2025高考数学复习必刷题：双曲线及其性质（学生版）

第65讲双曲线及其性质

知识梳理

知识点一：双曲线的定义

平面内与两个定点与用的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于但瑞|）的点的

轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）.用集合表示为

{M四居|一|峥||=2。（0<2.<阳词）}

注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支.

（2）当2a=|耳用时，点的轨迹是以耳和名为端点的两条射线；当2°=0时，点的轨

迹是线段耳&的垂直平分线.

（3）2a>|耳引时，点的轨迹不存在.

在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：

2

①条件"闺鸟|>2a”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定b

的值），注意4+62=02的应用.

知识点二：双曲线的方程、图形及性质

双曲线的方程、图形及性质

2222

标准方程号一｝=l(a>O,b>0)斗一a=1(。>0,。〉0)

s_b

图形

“a

焦点坐标耳(一c,0),居(c,0)耳(0,-c),F2(0,C)

对称性关于X,y轴成轴对称，关于原点成中心对称

顶点坐标4（一。,0）,&（。,0）Aj(0,a),4((),—〃)

范围\x\>a14

实轴、虚轴实轴长为2a,虚轴长为2b

l+，（e>l）

离心率

人y2f

令二一5=0=y=±，，

令二—7T=0=》=±尸，

渐近线方程abaabb

焦点到渐近线的距离为。焦点到渐近线的距离为。

>1,点（%,%）在双曲线内>1,点（%,%）在双曲线内

点和双曲线（含焦点部分）£（含焦点部分）

a2b2=1,点（%,%）在双曲线上a2b2=1,点（七,％）在双曲线上

的位置关系

<1,点（%,%）在双曲线外点（%,%）在双曲线外

共焦点的双2222

-----Y—=1（一/（上〈廿）------——=1（一/<k<b2）

2222

曲线方程a+kb-ka+kb-k

共渐近线的2222

--^=2（2^0）斗一白=〃2w0）

双曲线方程abab

切线方程一*-宇二L（%（）,%）为切点24一偿-=i，a）,为）为切点

abab

对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中V换为X/,V换成

切线方程

便得•

一号一^^=1,（X0，%）为双曲线

ab誓-誓=L（x。,%）为双曲线外一点

切点弦所在ab

外一点

直线方程

点（升,％）为双曲线与两渐近线之间的点

设直线与双曲线两交点为A（X],%）,3（尤2，%），kAB^k.

则弦长MM=J1+k2-%2=J1+，,|%-乃|伏片。）,

弦长公式

2

,一%I="玉+x2）-4X|X2=?

其中是消“y”后关于“x”的一元二次方程的

11x2”系数.

2b2

通径通径(过焦点且垂直于耳鸟的弦)是同支中的最短弦，其长为丝

a

为(曲线上一点尸(%,％)与两焦点耳，鸟构成的"耳耳成为焦点三角形，

2〃2

话lAF.PF^e,\PF\=rx,\PF2\=r2,则cos6=l----,

AG

fyoly

焦点三角形

2

1.八sin。,2bfc%，焦点在洋由上

PFF

^\X212

21-cos。tanf[c%,焦点在y轴上

2

隹J»二点三角形中一般要用到的关系是

^PF^-\PF^=2a{2a>2c)

<SA叼=T尸£HP用sin4时

耳周「耳『+|尸研一2附便局cosN用谯

等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线。a=/o离心率e=0=

等轴双曲线

两渐近线互相垂直。渐近线方程为y=±xO方程可设为f-V=2(2*0).

【解题方法总结】

(1)双曲线的通径

过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通

径.通径长为2生".

a

(2)点与双曲线的位置关系

对于双曲线点尸(尤。，为)在双曲线内部，等价于空-百>1.

abab

点尸(七，为)在双曲线外部，等价于区■-%<1结合线性规划的知识点来分析.

ab

(3)双曲线常考性质

性质1:双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数6;顶点到两条渐近线的距离为常

数叱

C

性质2：双曲线上的任意点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数

a2b2

c2

A2

（4）双曲线焦点三角形面积为上万（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越

V

tan—

2

小，面积越大）

（5）双曲线的切线

22

点在双曲线二-七=l（a>0,6>0）上，过点M作双曲线的切线方程为

ab

22

誓-理=1.若点在双曲线二一与=l（a>0,6>0）外，则点M对应切点弦方

abab

程为警-浮=1

ab

必考题型全归纳

题型一：双曲线的定义与标准方程

例1.（2024•全国•模拟预测）已知月，居分别是离心率为2的双曲线

22

E：5+斗=1（。>0力>0）的左，右焦点，过点工的直线与双曲线的左、右两支分别交于点

ab

C,D,且|C4|=|CD|,|。制=4,则E的标准方程为.

例2.（2024•山东临沂•高二校考期末）已知双曲线E：「-2=1（a>0,6>0）,矩

ab

形ABC。的四个顶点在E上，AB,。的中点为E的两个焦点，且21ABi=3忸。=6,贝|

双曲线E的标准方程是

例3.（2024•高二课时练习）设椭圆Ci的离心率为卷，焦点在x轴上且长轴长为26,若

曲线C2上的点到椭圆Ci的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程

为.

变式1.（2024•贵州贵阳•高二清华中学校考阶段练习）渐近线方程为〉=±；x且经过点

（4,1）的双曲线标准方程为.

22

变式2.（2024•辽宁朝阳•高二校联考阶段练习）若双曲线C与双曲线上-匕=1有相同

1612

的渐近线，且经过点R血,后），则双曲线C的标准方程是.

变式3.（2024•上海黄浦•高二上海市向明中学校考期中）双曲线「经过两点

A（-垃「⑹,彳半，后，则双曲线「的标准方程是.

22

变式4.（2024•全国•模拟预测）已知6，B分别是双曲线C：1-2=l（a>0,b>0）的

ab

左、右焦点，M是双曲线C的右支上一点，双曲线C的焦点到渐近线的距离为3,耳M与

M鸟的夹角为:，（MFl-3MF>）L（MFx+3MF^,则双曲线C的标准方程为.

22

变式5.（2024•广东•高三校联考阶段练习）已知双曲线「工-与=1（。>0,6>0）,四点

ab

A（6,V3）24,*、C（5,2）、。（-5,-2）中恰有三点在r上，则双曲线「的标准方程

为________

变式6.（2024•高二课时练习）（1）若双曲线过点（3,9a）,离心率e=粤，则其标准方

程为一.

（2）若双曲线过点渐近线方程是y=±3尤，则其标准方程为一.

22

（3）若双曲线与双曲线乙-三=1有共同的渐近线，且经过点M（3,-2）,则其标准方程

43

为一,

【解题方法总结】

求双曲线的方程问题，一般有如下两种解决途径:

（1）在已知方程类型的前提下，根据题目中的条件求出方程中的参数a,b,c,即

利用待定系数法求方程.

（2）根据动点轨迹满足的条件，来确定动点的轨迹为双曲线，然后求解方程中的参

数，即利用定义法求方程.

题型二：双曲线方程的充要条件

22

例4.（2024•全国•高三对口高考）若曲线—+二二=1表示双曲线，那么实数左的取

3+k2-k

值范围是（）

A.（-3,2）B.（-00,-3）u（2,+oo）

C.（—2,3）D.（―oo,—2）D（3,+OO）

例5.（2024•湖南岳阳•高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）已知上ER,则

22

"-2＜左＜3”是“方程-----匚=1表示双曲线”的（）

2—k2+%

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既

不充分也不必要条件

22

例6.（2024•全国•高三专题练习）若方程」一+^^=1表示双曲线，则机的取值范围

m-2m-6

是（）

A.机＜2或加＞6B.2＜m＜6

C.袱v-6或加＞一2D.-6<m<-2

变式7.（2024•全国•高三专题练习）已知方程E:（m-1）尤2+（3-祖）_/=（祖_1）（3_m）,

则E表示的曲线形状是（）

A.若1<m<3,则E表示椭圆

B.若E表示双曲线，贝或加>3

C.若£表示双曲线，则焦距是定值

D.若E的离心率为巫，则根=:

23

22

变式8.（2024•四川南充•统考三模）设2兀），贝『方程土+二^=1表示双曲线

34sin6

的必要不充分条件为（）

A.<9G（0,7i）B.9e

C.［兀，弓）D.夕£

【解题方法总结】

22

土+匕=1表示椭圆的充要条件为：相相w九；

mn

22

上+乙=1表示双曲线方程的充要条件为：“mvO；

mn

22

匕+二=1表示圆方程的充要条件为：m=n>0.

mn

题型三：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题

22

例7.（2024•广东揭阳•高三校考开学考试）已知双曲线C:与-5=1（.>0,6>0）,。为坐

ab

标原点，用名为双曲线C的两个焦点，点尸为双曲线上一点，若4|=3|尸囚,|0尸|=。,

则双曲线。的方程可以为（）

A.--%2=1B.匚

4

C.匚*

D.-一

34

22

例8.（2024•安徽六安•六安一中校考模拟预测）己知双曲线C:工-匕=1的左、右焦点

169

分别为耳、居，直线尸质与双曲线C交于A,8两点，若|/山|=|耳引，贝上A他的面积

等于（）

A.18B.10C.9D.6

22

例9.（2024•福建漳州•高三漳州三中校考阶段练习）已知双曲线厂:工-工=1的左右焦

42

点分别为斗且，过1的直线分别交双曲线r的左右两支于AB两点，且

=ZFBA,则忸（）

ZF2AB2E|=

A.75+4B.2石+4C.2小D.小

变式9.（2024•湖北恩施•校考模拟预测）己知片，B分别为双曲线C：

22

亍一三=1色＞0）的左右焦点，且1到渐近线的距离为1,过F?的直线/与C的左、右两支

曲线分别交于A3两点，且/，AG，则下列说法正确的为（）

A.△AGE的面积为2B.双曲线C的离心率为0

11

C.时•班;=10+4指D.--1--=>/6+2

I阿\BF2\

变式10.（2024.全国•高三专题练习）设双曲线C的左、右焦点分别为[，F],且焦距为

2回,尸是C上一点，满足\PFt\^2\PF2\,则△尸的周长为.

22

变式11.（2024•全国•高三专题练习）双曲线工-2=1的左、右焦点分别是《、尸,，过

ab

居的弦A8与其右支交于两点，|AB|=加，贝ijA8月的周长为（）

A.4。B.4a—mC.4Q+2根D.4«+m

变式12.（2024•云南保山•统考模拟预测）已知与工是离心率等于正的双曲线

3

22

C:工-工=1的左右焦点，过焦点F?的直线/与双曲线C的右支相交于A,B两点，若

m4

的周长20,则|A3|等于（）

A.10B.8C.6D.4

22

变式13.（2024•全国•高三专题练习）设《，工分别是双曲线土-匕=1的左、右焦点,

445

P是该双曲线上的一点，且3|尸耳|=目%则但的面积等于（）

A.14&B.7厉C.1573D.5而'

2

变式14.（2024•全国•高三专题练习）设双曲线V-工=1的左、右焦点分别为

3

居，点尸在双曲线上，下列说法正确的是（）

A.若g为直角三角形，则△耳尸乙的周长是2夕+4

B.若△白尸乙为直角三角形，则△片尸居的面积是6

C.若△片尸乙为锐角三角形，则「闻+归局的取值范围是（2曲,8）

D.若月为钝角三角形，则户耳|+|尸阊的取值范围是（8,+8）

变式15.（2024•吉林四平•高三双辽市第一中学校联考期末）设双曲线

22

「-2=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别片、工，点P（x,y）为双曲线右支上一点,

ab

△PKB的内切圆圆心为“（2,2）,则APM耳的面积与VPA伍的面积之差为（）

A.1B.2C.4D.6

22

变式16.（2024•全国•高三专题练习）已知双曲线土-乙=1的左右焦点分别为片,8,

97

若双曲线上一点尸使得/耳尸工=60,求△月尸鸟的面积（）

A.乎B.当^C.773D.14百

丫2

变式17.（2024•上海浦东新•统考三模）设尸为双曲线二-9=1（。＞0）的上一点,

a

ZF\PF[=（27r（耳耳为左、右焦点），则AKP8的面积等于（）

A.乖1aiB.且/c.叵D.也

333

【解题方法总结】

对于题中涉及双曲线上点到双曲线两焦点距离问题常用定义，即

\PF\-\PF^=2a,在焦点三角形面积问题中若已知角,则用

SAP6G=（户片卜仔闾sin。,仍剧—归q=2。及余弦定理等知识；若未知角,则用

SAPRF]=5,2cJJ7。].

题型四：双曲线上两点距离的最值问题

例10.（2024•全国•高三专题练习）己知双曲线C:1-产=1的左右焦点为耳，尸?，点

M为双曲线C上任意一点，则|孙卜|加/^的最小值为（）

A.1B.V2C.2D.3

2

例11.（2024•全国•高三专题练习）己知A是双曲线?-丁=1上一点，耳是左

焦点，B是右支上一点，A耳与，相耳的内切圆切于点尸，则闺尸|的最小值为

A.73B.2耶＞C.36-0D.66-20

22

例12.（2024•全国•高三专题练习）已知点M（—5,0）,点P在曲线左=1（冗＞0）上运

\PM?

动，点。在曲线（x-5y+y2=i上运动,则房I的最小值是

\r丫1

22

变式18.（2024•河北衡水•统考模拟预测）已知双曲线土—&=1,其右焦点为尸，P

916

为其上一点，点V满足|腮1=1,MFMP=：0,贝1Jl■尸I的最小值为（）

A.3B.6C.2D.V2

2

变式19.（2024•高二课时练习）已知直线/与双曲线——匕=1交于A,B两点，且

2

AB=WB（。为坐标原点），若M是直线X-3"3=0上的一个动点，^lj|MA|2+|MB|2

的最小值为（）

A.12B.6C.16D.8

2

变式20.（2024•广东韶关•高二统考期末）已知点百，尸,是双曲线C:x2-L=l的左、

3

右焦点，点P是双曲线C右支上一点，过点F?向/与尸鸟的角平分线作垂线，垂足为点

Q,则点A（-石,1）和点。距离的最大值为（）

A.2B.77C.3D.4

【解题方法总结】

利用几何意义进行转化.

题型五：双曲线上两线段的和差最值问题

例13.（2024•江苏徐州•高二统考期中）已知等轴双曲线的焦距为8,左、右焦点耳，&

在x轴上，中心在坐标原点，点A的坐标为（5,右），尸为双曲线右支上一动点，则

|尸耳H例的最大值为（）

A.20+2B.40+2C.20+4D.40+4

例14.（2024•全国•高二专题练习）己知双曲线C:吞-£=l（a>0,b>0）,其一条渐近

线方程为x+括y=0,右顶点为A,左，右焦点分别为片，工，点P在其右支上，点

3（3,1）,三角形与钻的面积为1+孝，则当|咫日必|取得最大值时点尸的坐标为（）

2

例15.（2024•全国•高二专题练习）已知尸是双曲线C：/-匕=1的右焦点，尸是C的

8

左支上一点，人（0,6），贝U|R4|+|尸耳的最小值为（）

A.5B.6C.7D.8

变式21.（2024•宁夏银川•校联考二模）已知抛物线9=16尤上一点A（m,"）到准线的距

22

离为5,尸是双曲线上-匕=1的左焦点，P是双曲线右支上的一动点，则阿|+照的最小值

412

为（）

A.12B.11C.10D.9

22

变式22.（2024•全国•高二专题练习）已知点4（0,3e），双曲线E：上-匕=1的左焦点

27

为尸，点P在双曲线E的右支上运动.当APb的周长最小时，|AP|+|尸耳=（）

A.6五B.7A/2C.872D.9A/2

22

变式23.（2024•福建宁德•高三统考阶段练习）已知双曲线C:上-乙=1,点/是C的

124

右焦点，若点尸为C左支上的动点，设点尸到C的一条渐近线的距离为d,则4+1尸产I的

最小值为（）

A.2+4百B.6后C.8D.10

,V.2

变式24.（2024•全国•高二专题练习）设居，F,为双曲线C：二一丫？=］的左、右焦点,

3

0为双曲线右支上一点，点尸（0,2）.当|Q耳|+|PQ|取最小值时，的值为（）

A.«_屈B.73+72C.76-2D.76+2

22

变式25.（2024•全国•高二专题练习）设P是双曲线上-匕=1上一点，M、N分别是两

916

圆0-5）2=4和0+5）2+）=1上的点,则|尸网_|尸陷的最大值为（）

A.6B.9C.12D.14

变式26.（2024•全国•高三校联考阶段练习）已知点P是右焦点为歹的双曲线

22

^一言=1（C）上一点，点。是圆（x-8）2+y2=i上一点，贝IJ附+间|的最小值

是

22

变式27.（2024•全国•高二专题练习）已知双曲线C:上-匕=1的左焦点为尸，点P是

44

双曲线C右支上的一点，点M是圆£:炉+（、-2正）2=1上的一点，则|尸耳+户闾的最小值

为（）

A.5B.5+20C.7D.8

22

变式28.（2024•全国•高一专题练习）已知双曲线C:、■-、=1,片，区是其左右焦点.圆

£:X2+/-4J+3=0,点尸为双曲线C右支上的动点，点。为圆E上的动点，贝U

1尸（21+|尸制的最小值是（）

A.5+2石B.5+2后C.7D.8

变式29.（2024•四川眉山•高二四川省眉山第一中学校考期中）已知工是双曲线

C:三-t=1的右焦点，动点A在双曲线左支上，点B为圆E:/+（y+2）2=l上一点，则

93

|AB|+|A阊的最小值为（）

A.9B.8C.5石D.6#)

2

变式30.（2024•陕西咸阳•武功县普集高级中学统考模拟预测）过双曲线犬-气=1的右

支上一点尸,分别向圆G：（尤+4了+^=4和圆C?：（了-4）2+^=1作切线，切点分别为

M,N,则归初2-|小『的最小值为

A.16B.15C.14D.13

【解题方法总结】

在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义.求解最值问题

的过程中，如果发现动点P在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能迎刃

而解.

题型六：离心率的值及取值范围

方向1：利用双曲线定义去转换

例16.（2024•内蒙古赤峰•高三统考开学考试）已知玛，瑞分别为双曲线及

22

=-3=1（。>0,6>0）的左、右焦点，过原点。的直线/与£交于A,B两点（点A在第

ab

一象限），延长A工交片于点C,若怛闾=|AC|,NRBF2=g则双曲线片的离心率为

（）

A.6B.2C.75D.近

例17.（2024•陕西西安•高三校联考开学考试）己知耳，F?分别为双曲线

E:二-2=1（。>0,6>0）的左、右焦点，过原点。的直线/与E交于A,3两点（点A在

ab

第一象限），延长AK交E于点C,若忸国=|AC|,/62工=；,则双曲线E的离心率为

（）

A.73B.2C.6D.1

例18.（2024•江西南昌•南昌市八一中学校考三模）已知双曲线

22

C:[-1=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为月，F2,若在C上存在点P（不是顶点）,

ab

使得NP8月=3/尸片/，则C的离心率的取值范围为（）

A.（V2,2）B.（右,+8）

C.（1,73]D.（1,V2]

变式31.（2024•陕西西安•西安市大明宫中学校考模拟预测）已知双曲线

22

C:2-》=l（a>0/>0）的左、右焦点分别为用工，。为坐标原点，过原点的直线/与C相交

于4,3两点，出q=2|A0,四边形时8月的面积等于02,则C的离心率等于（）

A.近B.73C.2D.75

变式32.（2024•重庆渝中•高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图，已知双曲线

22

。:3-}=1,>0,6>0）的左、右焦点分别是《，B，点尸在c上且位于第一象限，圆。1

与线段耳尸的延长线，线段PK以及X轴均相切，△尸片乙的内切圆为圆。2.若圆。|与圆。2

外切，且圆。I与圆。2的面积之比为4,则C的离心率为（）

方向2:建立关于4和C的一次或二次方程与不等式

变式33.（2024•四川成都•四川省成都列五中学校考三模）已知双曲线

C：E-1=l（a>08>0）的左、右焦点分别为用月，过点后的直线与双曲线在第二象限的交

ab

点为A,若（砾+啊豆1=0仍+利=|稻,则双曲线C的离心率是（）

A.&B.也+1C.V2+1D.正担

22

变式34.（2024•湖南•校联考模拟预测）如图，耳、鸟是双曲线

22

后:鼻-2=1（。>0,。>0）的左、右焦点，过片的直线交双曲线的左、右两支于A3两点,

ab

且忸片|=4|A周,|。回=八2+万,则双曲线C的离心率为（）

A/58D.孚

R.---

3

变式35.（2024•贵州毕节•校考模拟预测）已知产是双曲线C:二-今=1（°>0,10）的一

ab

个焦点，A为C的虚轴的一个端点，208=04（。为坐标原点），直线垂直于C的一

条渐近线，则C的离心率为（）

A.72+1B.C.^±1D.巫

242

22

变式36.（2024•陕西商洛•镇安中学校考模拟预测）已知双曲线C:==13>a>0）

ab

的左焦点为尸，右顶点为A,一条渐近线与圆4（%-。）2+丁=62在第一象限交于点加，

交y轴于点N,且/皿4=90。，则C的离心率为（）

A.^/3B.2

C.1+72D.2+72

变式37.（2024•福建福州•福州四中校考模拟预测）已知双曲线

22

C:之-2=l（a>0,b>0）,P为左焦点，A，&分别为左、左顶点，P为C右支上的点，且

ab

\OP\=\OF\（o为坐标原点）.若直线尸尸与以线段A4为直径的圆相交，则c的离心率的取

值范围为（）

A.（L@B.（"+8）C.（>/5,+oo）D.（1，百）

变式38.（2024•河南信阳•信阳高中校考模拟预测）已知双曲线

22

C:与-1=1（°>0,10）的上下焦点分别为月，工，点”在C的下支上，过点/作C的一

ab

条渐近线的垂线，垂足为D,若耳闾-四玛恒成立，则C的离心率的取值范围为

（）

A.卜,|）B.QC.（1,2）D.[|T

方向3：利用e=||,其中2c为焦距长，2°=|也卜阂

变式39.（2024•海南省直辖县级单位•统考模拟预测）已知可，工分别是双曲线

2

尤21

。：^-方v=1（4>0,6>0）的左、右焦点，斜率为g的直线/过耳，交c的右支于点B,交y

轴于点A,且/民则C的离心率为（）

A.还B.至C.V3D.75

33

r22

变式40.（2024•四川巴中•高三统考开学考试）已知双曲线C:1-2=l（a>0,“0）的

ab

3

左、右焦点分别为4,过及斜率为;的直线与c的右支交于点尸，若线段P片恰被y轴

平分，则c的离心率为（）

A.1B.型C.2D.3

23

22

变式41.（2024•浙江•校联考模拟预测）已知点尸是双曲线。号-}=1（°>0,。>0）右支上

一点，耳（-c,0）,8（c,0）分别是C的左、右焦点，若/耳尸耳的角平分线与直线x=a交于点

I，且S/=—s+s,则c的离心率为（）

Irry2〃IF1斤F2/产I/1P2F

A.2B.V2C.3D.G

变式42.（2024•北京•首都师范大学附属中学校考模拟预测）已知耳（—0），&（G。）分

22

别是双曲线C：，-斗=1（a>0，b>0）的两个焦点，尸为双曲线C上一点,

ab

TT

尸耳，尸工且NP8居=§,那么双曲线C的离心率为（）

A.1B.73C.2D.73+1

方向4：坐标法

22

变式43.（2024•上海嘉定•校考三模）已知双曲线「二-2=1（4>0/>0）的离心率为

ab

e,点8的坐标为（0力），若r上的任意一点P都满足1PBi乂，贝|（）

八，1+百n1+A/3

A.l<e<——B.e>——

22

P11+非