2025高考数学复习必刷题：圆锥曲线拓展题型一 （学生版）

第81讲圆锥曲线拓展题型一

必考题型全归纳

题型一：定比点差法

例1.已知椭圆C：W+《=1(a>6>0)的离心率为更，过右焦点/且斜率为左

a2b22

(々>0)的直线与C相交于A,B两点,若而=3而，求左

例2.已知《+其=1,过点P(0,3)的直线交椭圆于A,B(可以重合)，求啰取

94\PB\

值范围.

丫23

例3.已知椭圆L+匕=1的左右焦点分别为耳，F,A,B,P是椭圆上的三个动

622

点，且两=2不，恒=〃印若2=2,求〃的值.

变式1.设耳，工分别为椭圆］+V=1的左、右焦点，点A,B在椭圆上,若用=5印，

求点A的坐标

变式2.已知椭圆c：5+y2=i，设过点尸(2,2)的直线/与椭圆C交于A，3,点Q是

11?

线段至上的点，且网+国=两，求点Q的轨迹方程.

题型二：齐次化

例4.已知抛物线C:;/=4x,过点(4,0)的直线与抛物线C交于P,。两点，。为坐

标原点.证明：ZPOQ=9Q\

例5.如图，椭圆E:1+V=l,经过点”(1,1),且斜率为左的直线与椭圆E交于不

同的两点P,。(均异于点4(0,-1),证明：直线AP与A。的斜率之和为2.

例6.已知椭圆C:：+y2=1,设直线/不经过点写(0,1)且与C相交于A,B两点.若

直线2A与直线£8的斜率的和为-1,证明：直线/过定点.

r27

变式3.已知椭圆C：'+y2=i,P,。为上的两个不同的动点，kBPkBQ=-,

求证：直线。。过定点.

题型三：极点极线问题

22

例7.(2024・全国•高三专题练习)椭圆方程「邑+与=1(〃>“0),平面上有一点

ab

产(七,%).定义直线方程/:与+誓=1是椭圆「在点尸(七,%)处的极线.已知椭圆方程

ab

产+九1

43

⑴若尸(1,%)在椭圆C上，求椭圆C在点P处的极线方程；

(2)若P(%,%)在椭圆C上，证明：椭圆C在点尸处的极线就是过点尸的切线；

⑶若过点p(-4,0)分别作椭圆c的两条切线和一条割线，切点为X,r,割线交椭圆c于

M,N两点，过点N分别作椭圆C的两条切线，且相交于点Q.证明：Q,X,Y

三点共线.

例8.（2024・全国•高三专题练习）阅读材料：

（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G：Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0,则称点

P（%，%）和直线/：A?龙+仇、+。（％+%）+矶、+%）+/=。是圆锥曲线G的一对极点和

极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换以号替换x（另一变量y也是如此），

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即可得到点P（X°,%）对应的极线方程.特别地，对于椭圆5+多=1,与点P（x0,%）对应

ab

的极线方程为岑+岑=1;对于双曲线二一4=1,与点尸（马,%）对应的极线方程为

abbb

岑-萼=1；对于抛物线V=2px,与点P（%,%）对应的极线方程为%了=°优+力.即

对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.

（二）极点与极线的基本性质、定理

①当尸在圆锥曲线G上时，其极线/是曲线G在点尸处的切线；

②当尸在G外时，其极线/是曲线G从点尸所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦

所在直线）；

③当尸在G内时，其极线/是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹.

结合阅读材料回答下面的问题：

（1）已知椭圆C：：+/=1（。>>>0）经过点尸（4,0）,离心率是乎，求椭圆C的方程并写

出与点尸对应的极线方程；

（2）己知。是直线/：y=-gx+4上的一个动点，过点。向（1）中椭圆C引两条切线，切

点分别为M,N,是否存在定点T恒在直线上，若存在，当旃=而时，求直线

的方程；若不存在，请说明理由.

V2V2

例9.（2024秋・北京•高三中关村中学校考开学考试）已知椭圆M：=+与=1（。>6>0）

ab

过A(-2,0),B(0,1)两点.

（1）求椭圆M的离心率；

（2）设椭圆M的右顶点为C,点尸在椭圆〃上（尸不与椭圆M的顶点重合），直线A8与

直线CP交于点0,直线8尸交x轴于点S,求证：直线S。过定点.

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变式4.（2024・全国•高三专题练习）若双曲线V-产=9与椭圆c：、+==l（a>b>0）共

4

顶点，且它们的离心率之积为

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若椭圆C的左、右顶点分别为4，4,直线/与椭圆C交于尸、Q两点，设直线

4尸与4Q的斜率分别为%,k2,且勺-;&=0.试问，直线/是否过定点？若是，求出

定点的坐标；若不是，请说明理由.

变式5.（2024.全国•高三专题练习）己知椭圆氏士+工=1（°>6>0）的离心率为3,且

ab2

过点,半1A,8分别为椭圆E的左，右顶点，P为直线x=3上的动点（不在x轴上），

R4与椭圆E的另一交点为C,PB与椭圆E的另一交点为记直线R4与PB的斜率分别

为左］,k?.

（I）求椭圆E的方程;

k.

（ID求7k的值；

（III）证明：直线co过一个定点，并求出此定点的坐标.

题型四：蝴蝶问题

例10.（2003•全国•高考真题）如图，椭圆的长轴A4与x轴平行，短轴与层在y轴上，中

心为“(0")3>r>0).

⑴写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率;

（2）直线y=匕X交椭圆于两点C（x”M）,0（*2,%）（%＞。）；直线y=k2x交椭圆于两点

G«,为），”（为,/）（乂＞。）.求证：=

•A-iI人？4qI44

⑶对于（2）中的中的在C,D,G,H,设S交无轴于P点，G。交x轴于。点，求

证：10Pl=1。。1（证明过程不考虑S或GD垂直于x轴的情形）

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例11.⑵24•全国•高三专题练习）已知椭圆C京+力1«＞少＞°）,四点4（U）,

2(0,1)，P3,舄1，中恰有三点在椭圆C上.

（1）求椭圆c的方程;

（2）蝴蝶定理：如图1,A3为圆。的一条弦，”是A3的中点，过M作圆。的两条弦

CD,EF.若CF,即分别与直线A3交于点尸，Q,则=

图1图2

该结论可推广到椭圆.如图2所示，假定在椭圆C中，弦A3的中点M的坐标为且

两条弦CO,EF所在直线斜率存在，证明：MP=MQ.

例12.（2021・全国•高三专题练习）（蝴蝶定理）过圆A3弦的中点任意作两弦C。和

EF,CP与ED交弦A3于尸、。，求证：PM=QM.

变式6.（2024.全国.高三专题练习）蝴蝶定理因其美妙的构图，像是一只翩翩起舞的蝴

蝶，一代代数学名家蜂拥而证，正所谓花若芬芳蜂蝶自来.如图，已知圆M的方程为

x2+（y-b）2=r2,直线*=冲与圆M交于。（为％）,。（%,为），直线％=冲与圆M交于

E（W，%）,网程%）•原点。在圆〃内.

（2）设CP交x轴于点尸，匹交x轴于点Q.求证：\OP\=\OQ\.

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变式7.（2024.陕西西安.陕西师大附中校考模拟预测）已知椭圆C:a+方=1（。>8>0）的

左、右顶点分别为点A,B,且|AB|=4,椭圆C离心率为g.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过椭圆C的右焦点，且斜率不为0的直线/交椭圆C于M,N两点，直线AM,BN

的交于点Q,求证：点。在直线x=4上.

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变式8.（2024•全国•高三专题练习）已知椭圆C：冬+2=1（。>6>0）的左、右顶点分别为

ab

A,B,离心率为!■，点2„为椭圆上一点.

（1）求椭圆c的标准方程；

（2）如图，过点C（0,1）且斜率大于1的直线/与椭圆交于N两点，记直线AM的斜

率为后，直线的斜率为左2,若作=2依，求直线/斜率的值.

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变式9.（2021秋•广东深圳.高二校考期中）已知椭圆C：^+方=1（“>6>0）的右焦点是

F（273,0）,过点b的直线交椭圆C于A,B两点,若线段A8中点。的坐标为

61

177J

⑴求椭圆C的方程；

⑵已知尸（0,-匕）是椭圆。的下顶点，如果直线广质+1（厚0）交椭圆C于不同的两点

N,且M,N都在以尸为圆心的圆上，求女的值；

⑶过点。（段，。）作一条非水平直线交椭圆C于R、S两点，若A,8为椭圆的左右顶点，记

直线AR、8s的斜率分别为幻、k2,则口是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说

K2

明理由.

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变式10.（2024•全国•高三专题练习）如图，已知椭圆C:=+4=l（a>6>0）的离心率为

ab

I，A,3分别是椭圆C的左、右顶点，右焦点F,BE=1,过尸且斜率为依人>。）的直

线/与椭圆C相交于N两点,〃在x轴上方.

（1）求椭圆C的标准方程；

S3

（2）记△A™,△班N的面积分别为SI，S2,若U=求左的值；

（3）设线段MN的中点为。，直线OD与直线x=4相交于点E,记直线AM,BN,EE的斜

率分别为尤，k2,k3,求&勺）的值.

变式11.（2024秋.福建莆田.高二莆田华侨中学校考期末）已知点A（l,-三）在椭圆C