2024年湖南省高考数学一轮模拟卷解析

参考答案：1．D【分析】根据含有一个量词命题的否定，即可得答案.【详解】命题“”为存在量词命题，其否定为全称量词命题：，故选：D2．D【分析】设，由复数相等条件可构造方程组求得，进而确定对应点的坐标，从而得到结果.【详解】设，则，，，解得，对应的点为，位于第四象限.故选：D.3．A【分析】根据事件与事件相互独立，得到，由条件概率公式求出答案.【详解】因为事件与事件相互独立，所以，又，则．故选：A．4．C【分析】由导数的定义可得的方程，求解可得.【详解】，，解得.故选：C.5．D【分析】根据空间直线，平面的位置关系判断即可.【详解】若，则或，A错；若，则或m与相交或，B错；若，则或，C错；若，则，D对；故选：D．6．B【分析】易得，从而，再利用基本不等式求解.【详解】解：因为实数满足，所以，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是的最小值是，故选：B7．B【分析】运用切化弦及二倍角公式化简即可求得，再结合同角三角函数平方关系即可求得.【详解】因为，，所以，即，解得或（舍），又因为，所以.故选：B.8．C【分析】分焦点在x轴或y轴两种情况，结合公式求出答案.【详解】实轴长，若双曲线焦点在x轴上，则双曲线方程为，若双曲线焦点在y轴上，则双曲线方程为.故选：C．9．BCD【分析】根据正态分布、百分位数、条件概率、全概率等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，根据正态分布的对称性可知，A选项错误.B选项，，所以第百分位数是，B选项正确.C选项，由于抽取的方式是有放回，所以“第一次抽到蓝球”与“第二次抽到蓝球”是相互独立事件，所以第一次抽到蓝球的情况下第二次也抽到蓝球的概率为，所以C选项正确.D选项，，所以D选项正确.故选：BCD10．ABD【分析】将数列中的项重新排列成如图数表，可以发现规律是：第行是以1为首项公差为的等差数列，根据数列中的性质逐项判断.【详解】根据规律，数列中各项可以如下排列：规律为每一行均为等差数列，首项为1，第行的公差为，第行的最后一项为，第行的最后一位数在整个数列中的项数为第项，故，故B正确；对于A，根据规律，第6行的最后一项为，此行的公差为5，故第20项是，故A正确；对于C，由于数列的每一组都是从1开始，然后一次增加固定的正整数，所以每一行均为递增的正项数列，若不在同一行，则或，若，则，不可能成立；若，则这三项为，由知不可能成等比数列；若在同一行，设为公差为，且,则，则故,故矛盾，所以不可能存在连续三项成等比数列，故C错误；对于D，对的位置分以下三种情况讨论①若在同一行，设在第行，由得，设为此行中第项，则，即，其中，所以或，第52行的数字依次为：1，52，103，…，所以满足条件，此时第51行最后一项为第项，故；第18行的数字依次为：1，18，35，52，69，…，所以满足条件，此时第17行最后一项为第项，故；②若中在第行的最后一位，在第行的前两位，则，，由得，即，对于无解；③若中在第行的最后两位，在第行的第一位，则，，，由得，解得，第10行的最后两位，第11行第一位数为，满足条件，此时第10行最后一项为第项，故，综上所述，存在有且仅有3个不同的正整数，使得，故D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：此题将问题转化为数表问题，数表中的规律与数列性质结合可以更好的解决数列问题.11．ABD【分析】结合选项条件，分别根据椭圆、圆以及双曲线的标准方程，化简曲线C：为相应的标准方程，即可判断A，B，C；时，方程即为，即可判断D.【详解】对于A，若，则故曲线C：，即，表示椭圆，其焦点在y轴上，A正确；对于B，若，则曲线C：，即，表示半径为的圆，B正确；对于C，若，不妨设，则曲线C：，即，表示焦点在x轴上的双曲线则，故渐近线方程为，即，C错误；对于D，若，曲线C：，即，即，则C是两条直线，D正确，故选：ABD12．5【分析】由题意，根据幂函数的定义可得，进而，结合裂项相消求和法计算即可求解.【详解】设幂函数，过点，则，解得，所以，所以，则，所以数列的前n项和为，故.故答案为：513．【分析】直角三角形的两条直角边分别为，可得小正方形的边长为，利用同角三角函数基本关系即可求解.【详解】直角三角形中较小的内角为，则直角三角形的两条直角边分别为，所以小正方形的边长为，所以，即，即，所以，所以.故答案为：.14．/【分析】根据数学归纳法的基本原理可直接得到结果.【详解】为正奇数，第二步假设第项成立，第三步证明相邻正奇数第项成立.故答案为：.15．(1)(2)11【分析】（1）由等差数列基本量的关系列方程组即可求解.（2）首先得，由等差数列求和公式求，列不等式组即可求解.【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得，，故．（2）由（1）可得，则，所以，则数列是等差数列，故．因为，所以，所以，所以或．因为，所以的最小值是11．16．(1)(2)【分析】（1）利用三角恒等变换化简的表达式，结合正弦函数的周期公式，即可求得答案；（2）利用换元，，将的根的问题转化为在上有三个实根的问题，结合正弦函数的对称性以及周期性得到之间的关系式，继而推出，结合参数的范围，即可求得答案.【详解】（1）依题意，，所以函数的最小正周期为；（2）由得，令，则，因为，所以，依题意，在上有三个实根，且，则，，所以，即，又，

所以，因为，所以，从而，所以的取值范围是【点睛】关键点点睛：（2）中，要利用换元法，将方程在区间上恰有三个实数根，转化为在上有三个实根的问题，结合正弦函数的对称性，即可解决.17．(1)(2)【分析】（1）利用待定系数法即可得解；（2）利用对数函数的单调性与单调性的加减性质即可得解.【详解】（1）因为的图象经过点，，所以，两式相减得，又且，解得或（舍去），则.（2）由（1）得，因为函数在上单调递增，函数在上单调递增，所以在上单调递增，则，，故在上的值域为.18．(1)证明见解析(2)【分析】（1）取的中点，连接，可证平面，根据判定定理可证平面平面；（2）以为坐标原点所在直线为轴建立空间直角坐标系，利用线面角的向量公式可求线面角的正弦值.【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接，∵为正三角形，，∴且.∵，为的中点，∴，又∵底面为直角梯形，即，故四边形为平行四边形，而，所以四边形为矩形，∴.平面，∴平面.∵平面，平面平面.（2）由（1）得，由（1）又可得，如图，以为坐标原点所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，，.设平面的法向量为，由，得，令，则，，设与平面所成的角为，则，∴与平面所成角的正弦值为19．(1)12(2)20【分析】（1）由焦距以及之间