函数图象如图所示：要使关于x的不等式xf显然m≤0不能满足题意，故需满足m>0h2≥g解得0<m≤32，即m的取值范围为故答案为：A.【分析】利用求导的方法判断函数的单调性，再结合二次函数的图象和性质，从而作出分段函数图象，再结合题意列出相应不等式组，从而解不等式组得出实数m的取值范围.9．【答案】A,B【解析】【解答】解：对于A，由an+1=两式相减可得：an+1又因为a2所以数列an所以an=6×2所以S3对于B，因为2an=6×对于C，由Sn=6×2n−6，可得S1=6,对于D，若Sn=a则2n−2故答案为：AB.【分析】利用已知条件和an与Sn的关系式和等比数列的定义，从而得到数列an是以6为首项，2为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式和等比数列前n项和公式，从而判断出选项A；再结合an与Sn10．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：fx对于A，x∈0,π，ωx+π3∈π所以4π<πω+π3≤5π，解得113对于B，gxg'x=2ωcosωx+π6∵ω>0,∴取ω=4，g'对于C，因为x∈0,π，ωx+∵ω∈113,∴函数fx在0,π对于D，若x∈−π35∵ω∈113,14∴函数fx在−故答案为：ABD.【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简得到fx=2sinωx+π3，再根据fx在0,π上有且仅有4个零点，可确定ωx+π3∈π311．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：对于A，令x=y=0，可得f0+f02=f0+02f0−0当f0=0时，则可得则fx=0，与fx对于B，令y=−x，可得fx+f−x=2f0fx,∴f−x=fx，

对于C，因为fx为偶函数，所以fx的图象关于直线所以fx-1关于直线x=1对称，所以曲线f对于D，令x=k+2,y=k，则可得fk+2所以fk+2+fk解得f2=1，所以，数列fk是以f所以k=120故答案为：BCD.【分析】利用赋值法可得f0的值，再分类讨论可得满足要求的f0的值，从而判断出选项A；利用函数的奇偶性得出函数的解析式，从而判断选项B；结合选项B的分析和偶函数的图象的对称性以及图象的平移变换，从而判断选项C；利用赋值法和已知条件以及等差数列的定义，从而判断出数列fk是以f12．【答案】5【解析】【解答】由cosB+C=cosπ−则a2=b故答案为：5.【分析】利用已知条件结合三角形内角和定理和结合诱导公式，从而得出角A的余弦值，再结合余弦定理得出a的值.13．【答案】−8【解析】【解答】解：函数f(x)的定义域为{x∈R|x≠−2}，由f(x)=0，得|ln|x+2||=m，

令函数g(x)=|ln|x+2||，g(−4−x)=|ln|−4−x+2||=|ln|x+2||=g(x)，

则函数y=g(x)图象关于直线在同一坐标系内作出直线y=m(m>0)与函数y=g(x)的图象，如图所示，直线y=m(m>0)与函数y=g(x)的图象有4个交点，

令其横坐标从左到右依次为x1观察图象得x1+x4=x2故答案为：−8.【分析】根据给定条结合和绝对值的定义得出函数的图象的对称性，再结合函数的图象的对称性画出直线y=m(m>0)与函数y=g(x)的图象，再结合函数的零点与两函数的交点的横坐标的等价关系，从而得出f(x)的零点之和.14．【答案】a<−【解析】【解答】解：f'当a≥0时，ex+a>0，当x<2时，f'x<0所以fx在−∞,2所以x=2是函数的极小值点，不符合题意；当a<0时，令f'x=0若2<ln−a，即a<−e2时，则x<2时，2<x<ln−a时，f'所以2是函数fx若2>ln−a即0>a>−e2时，则x>2时，ln−a<x<2时，f'所以2是函数fx若2=ln−a即a=−e2时，则x∈R时，函数f(x)无极值点，不符合题意，综上所述，当a<−e2时，2是函数故答案为：a<−e【分析】根据已知条件结合对实数a分类讨论，再利用f'15．【答案】（1）解：根据已知条件，填写2×2列联表如下：有报考意向无报考意向合计男学生100400500女学生100300400合计200700900男生有报考军事类院校意向的概率为100500女生有报考军事类院校意向的概率为100400（2）解：因为χ2所以能认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关．【解析】【分析】（1）利用已知条件，填写出2×2列联表，再根据古典概型求概率公式，从而分别估计出该地区高三男、女学生有报考军事类院校意向的概率.（2）利用已知条件结合独立性检验的方法，从而判断出学生有报考军事类院校的意愿与性别是否有关（1）根据已知条件，填写2×2列联表如下：有报考意向无报考意向合计男学生100400500女学生100300400合计200700900男生有报考军事类院校意向的概率为100500女生有报考军事类院校意向的概率为100400（2）χ2所以能认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关．16．【答案】（1）解：在△ABC中，由余弦定理及acosC+ccosA=1，整理得b=1，又因为asinC=12，

所以，三角形△ABC的面积（2）解：由（1）及正弦定理得asinA=于是2sin整理得2sinA⋅2因此sin2A=cos2A，即tan2A=1，由0<A<3π4，得0<2A<3π所以A=π8或【解析】【分析】（1）根据给定条件和余弦定理，从而得出b的值，再结合三角形的面积公式得出△ABC的面积.（2）利用（1）和正弦定理结合两角和的正弦公式，再利用二倍角的公式和同角三角函数基本关系式，从而得出角2A的正切值，再利用角A的取值范围和不等式的基本性质，进而得出满足要求的角A的值.（1）在△ABC中，由余弦定理及acosC+ccos整理得b=1，而asinC=12，所以△ABC的面积（2）由（1）及正弦定理得asinA=于是2sinAsinC=1整理得2sinA⋅2因此sin2A=cos2A，即tan2A=1，由0<A<3π4，得所以A=π8或17．【答案】（1）解：由n+1an=nbn由题意可知，a2是b1与b2可得a22=3a1a2，即a故b1​​​（2）解：（ⅰ）由n+1an=n由题意可得an+12=bnbn+1故anbn故an=nn+1（ⅱ）bnT==2+3+⋯+==n【解析】【分析】（1）由n+1an=nbn结合赋值法得出b（2）（ⅰ）先求得bn=n+1nan，再利用等比中项公式得出（ⅱ）利用（i)中数列an,bn的通项公式得出bn（1）由n+1an=nbn由题意可知a2是b1与b2可得a22=3a1a2故b（2）（ⅰ）由n+1an=n由题意可得an+12=故an+1故anbn故an=n（ⅱ）bnT==2+3+⋯+==18．【答案】（1）解：当a=−5时，fx=x设切点为x0因为切线过点0,2，所以切线斜率存在，

故可设切线方程为y=kx+2，则kx0+2=x0即x0−12x02−3故x0所以切线有3条，其中一条切点横坐标为1，

故k=3−10−25=−32，所以，切线方程为y=−32x+2.（2）解：f'当a=0时，f'x=3当a>0时，−a<a3，所以x<−a或a3<x时，当−a<x<a3时，f'当a<0时，−a>a3，所以x>−a或x<a3时，当a3<x<−a时，f'综上所述，a=0时，f(x)在R上单调递增，无递减区间；

当a>0时，f(x)在−∞,−a和a3,+∞上单调递增，

在−a,a3上单调递减；

当a<0时，f(x)在−（3）解：当a=0时，f(x)=x当a>0时，由（2）知，f(x)的极大值为f(−a)，且当x→+∞时，若fx有唯一零点，则f(−a)=−a3+a3+当a<0时，由（2）知，f(x)的极大值为fa3，

同理，若fx有唯一零点，则fa3=−5综上所述，实数a的取值范围−3​​​​​​【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，设出切点，从而得出切线斜率，再列方程组分析结合判别式法，从而解得切点个数，进而得出切线的斜率，则得出切线方程.（2）利用求导的方法判断函数的单调性和对a分类讨论d方法，从而讨论出函数的单调区间.（3）根据函数的单调性和零点存在性定理，再结合当x→+∞时，f(x)→+（1）当a=−5时，fx=x设切点为x0因为切线过点0,2，所以切线斜率存在，故可设切线方程为y=kx+2，则kx0+2=即x0−12x0故x0所以切线有3条，其中一条切点横坐标为1，故k=3−10−25=−32，所以切线方程为y=−32x+2.（2）f'当a=0时，f'x=3当a>0时，−a<a3，所以x<−a或a3<x时，当−a<x<a3时，f'当a<0时，−a>a3，所以x>−a或x<a3时，当a3<x<−a时，f'综上，a=0时，f(x)在R上单调递增，无递减区间；当a>0时，f(x)在−∞,−a和在−a,a3上单调递减；当a<0时，f(x)在−∞,a（3）当a=0时，f(x)=x当a>0时，由（2）知，f(x)的极大值为f(−a)，且当x→+∞时，f(x)→+若fx有唯一零点，则f(−a)=−a3+a当a<0时，由（2）知，f(x)的极大值为fa若fx有唯一零点，则fa3=−5综上，实数a的