2025高考数学复习必刷题：排列与组合（学生版）

第86讲排列与组合

知识梳理

知识点1、排列与排列数

(1)定义：从〃个不同元素中取出用(加工九)个元素排成一列，叫做从〃个不同元素中

取出m个元素的一个排列.从〃个不同元素中取出加(加工〃)个元素的所有排列的个数，叫

做从几个不同元素中取出冽个元素的排列数，用符号表示.

nI

(2)排列数的公式：47=n(n-l)(n-2)---(n-m+l)=-——1―.

\ji-my.

特例：当机="时，母=加=〃(〃-1)(〃-2)…321；规定：0!=1.

(3)排列数的性质：

①然=研二；②M=」一/T=」-媪；③然=成印+黑「

n—mn—m

(4)解排列应用题的基本思路：

通过审题，找出问题中的元素是什么，是否与顺序有关，有无特殊限制条件(特殊位置,

特殊元素).

注意：排列数公式的两种不同表达形式本质是一样的，但作用略有不同，

A；=〃(九-1)…(77+1)常用于具体数字计算；而在进行含字母算式化简或证明时，多用

A”，_加.

"(ji—m)!

知识点2、组合与组合数

(1)定义：从“个不同元素中取出加(〃74〃)个元素并成一组，叫做从"个不同元素中

取出机个元素的一个组合.从"个不同元素中取出机4")个元素的所有组合的个数，叫

做从"个不同元素中取出加个元素的组合数，用符号C：表示.

(2)组合数公式及其推导

求从"个不同元素中取出m个元素的排列数A"，可以按以下两步来考虑：

第一步，先求出从这〃个不同元素中取出m个元素的组合数C：；

第二步，求每一个组合中m个元素的全排列数6：；

根据分步计数原理，得到A7=c；6；

田叱.T）（，L2）…"7+1）

"<ml

这里〃，meN+,且相W”，这个公式叫做组合数公式.因为A：1〃！、，所以组合

\n-my.

HI

数公式还可表示为：c：=，,特例：C；=C：=1.

注意：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题

时，一般都是按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题.公式

C：=-1）（〃-2）…-M+1）常用于具体数字计算,c：=---常用于含字母算式的

mlm\（n-m）\

化简或证明.

（3）组合数的主要性质：①C：=C：T②C：+C：T=C1.

（4）组合应用题的常见题型：

①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型

②“至少”或“最多”含有几个元素的题型

知识点3、排列和组合的区别

组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工.

排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同.

注意：排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们

之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需

要考虑顺序的是排列问题.排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解

决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后排列”.

知识点4、解决排列组合综合问题的一般过程

1、认真审题，确定要做什么事；

2、确定怎样做才能完成这件事，即采取分步还是分类或是分步与分类同时进行，弄清

楚分多少类及多少步；

3、确定每一步或每一类是排列（有序）问题还是组合（无序）问题，元素总数是多少

及取出多少个元素;

4、解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略.

【解题方法总结】

1、如图，在圆中，将圆分〃等份得到w个区域陷，M2,M3,■■■,现取

依左..2）种颜色对这〃个区域涂色，要求每相邻的两个区域涂不同的两种颜色，则涂色的方

案有（一1）”/一1）+/-1）"种.

2、错位排列公式Dn=（才5+1）•«!

tr«!

3、数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项

（1）解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题

的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列

问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安

排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论.

4、定位、定元的排列问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元素通常

称为特殊元素，被限制的位置称为特殊位置.这一类问题通常以三种途径考虑：

（1）以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，

再安排其他元素；

（2）以位置为主考虑，这时，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置，

再考虑其他位置；

（3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列

数.

5、解决相邻问题的方法是“捆绑法”，其模型为将〃个不同元素排成一排，其中某左

个元素排在相邻位置上，求不同排法种数的方法是：先将这左个元素“捆绑在一起“，看

成一个整体，当作一个元素同其他元素一起排列，共有A-管种排法；然后再将“捆绑”

在一起的元素“内部”进行排列，共有种排法.根据分步乘法计数原理可知，符合条件

的排法共有耳二窗种.

6、解决不相邻问题的方法为“插空法”，其模型为将〃个不同元素排成一排，其中某

上个元素互不相邻（kWn-k+l）,求不同排法种数的方法是：先将（n—k）个元素排成一

排，共有黑二；种排法；然后把七个元素插入〃-左+1个空隙中，共有《一日种排法.根据分步

乘法计数原理可知，符合条件的排法共有娼$,1种.

必考题型全归纳

题型一：排列数与组合数的推导、化简和计算

例1.（2024•全国•高三专题练习）若Cf+'C铲，则实数式的值为（）

A.1B.3C.I或3D.0

例2.（2024•全国•高三专题练习）C；+C；+C：+-+C；8=（）

A.ClB.小C.C-lD.黑-1

例3.（2024•甘肃兰州•统考一模）A；=90,则n等于.

变式1.（2024•全国•高三专题练习）勺一勺=____

A；+A；

变式2.（2024•全国•高三专题练习）A：＞89A；-8A；=.

变式3.（2024•高三课时练习）己知A?-C；+0!=4,则加=.

变式4.（2024•河北衡水•高三衡水市第二中学期末）若C；:6=c：:2,则c；=

变式5.（2024•全国•高三对口高考）计算C；7+C：%的值为.

题型二：直接法

例4.（2024•江苏•高三校联考开学考试）甲、乙、丙等六人相约到电影院观看电影《封

神榜》，恰好买到了六张连号的电影票.若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法

种数为（）

A.360B.480C.600D.720

例5.（2024•重庆•高三统考阶段练习）雅礼女篮一直是雅礼中学的一张靓丽的名片，在

刚刚结束的2022到2024赛季中国高中篮球联赛女子组总决赛中，雅礼中学女篮队员们敢

打敢拼，最终获得了冠军.在颁奖仪式上，女篮队员12人（其中1人为队长），教练组3

人，站成一排照相，要求队长必须站中间，教练组三人要求相邻并站在边上，总共有多少

种站法（）

A.A；A；；B.2A；A；：C.A；A：A；D.2A；A：A；

例6.（2024•全国•高三专题练习）有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天

两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（）

A.120B.60C.40D.30

变式6.（2024•全国•高三对口高考）要排出某班一天中语文，数学，政治，英语，体

育，艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同

的排法种数为（）

A.24B.72C.144D.288

变式7.（2024•全国•高三对口高考）运输公司从5名男司机，4名女司机中选派出3名

男司机，2名女司机，到A,B,C,D,E这五个不同地区执行任务，要求A地只能派

男司机，E地只能派女司机，则不同的方案种数是（）

A.360B.720C.1080D.2160

变式8.（2024•全国•高三对口高考）从编号为1,2,3,4,5的5个球中任取4个，放

在编号为A,B,C,。的4个盒子里，每盒一球，且2号球不能放在B盒中的不同的方法

数是（）

A.24B.48C.54D.96

变式9.（2024•陕西•高三校联考阶段练习）甲、乙两个家庭周末到附近景区游玩，其中

甲家庭有2个大人和2个小孩，乙家庭有2个大人和3个小孩，他们9人在景区门口站成

一排照相，要求每个家庭的成员要站在一起，且同一家庭的大人不能相邻，则所有不同站

法的种数为（）

A.144B.864C.1728D.2880

题型三：间接法

例7.（2024•全国•高三专题练习）8个点将半圆分成9段弧，以10个点（包括2个端

点）为顶点的三角形中钝角三角形有（）个

A.55B.112C.156D.120

例8.（2024•湖北武汉•高二校联考期末）甲、乙、丙、丁四位同学决定去黄鹤楼、东湖、汉

口江滩游玩，每人只能去一个地方，汉口江滩一定要有人去，则不同游览方案的种数为

（）

A.65B.73C.70D.60.

例9.（2024•湖南长沙•雅礼中学校联考二模）从正360边形的顶点中取若干个，依次连

接，构成的正多边形的个数为（）

A.360B.630C.1170D.840

变式10.（2024•全国•高三专题练习）将7个人从左到右排成一排，若甲、乙、丙3人

中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，则不同的站法有（）.

A.1860种B.3696种C.3600种D.3648种

题型四：捆绑法

例10.（2024•四川内江•高三期末）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇

演，若甲和乙相邻，丙不站在两端，则不同的排列方式共有（）

A.12种B.24种C.36种D.48种

例11.（2024•江西宜春•高三统考开学考试）“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠

峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学

术大师.浙江大学、复旦大学、武汉大学、中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地.已知

某班级有A3,C,O,E共5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，每所学校至少有一位同

学选择，则A同学选择浙江大学的不同方法共有（）

A.24种B.60种C.96种D.240种

例12.（2024•全国•高三专题练习）某个单位安排7位员工在“五・一”假期中1日至7日

值班，每天安排1人值班，且每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻的两天，丙

不排在5月1日，丁不排在5月7日，则不同的安排方案共有（）

A.504种B.960种C.1008种D.1200种

变式11.（2024•全国•高三专题练习）2024年春节在北京工作的五个家庭，开车搭伴一

起回老家过年，若五辆车分别为A5CRE,五辆车随机排成一排，则A车与8车相邻，

A车与C车不相邻的排法有（）

A.36种B.42种C.48种D.60种

变式12.（2024•全国•高三专题练习）为庆祝广益中学建校130周年，高二年级派出甲、

乙、丙、丁、戊5名老师参加“130周年办学成果展”活动，活动结束后5名老师排成一排合影

留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有（）种.

A.40B.24C.20D.12

题型五：插空法

例13.（2024•湖北•高三孝感高中校联考开学考试）已知来自甲、乙、丙三个学校的5

名学生参加演讲比赛，其中三个学校的学生人数分别为1、2、2.现要求相同学校的学生的

演讲顺序不相邻，则不同的演讲顺序的种数为（）

A.40B.36C.56D.48

例14.（2024•黑龙江佳木斯•高三校考开学考试）甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，

甲和乙不相邻，排法种数为（）

A.12B.36C.48D.72

例15.（2024•辽宁沈阳•高三沈阳二十中校考开学考试）五声音阶是中国古乐基本音

阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，若把这

五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同

侧，则可排成不同的音序种数为（）

A.72B.28C.24D.32

变式13.（2024•全国•高三对口高考）2位男生和3位女生共5位同学站成一排.若男生

甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数为（）

A.36B.42C.48D.60

变式14.（2024•陕西西安•西北工业大学附属中学校考模拟预测）某校举行文艺汇演，

甲、乙、丙等6名同学站成一排演唱歌曲，若甲、乙不相邻，丙不在两端，则不同的排列

方式共有（）

A.72种B.144种C.288种D.432种

变式15.（2024•四川•校联考模拟预测）北京地处中国北部、华北平原北部，东与天津毗

连，其余方向均与河北相邻，是世界著名古都，也是国务院批复确定的中国政治中心、文化

中心、国际交往中心、科技创新中心.为了感受这座古今中外闻名的城市，某学生决定在高考

后游览北京，计划6天游览故宫、八达岭长城、颐和园、“水立方”、“鸟巢”、798艺术区、首都博

物馆7个景点，如果每天至少游览一个景点，且“水立方”和“鸟巢”在同一天游览，故宫和

八达岭长城不在相邻两天游览，那么不同的游览顺序共有（）

A.120种B.240种C.480种D.960种

变式16.（2024•湖北襄阳•襄阳四中校考模拟预测）一排有8个座位，有3人各不相邻

而坐，则不同的坐法共有（）

A.120种B.60种C.40种D.20种

题型六：定序问题（先选后排）

例16.（2024•全国•高三专题练习）满足毛eN*（i=1,2,3,4）,且当＜尤3＜匕＜1。的有

序数组（石,々，当，匕）共有（）个.

A.C；B.蜀C.品D.组

例17.（2024•高二课时练习）已知％e{T,0.1}，G'=l,2,…,则满足闻+园|+|&|+...+闻=2

的有序数组（孙孙三，…,三）共有（）个

n2—w

A.—2nB.2n2+2nC.-------D.n2-n

2

例18.（2024-山西朔州•高二怀仁市第一中学校校考期中）五人并排站在一排，如果

A,8必须相邻且8在A的右边，那么不同的排法种数有（）

A.60种B.48种C.36种D.24种

变式17.（2024•全国•高三专题练习）。乂4是形成所有生物体中染色体的一种双股螺旋

线分子，由称为碱基的化学成分组成它看上去就像是两条长长的平行螺旋状链，两条链上

的碱基之间由氢键相结合.在。N4中只有4种类型的碱基，分别用A、C、G和T表示，

。乂4中的碱基能够以任意顺序出现两条链之间能形成氢键的碱基或者是A-T,或者是C-

G,不会出现其他的联系因此，如果我们知道了两条链中一条链上碱基的顺序，那么我们

也就知道了另一条链上碱基的顺序.如图所示为一条OVA单链模型示意图，现在某同学想

在碱基T和碱基C之间插入3个碱基A,2个碱基C和1个碱基T,则不同的插入方式的

种数为（）

...AGGATCGG...

A.20B.40C.60D.120

变式18.（2024•江苏扬州•高三校考期末）花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时

代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.如图，现有悬挂着的6盏不同的花灯需要取下，

每次取1盏，则不同取法总数为

变式19.（2024•全国•高三专题练习）某公司在元宵节组织了一次猜灯谜活动，主持人

事先将10条不同灯谜分别装在了如图所示的10个灯笼中，猜灯谜的职员每次只能任选每

列最下面的一个灯笼中的谜语来猜（无论猜中与否，选中的灯笼就拿掉），则这10条灯谜

依次被选中的所有不同顺序方法数为.（用数字作答）

n

nT

变式20.（2024•高二课时练习）7人排队，其中甲、乙、丙3人顺序一定，共有一不同的

排法.

题型七：列举法

例19.（2024•全国•高三专题练习）数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉

格朗日等数学家证明.四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然

数的平方和，例如正整数12=32+F+F+12=22+22+22+（）2.设25=。2+/+。2+第,其

中a,b,c,d均为自然数，则满足条件的有序数组（a力,Gd）的个数是（）

A.28B.24C.20D.16

例20.（2024•浙江宁波•高二校联考期末）已知字母x,y,z各有两个，现将这6个字

母排成一排，若有且仅有一组字母相邻（如中小），则不同的排法共有（）种

A.36B.30C.24D.16

例21.（2024•全国•高三专题练习）某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放

在如图所示正方形ABCD（边长为2个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿

正方形的边按逆时针方向行走了几个单位，如果掷出的点数为m=1,2,…,6）,则棋子就按

逆时针方向行走i个单位，一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到起点A处

的所有不同走法共有（）

A.21种B.22种C.25种D.27种

变式21.（2024•海南海口•统考一模）形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位上的

数字，千位上的数字均比与它们各自相邻的数字大，则由1,2,3,4,5可组成数字不重

复的五位“波浪数”的个数为

A.20B.18C.16D.11

变式22.（2024•全国•高三专题练习）工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图

所示的六个位置的螺栓.若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不熊连续固定相邻的2个螺栓.

则不同的固定螺栓方式的种数是.

/•32,\

•56。

题型八：多面手问题

例22.（2024•全国•高三专题练习）我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本

交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞.现要从中

选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有（）种不同的选法.

A.675B.575C.512D.545

例23.（2024•全国•高三专题练习）某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人

只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4

人当法语翻译，则共有（）种不同的选法

A.225B.185C.145D.110

例24.（2024•全国•高三专题练习）“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要

的节日民俗活动之一，在我国南方普遍存在端午节临近，某单位龙舟队欲参加今年端午节

龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会

划右桨.现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共

有（）

A.26种B.30种C.37种D.42种

变式23.（2024•全国•高三专题练习）某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人

只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷.现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去

参加比赛，则不同的选派方法共有（）

A.56种B.68种

C.74种D.92种

题型九：错位排列

例25.（2024•重庆沙坪坝•高二重庆八中校考期末）“数独九宫格”原创者是18世纪

的瑞士数学家欧拉，它的游戏规则很简单，将1到9这九个自然数填到如图所示的小九宫

格的9个空格里，每个空格填一个数，且9个空格的数字各不相间，若中间空格已填数字

5,且只填第二行和第二列，并要求第二行从左至右及第二列从上至下所填的数字都是从大

到小排列的，则不同的填法种数为（）

___________

5

A.72B.108C.144D.196

例26.（2024•全国•高三专题练习）编号为1、2、3、4、5的5个人分别去坐编号

为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有（）

A.10种B.20种C.30种D.60种

例27.（2024•全国•高三专题练习）将编号为1、2、3、4、5、6的小球放入编号

为1、2、3、4、5、6的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入

的小球的编号相同，则不同的放法种数为（）

A.90B.135C.270D.360

变式24.（2024•广东广州•高二广州奥林匹克中学校考阶段练习）将编号为1、2、3、4

、5、6的六个小球放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子里，每个盒子放一个小球，若有且只

有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的方法总数是（）

A.20B.40C.120D.240

题型十：涂色问题

例28.（2024•全国•高三专题练习）如图，一个地区分为5个行政区域，现给该地区的5

个区域涂色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的涂色

方法共有一种.

例29.（2024•全国•高三专题练习）对正方体42C。-A4CQ的6个面进行涂色，有5

种不同的颜色可供选择.要求每个面只涂一种颜色，且有公共棱的两个面不同色，则总的涂

色方法个数为（填写数字）

例30.（2024•重庆•统考模拟预测）某城市休闲公园管理人员拟对一块圆环区域进行改

造封闭式种植鲜花，该圆环区域被等分为5个部分，每个部分从红、黄、紫三种颜色的鲜

花中选取一种进行栽植.要求相邻区域不能用同种颜色的鲜花，总的栽植方案有

种.

变式25.（2024•安徽•校联考模拟预测）数学课上，老师出了一道智力游戏题.如图所

示，平面直角坐标系中有一个3乘3方格图（小正方形边长为1）,一共有十六个红色的格

点，游戏规则是每一步可以改变其中一个点的颜色（只能由红变绿或绿变红），如将其中任

何一个点由红色改成绿色，则这个点周围与之相邻的点也要从原来的颜色变成另外一种颜

色，比如选择（U）变成绿色，则与之相邻的（0,1）,（1,0）,（1,2）,（2,1）四个点也要变成绿

色，那么最少需要步，才能使得位于直线V=-x+3上的四个点变成绿色，而其他点

变式26.（2024•全国•高三专题练习）如图，现要对某公园的4个区域进行绿化，有5

种不同颜色的花卉可供选择，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色的花卉，共有一

种不同的绿化方案（用数字作答）.

变式27.（2024•全国•高三专题练习）七巧板是古代劳动人民智慧的结晶.如图是某同学

用木板制作的七巧板，它包括5个等腰直角三角形、一个正方形和一个平行四边形.若用四

种颜色给各板块涂色，要求正方形板块单独一色，其余板块两块一种颜色，而且有公共边

的板块不同色，则不同的涂色方案有种.

变式28.（2024•全国•高三专题练习）用四种不同的颜色为正六边形（如图）中的六块

区域涂色，要求有公共边的区域涂不同颜色，一共有种不同的涂色方法.

变式29.（2024•全国•高三专题练习）如图，用4种不同的颜色给图中的8个区域涂

色，每种颜色至少使用一次，每个区域仅涂一种颜色，且相邻区域所涂颜色互不相同，则

区域A,B,C,。和A，Bt,G，A分别各涂2种不同颜色的涂色方法共有

种；区域A,B,C,。和A，4，2分别各涂4种不同颜色的涂色方法共有

种.

题型十一：分组问题

例31.（2024•全国•高三专题练习）贵阳一中体育节中，乒乓球球单打12强中有4个种

子选手，将这12人平均分成3个组（每组4个人）、则4个种子选手恰好被分在同一组的

分法有（）

A.21B.42C.35D.70

例32.（2024•高二课时练习）把10个苹果分成三堆，要求每堆至少1个，至多5个，则

不同的分法共有（）

A.4种B.5种C.6种D.7种

例33.（2024•福建泉州•高二校联考期中）在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6

位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务.已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于

Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参

与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一

组去近处，那么不同的搜寻方案有（）

A.25种B.30种C.40种D.50种

变式30.（2024•全国•高二专题练习）将12个不同的物体分成3组，每组4个，则不同

的分法种数为（）.

A.34650B.5940C.495D.5775

变式31.（2024•全国•高二专题练习）某中学要给三个班级补发8套教具，先将其分成3

堆，其中一堆4套，另两堆每堆2套，则不同的分堆方法种数为（）

「4「402「2

C842D.8:2

A.B.,,

变式32.（2024•福建厦门•高三厦门双十中学校考阶段练习）将6名同学分成两个学习

小组，每组至少两人，则不同的分组方法共有种.

题型十二：分配问题

例34.（2024•全国•高三专题练习）按下列要求分配6本不同的书.

（1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本，有种不同的分配方式；

（2）甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本，有种不同的分

配方式；

（3）平均分成三份，每份2本，有种不同的分配方式；

（4）平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本，有种不同的分配方式；

（5）分成三份，1份4本，另外两份每份1本，有种不同的分配方式；

（6）甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本，有种不同的分配方

式；

（7）甲得1本，乙得1本，丙得4本，有种不同的分配方式.

例35.（2024•全国•高三专题练习）将9名大学生志愿者安排在星期五、星期六及星期

日3天参加社区公益活动，每天分别安排3人，每人参加一次，则不同的安排方案共有一

种.（用数字作答）

例36.（2024•全国•高三专题练习）现计划安排A,B,C,D,E五名教师教这六门课

程，每名教师至少教一门课程，每门课程只配一名教师，且教师A不教“围棋”，教师B只

能教一门课程，则满足条件的课程安排的种数为.

变式33.（2024•四川泸州•高三四川省泸县第四中学校考开学考试）绵阳中学食堂，以

其花样繁多的饭菜种类和令人难忘的色香味使大批学子醉倒在它的餐盘之下，学子们不约

而同地将其命名为“远航大酒楼”.“远航大酒楼，，共三层楼，5名高一新同学相约到食堂就

餐，为看尽食堂所有美食种类，他们打算分为三组去往不同的楼层.其中甲同学不去二

楼，则一共有种不同的分配方式.

变式34.（2024•福建福州•高三福建省福州第一中学校考开学考试）为了贯彻落实中央

新疆工作座谈会和全国对口支援新疆工作会议精神，促进边疆少数民族地区教育事业的发

展，某市派出了包括甲、乙在内的5名专家型教师援疆，现将这5名教师分配到新疆的

A、B、a。四所学校，要求每所学校至少安排一位教师，则在甲志愿者被安排到A学校

有种安排方法.

变式35.（2024•重庆沙坪坝•高三重庆一中校考阶段练习）8个完全相同的球放入编号

1,2,3的三个空盒中，要求放入后3个盒子不空且数量均不同，则有种放法.

变式36.（2024•吉林长春•高三长春外国语学校校考开学考试）为了落实立德树人的根

本任务，践行五育并举，某校开设三门德育校本课程，现有甲、乙、丙、丁四位同学

参加校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法

有.

题型十三：隔板法

例37.（2024•云南红河•统考三模）某校将6个三好学生名额分配到高三年级的3个班，

每班至少1个名额，则共有多少种不同的分配方案（）

A.15B.20C.10D.30

例38.（2024•全国•校联考模拟预测）学校决定把12个参观航天博物馆的名额给三（1）

、三（2）、三（3）、三（4）四个班级.要求每个班分别的名额不比班级序号少，即三（1）

班至少1个名额，三（2）班至少2个名额，……，则分配方案有（）

A.8种B.10种C.165种D.495种

例39.（2024•高二课时练习）现有9个相同的球要放到3个不同的盒子里，每个盒子至

少一个球，各盒子中球的个数互不相同，则不同放法的种数是（）

A.28B.24C.18D.16

变式37.（2024•江苏苏州•高二吴县中学校考期中）学校有6个优秀学生名额，要求分

配到高一、高二、高三，每个年级至少1个名额，则有（）种分配方案.

A.135B.10C.75D.120

变式38.（2024•全国•高二期末）方程毛+3+W+4=12的正整数解共有（）组

A.165B.120C.38D.35

题型十四：数字排列

例40.（2024•全国•高三专题练习）用0,1,2,3,4可以组成没有重复数字的四位偶

数的个数为（）

A.36B.48C.60D.72

例41.（2024•全国•高二专题练习）用数字1、2、3组成五位数，且数字1、2、3至少

都出现一次，这样的五位数共有（）个

A.120B.150C.210D.240

例42.（2024•北京•高二北京八中校考期末）用1,2,3三个数字组成一个四位数，要求每

个数字至少出现一次，共可组成个不同的四位数（用数字作答）.

变式39.（2024•全国•高三专题练习）用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四

位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有.个（用数字作

答）.

变式40.（2024•全国•高三专题练习）用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重

复数字，且至多有一个数字是奇数的四位数，这样的四位数一共有个.（用数

字作答）

题型十五：几何问题

例43.（2024•全国•高三专题练习）从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到

四面体的个数为（）

A.Cg-12B.C；-8C.C：-6D.C；-4

例44.（2024•高二课时练习）一只蚂蚁从正四面体A-的顶点A出发，沿着正四面

体A-3CZ）的棱爬行，每秒爬一条棱，每次爬行的方向是随机的，则蚂蚁第1秒后到点

8,第4秒后又回到A点的不同爬行路线有（）

A.6条B.7条C.8条D.9条

例45.（2024•全国•高三专题练习）如图，一只蚂蚁从点A出发沿着水平面的线条爬行

到点C,再由点C沿着置于水平面的正方体的棱爬行至顶点B,则它可以爬行的不同的最

短路径有（）条

C.80D.120

变式41.（2024•全国•高二专题练习）凸八边形的对角线有（）条

A.20B.28C.48D.56

变式42.（2024•全国•高三专题练习）已知C60分子是一种由60个碳原子构成的分子，

它形似足球，因此又名足球烯，C60是单纯由碳原子结合形成的稳定分子，它具有60个顶

点和若干个面，.各个面的形状为正五边形或正六边形，结构如图.己知其中正六边形的面为

20个，则正五边形的面为（）个.

A.10B.12

C.16D.20

变式43.（2024•高二课时练习）设凸”（底3）棱锥中任意两个顶点的连线段的条数为

加），则加+1）—八〃）=（）

A.n—1B.n

C.n~\-1D.〃+2

题型十六：分解法模型与最短路径问题

例46.（2024•全国•高三专题练习）有一种走“方格迷宫”游戏，游戏规则是每次水平或

竖直走动一个方格，走过的方格不能重复，只要有一个方格不同即为不同走法.现有如图

的方格迷宫，图中的实线不能穿过，则从入口走到出口共有多少种不同走法？

例47.（2024•全国•高三专题练习）夏老师从家到学校，可以选择走锦绣路、杨高路、

张杨路或者浦东大道，由于夏老师不知道杨高路有一段在修路导致第一天上班就迟到了,

所以夏老师决定以后要绕开那段维修的路，如图，假设夏老师家在M处，学校在N处，

A3段正在修路要绕开，则夏老师从家到学校的最短路径有（）条.

A.23B.24C.25D.26

例48.（2024•广东惠州•高三校考期末）如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成

（实线表示马路），。段马路由于正在维修，暂时不通，则从A到8的最短路径有（）

D.26条

变式44.（2024•全国•高三专题练习）方形是中国古代城市建筑最基本的形态，它体现

的是中国文化中以纲常伦理为代表的社会生活规则，中国古代的建筑家善于使用木制品和

竹制品制作各种方形建筑.如图，用大小相同的竹棍构造一个大正方体（由8个大小相同的

小正方体构成），若一只蚂蚁从A点出发，沿着竹棍到达8点，则蚂蚁选择的不同的最短路

径共有（）

A

A.48种B.60种

C.72种D.90种

变式45.（2024•高二课时练习）一植物园的参观路径如图所示，若要全部参观并且路线

不重复，则不同的参观路线共有（）

A.6种B.8种

C.36种D.48种

变式46.（2024•广东惠州•高二校考期中）下图是某项工程的网络图（单位:天），则从开

始节点①到终止节点⑧的路径共有（）

变式47.（多选题）（2024•全国•高三专题练习）如图，在某城市中，M,N两地之间有

整齐的方格形道路网，其中A，4,A，A，A是道路网中位于一条对角线上的5个交汇处，今

在道路网M,N处的甲、乙两人分别要到N,M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短

路径，以相同的速度同时出发，直到到达N,M处为止，则（）

4

人

4

M人

A.甲从M到达N处的走法有70种

B.甲从M必须经过&到达N处的走法有12种

C.若甲、乙两人途中在&处相遇，则共有144种走法

D.若甲、乙两人在行走途中会相遇，则共有1810种走法

甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在A，4，a，4，A处相遇，他们在A0=1，2,3,4,5）处相

遇的走法有（C『）4种，

则（c"+（C：y+（⑹4+（C：y+（C：y=1810,故D正确.

故选：AD.

变式48.（2024•高二课时练习）5400的正约数有个

变式49.（2024•上海嘉定•高二校考期中）正整数2022有个不同的正约数.

题型十七：排队问题

例49.（2024•全国•高三专题练习）街头篮球比赛后，红、黄两队共6名队员（红队3

人，黄队3人）合照，要求6人站成一排，红队3人中有且只有2名队员相邻，则不同排队

的方法共有（）

A.432种B.216种C.144种D.72种

例50.（2024•全国•高三专题练习）七辆汽车排成一纵队，要求甲车、乙车、丙车均不

排队头或队尾且各不相邻，则排法有()

A.48种B.72种C.90种D.144种

例51.(2024•山西朔州•高二校考阶段练习)5名成人带两个小孩排队上山，小孩不排在

一起也不排在头尾，则不同的排法种数有(