2025届高中数学一轮复习专练：排列、组合与二项式定理

排列、组合与二项式定理

一、选择题

1.二项式（x2+2］的展开式中的常数项为（）

A.480B.240C.120D.15

2.一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为。，瓦c,当且仅当a>b，b<c时称为

“凹数”（如213,3如等），若a/ce{1,2,3,4},且。,瓦。互不相同，则这个三位数为“凹数”

的概率为（）

A」15B.—C.-17D.—

624324

3.在（3-《）5的展开式中，含义的项的系数为（）

A.15B.-15C.270D.-270

4.在（2x-if的展开式中，4的系数为（）

A.-80B.-40C.40D.80

5.在（x+l）（x+2）（x+〃zXx+〃）的展开式中，含丁的项的系数是7,则加+〃=（）

A.lB.2C.3D.4

6.11+4）1+”7展开式中/项的系数为（）

A.42B.35C.7D.1

7.在高考的任一考场中，都安排6行5列共30名考生，考号机选，考场使用A卷和

3卷两种答卷以防作弊，且每名考生拿到A卷和3卷都是均等的，且相邻考生答卷不

相同，甲乙两名同学在同一考场，已知甲乙同列的情况下，则他们都拿到A卷的概率

（）

1323

A.-B.—C.-D.-

51055

8.甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行数学建模比赛，决出了第1名到第5名的名次

（无并列情况）.甲、乙、丙去询问成绩.老师对甲说：“你不是最差的.”对乙说：“很遗

憾，你和甲都没有得到冠军.”对丙说：“你不是第2名.”从这三个回答解题思路，5名同

学可能的名次排列情况种数为（）

A.44B.46C.48D.54

二、多项选择题

9.某学校高一年级数学课外活动小组中有男生7人，女生3人，则下列说法正确的是（）

A.从中选2人,1人做正组长,1人做副组长，共有100种不同的选法

B.从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有21种不同的选法

C.从中选1人参加数学竞赛，共有10种不同的选法

D.若报名参加学校的足球队、羽毛球队，每人限报其中的1个队，共有100种不同的报名

方法

10.某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边

长为2个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向

行走的单位，如果掷出的点数为中=1,2,…,6）,则棋子就按逆时针方向行走，个单

位，一直循环下去.某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处，则（）

A.三次骰子后所走的步数可以是12

B.三次骰子的点数之和只可能有两种结果

C.三次骰子的点数之和超过10的走法有6种

D.回到点A处的所有不同走法共有27种

11.若则x的值可能为（）

A.3B.4C.5D.6

三、填空题

12.卜+W］的展开式中的常数项为.

13.二项式［盯一回j的展开式中的常数项为..

14.在（ax-4^展开式中炉的系数为—270,则a的值为.

四、解答题

15.已知6件不同的产品中有2件次品，4件正品，现对这6件产品一一进行测试，直

至确定出所有次品则测试终止.(以下请用数字表示结果)

(1)若恰在第2次测试时，找到第一件次品，且第4次测试时，才找到最后一件次

品，则共有多少种不同的测试情况？

(2)若至多测试4次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试情况？

16.75600有多少个正约数？有多少个正奇约数？

17.现有9件产品，其中4件一等品,3件二等品,2件三等品，从中抽取3件产品.

(1)试问共有多少种不同的抽法？

(2)抽出的3件产品中一等品、二等品、三等品各1件的抽法共有多少种？

(3)抽出的3件产品中至少有1件二等品的抽法共有多少种？

18.某次介绍会需要安排6个产品的介绍顺序，其中3个产品来自A公司,2个产品来自

3公司,1个产品来自C公司.

(1)求3公司的2个产品的介绍顺序相邻的方案数；

(2)求同一个公司产品的介绍顺序不相邻,C公司的产品既不是第一个介绍,也不是最后一

个介绍的方案数.

19.一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，

(1)从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？

(2)若取一个红球记，取一个白球记，从中任取5个球，使总分不少于的取法有多少

种？

参考答案

1.答案：B

解析：因为=*4=15x16=240.故选B.

2.答案：C

解析：试题解题思路：由于a,Z?,ce{l,2,3,4卜且仇c互不相同,故可得4x3x2=24个三

位数.若》=1,则“凹数”有：213,214,312,314,412,413共6个;若b=2,则“凹数”有：

324,423共2个.所以这个三位数为“凹数”的概率为有P=§=■1.

243

3.答案：A

5r

解析：设二项展开式的第厂+1项为：7；+1=C；x3-（-^）\

由立=2r=4-

2

所以含好的项的系数为：Cjx35-4=15.

故选：A.

4.答案：A

解析：由二项式（2x-仔的通项为C；（2x）'j（-iy可得，

当5—左=4,即左=1时，展开式中含有一项，

此时C；（2x）4（-1?=-16C*x4=-80x4,

因此一的系数为—80.

故选：A.

5.答案：D

解析：由题意可知展开式中含丁的项：/+2/+如3+依3=a+2+加+〃）/=7f

二加+〃=4，

故选:D.

6.答案：A

解析：（1+4的展开式通项为&=C；./（厂=0,1,2,...,7），

因为］+:}1+“7=(1+%)7+犷3(1+力7,

在厂=0,1,2,…,7)中，令\=3,可得J项的系数为C：=35;

在/G4=&〃-3亿=0,1,2一.,7)中，令左—3=3，得左=6，可得/项的系数为

C；=7.

所以，11+(}1+力7展开式中/项的系数为35+7=42.

故选：A.

7.答案：A

解析：由于甲乙同列，则甲乙的座位选择有A：=30种，若甲乙拿到A卷时，甲乙的座

位选择有A；=6种，故概率为9=上

305

故选：A

8.答案：B

解析：解法一：多重限制的排列问题：

甲、乙都不是第一名且甲不是最后一名，且丙不是最后一名，即甲的限制最多，故以

甲为优先元素分类计数，

甲的排位有可能是第二、三、四3种情况：

①甲排第二位，乙排第三、四、五位，包含丙的余下3人有A；种排法，则有

lx3xA；=18;

②甲排第三、四位，乙排第二位，包含丙的余下3人有A；种排法，则有

2xlxA；=12;

③甲排第三、四位，乙不排第一、二位，即有2种排法，丙不排第二位，有2种排

法，余下2人有A；种排法，则有2x2x2xA：=16;

综上，该5名同学可能的名次排情况种数为..种.

解法二：间接法：

甲不排首尾，有三种情况，再排乙，也有3种情况，包含丙的余下3人有A；种排法，

共有3x3xA；=3x3x3x2x1=54种不同的情况；

但如果丙是第二名，则甲有可能是第三、四名2种情况；再排乙，也有2种情况；余

下2人有A；种排法，故共有2x2xA；=2x2x2xl=8种不同的情况；

从而该5名同学可能的名次排情况种数为54-8=46种.

故选：B.

9.答案：BC

解析：对于A,选1人做正组长,1人做副组长需要分两步，

先选正组长有10种选法，再选副组长有9种选法，则共有10x9=90种不同的选法，故A

错误；

对于B,从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人,则共有7x3=21种不同的选法，

故B正确；

对于C选1人参加数学竞赛,既可以选男生，也可以选女生,则共有7+3=10种不同的选

法，故C正确；

对于D,每人报名都有2种选择，共有10人,则共有2"=1024种不同的报名方法，故D错

误.

故选：BC.

10.答案：BCD

解析：A、B：由题意知正方形ABCD（边长为2个单位）的周长是8,抛掷三次骰子

后棋子恰好又回到点A处的表示三次骰子的点数之和是8,16,故A错误，B正确；

C、D：列举出在点数中三个数字能够使得和为8,16的125,134,116,224,233,

466,556,

共有7种组合，前2种组合125,134,每种情况可以排列出A；=6种结果，共有

2A；=2x6=12种结果；，116,224,233,466,556各有3种结果，共有5x3=15种

结果，其中点数之和超过10的走法为466,556,共有3x2=6种，故C正确；根据分

类计数原理知共有12+15=27种结果，故D正确；

故选：BCD.

11.答案：BD

解析：由C宾T=C镇,知2x—l=x+3或2x—l+x+3=20,所以尤=4或x=6,

故选：BD.

12.答案：252

解析：［x+W］的展开式的通项公式=cn*"，

当8—4r=0即r=2时，T.=x32=x9=252

3&2x1

故,+W］的展开式中的常数项为252.

故答案为：252

13.答案：280

故答案为：280.

14.答案：-3

5-1

解析：因为展开式的通项为C；(内广=(-1)=5fC；.J2,=O』,2,3,4,5,

令5-1『=2,解得厂=2，

33

因为一的系数为(—I)?aCj=10«=-270,解得a=-3.

故答案为:―3.

15.答案：(1)24

(2)114

解析：(1)需测试4次，按顺序可看作为4个位置，

两件次品置于第二，四位，有放法数A；=2；

其余二个位置放二个正品，有放法数A：=12

由乘法原理方法数为：2x12=24种不同的测试情况；

(2)至多4次可分为恰好2次，恰好3次，恰好4次找到所有次品，

恰好2次，即前2次测试都是次品，方法数为A；=2；

恰好3次，即第3次是次品，前2次中有1次是次品，方法数为C；A；C；=16；

恰好4次，即第4次是次品，前3次中有1次是次品，方法数为C；A；A；=72；

也可以是前四次全是正品，方法数为A：=24,

故共有2+16+72+24=114种不同的测试情况.

16.答案：有120个正约数，24个正奇约数.

解析：因为75600=24x33x52x7,

所以75600的每个约数都可以写成2,RR"的形式，其中0WzW4,0<j<3,

0<k<2,0</<1,且3k,/eN,

所以75600的正约数的个数为5x4x3x2=120个；

75600的正奇约数的个数为4x3x2=24个.

17.答案：(1)84

(2)24

⑶64

解析：⑴从9件产品中抽取3件产品共有C；=84种；

⑵从9件产品中抽取3件产品，其中一等品、二等品、三等品各1件有C；C；C；=24种；

(3)“抽出的3件产品中至少有1件二等品”的对立事件是“抽取的3件产品没有一件二等

品”，

因此抽出的3件产品中至少有1件二等品共有C；-C：=64种.

18.答案：(1)240

⑵96

解析：(1)将3公司的2个产品的介绍顺序捆绑在一起，

与其他4个产品进行全排列，共有=2x5x4x3x2x1=240^,