2024-2025学年新教材高中数学第三章函数3.1函数的概念与性质3.1.2函数的单调性第2课时函数的平均变化率学案新人教B版必修第一册

PAGEPAGE1第2课时函数的平均改变率课程标准理解函数的平均改变率与函数单调性的关系；了解直线斜率的概念；会用函数的平均改变率证明函数的增减性．新知初探·自主学习——突出基础性教材要点学问点一直线的斜率一般地，给定平面直角坐标系中的随意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1≠x2时，称________为直线AB的斜率；当________时，称直线AB的斜率不存在．学问点二函数的平均改变率1．一般地，若I是函数y＝f(x)的定义域的子集，对随意x1，x2∈I且x1≠x2，记y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，ΔyΔx＝y(1)y＝f(x)在I上是增函数的充要条件是ΔyΔx______0在I(2)y＝f(x)在I上是减函数的充要条件是ΔyΔx______0在I一般地，当x1≠x2时，称ΔfΔx＝fx2−fx1x2−x1为函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1＜x2时)或[x2．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的单调性为：(1)当a＞0时，f(x)在____________上单调递减，在______________上单调递增，函数没有最大值，但有最小值________________；(2)当a＜0时，f(x)在____________________上单调递增，在____________________上单调递减，函数没有最小值，但有最大值____________________.基础自测1．直线l经过两点A(－1，3)，B(－1，6)，则直线l的斜率是()A．1B．－1C．122．斜率为2的直线过(3，5)，(a，7)，(－1，b)三点，则a＋b等于()A．4B．－7C．1D．－13．函数f(x)＝x2－3x－4在区间[0，2]上的最小值点为________，最大值为________.4．如图是函数y＝f(x)的图象．(1)函数f(x)在区间[－1，1]上的平均改变率为________；(2)函数f(x)在区间[0，2]上的平均改变率为________．课堂探究·素养提升——强化创新性题型1三点共线问题例1已知平面上三点A、B、C，其中A(2，1)，B(3，2)，C(x，4)，则直线AB的斜率为________，若A、B、C三点共线，则x＝________．教材反思直线斜率的计算方法(1)推断两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；(2)若两点的横坐标不相等，则可以用斜率公式k＝y2−y1x2−(3)推断三点共线的问题，就是由这三点随意构造两条直线，若构造的两条直线的斜率相等，则三点共线，否则此三点不共线．跟踪训练1(1)已知直线经过点A(0，4)和点B(1，2)，则直线AB的斜率为()A．3B．－2C．2D．不存在(2)求证：A(－3，－5)，B(1，3)，C(5，11)三点共线．题型2求函数的平均改变率例2已知函数f(x)＝2x2＋1.(1)求函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均改变率；(2)求函数f(x)在区间[2，2.01]上的平均改变率；(3)求当x0＝1，Δx＝12时平均改变方法归纳求函数f(x)在[x1，x2]上的平均改变率的方法步骤是：(1)先求Δx＝x2－x1；(2)再求Δy＝f(x2)－f(x1)；(3)由定义求出ΔyΔx＝f跟踪训练2函数f(x)＝－2x2＋5在区间[2，2＋Δx]上的平均改变率为________．题型3用函数的平均改变率推断单调性例3证明函数f(x)＝1x2在(0，＋状元随笔用函数递增递减的充要条件不必关注x1，x2间的大小，只需x1≠x2即可． 方法归纳利用函数递增递减的充要条件证明单调性的步骤：(1)设∀x1，x2∈I⊆定义域，且x1≠x2；(2)计算ΔfΔx(3)推断ΔfΔx(4)依据充要条件得结论．跟踪训练3证明f(x)＝x是定义域上的增函数．题型4一元二次函数的最值例4(1)函数f(x)＝－2x2＋x＋1在区间[－1，1]上最小值点为________，最大值为________；(2)f(x)＝x2－2ax＋1，试求函数在区间[0，2]上的最值．方法归纳一元二次函数的最值(1)不含参数的一元二次函数的最值配方或利用公式求出对称轴，依据对称轴和定义域的关系确定最值点，代入函数解析式求最值．(2)含参数的一元二次函数的最值以一元二次函数图象开口向上、对称轴为x＝m，区间[a，b]为例，当开口向下、区间不是闭区间等时，类似方法进行探讨，其实质是探讨对称轴与区间的位置关系．跟踪训练4已知函数f(x)＝x2－2ax＋a，(1)当a＝2时，求函数f(x)在[0，3]上的最大值与最小值；(2)若a<0，求使函数f(x)＝x2－2ax＋a的定义域为[－1，1]，值域为[－2，2]的a的值．第2课时函数的平均改变率新知初探·自主学习[教材要点]学问点一y2−y1x2学问点二1．(1)＞(2)＜平均改变率2．(1)−∞，−b2a−b(2)−∞，−b2a−b[基础自测]1．答案：D2．解析：由题意得2＝7−5a−3＝b−5−1−3，∴a＝4，b＝－3，∴a＋答案：C3．解析：函数的对称轴为x＝32，开口向上，所以最小值点为32，最大值为答案：324．解析：(1)函数f(x)在区间[－1，1]上的平均改变率为f1−f−11−−1(2)由函数f(x)的图象知，f(x)＝x+32，−1≤x≤1，x+1，1＜x≤3，所以函数f(x)在区间[0，2]上的平均改变率为f2−f答案：(1)12(2)课堂探究·素养提升例1【解析】直线AB的斜率为2−13−2＝1，因为A、B、C三点共线，所以AB与BC斜率相等，即4−2x−3＝1，解得【答案】15跟踪训练1解析：(1)直线AB的斜率为4−20−1(2)证明：直线AB的斜率为3−−51−−3＝2，直线BC的斜率为11−35−1＝2，因此A，答案：(1)B(2)见解析例2【解析】(1)由已知得Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝2x0+Δx2+1−2x02∴ΔyΔx＝2Δx2x0+ΔxΔx(2)由(1)可知ΔyΔx＝4x0＋2Δx，当x0＝2，Δx＝0.01时，ΔyΔx＝4×2＋2(3)由(1)可知ΔyΔx＝4x0＋2Δx，当x0＝1，Δx＝12时，ΔyΔx＝4×1＋2跟踪训练2解析：∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝－2(2＋Δx)2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx－2(Δx)2，∴ΔyΔx＝－8－2Δx，即平均改变率为－8－2Δx答案：－8－2Δx例3【证明】设∀x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，则ΔfΔx＝fx2−fx1x∵x∴ΔfΔx＜0，∴f(x)＝1x2跟踪训练3证明：函数f(x)＝x的定义域为[0，＋∞)，设∀x1，x2∈[0，＋∞)且x1≠x2，则ΔfΔx＝fx2＝x2−x∴函数f(x)＝x在定义域[0，＋∞)上是增函数．例4【解析】(1)函数f(x)＝－2x2＋x＋1的对称轴为x＝－12×−2＝14，函数的图象开口向下，所以函数的最小值点为－1，最大值为f14＝－2×(2)函数的对称轴为x＝a，①当a<0时，f(x)在区间[0，2]上是增函数，所以f(x)min＝f(0)＝1；当0≤a≤2时，f(x)min＝f(a)＝－a2＋1；当a>2时，f(x)在区间[0，2]上是减函数，所以f(x)min＝f(2)＝5－4a，所以f(x)min＝1，a＜0，②当a≤1时，f(x)max＝f(2)＝5－4a；当a>1时，f(x)max＝f(0)＝1，所以f(x)max＝5−4a，a≤1，答案：(1)－198跟踪训练4解析：(1)当a＝2时，f(x)＝x2－4x＋2