2025届昆明市某中学高二数学上学期10月考试卷（附答案解析）

2025届昆明市仁泽中学高二数学上学期10月考试卷

（考试时长：120分钟总分：150分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.设全集0=R,集合"=叫，集合5={x|-2<X<3},则图中阴影部分表示的集合为

（）

A.{x|x<3}B.{x|-3<x<l}C,{x|x<2}D.{x|-2<x<1}

2.已知复数2在复平面内对应的向量为反，。为坐标原点，则目为（）

3.一个椭圆的两个焦点分别是片（-3,0）,片（3,0）,椭圆上的点p到两焦点的距离之和等于8,则该椭

圆的标准方程为（）

22222222

Xx

AA.——+—y=i1B.——+—=1c.——+—y=A1D,土+匕=1

642816716943

4.已知直线6:x+2y+5=0与A：3x+ay+b=0平行，且（过点（一3,1）,则q=（）

b

A.-3B.3C.-2D.2

5.若圆。的圆心为（3,1）,且被y轴截得的弦长为8,则圆C的一般方程为（）

A,x2+y2-6x+2y-15=0B.%2+y2-6x+2y-7=0

炉+y2—6x—]5=0D.x2+y2-6x-2j-7=0

——■1—­

6.已知在四面体O—/BC中，a=0A，b=OB，c=OC>OM=-MA,N为8C的中点，若

3

MN=xa+yb+zc.^\x+y+z=（）

7.如图，在正方体48co—48013中，M,N分别为4G的中点，则直线A.M和BN夹角

8.已知点/(—1,3),直线/:(加+2)x—(加+l)y+2加—1=0,则A至U/的距离的最大值为()

A.273B.275C.276D.2a

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.直线x+(l+a)y=l—a(aeR),直线乙：J=下列命题正确的有()

A.eR,使得B,3aeR,使得乙上“

C.VaeR,丸与乙都相交D.3aeR,使得坐标原点到人的距离为2

10.已知荏=(—2,1,4),*=(4,2,0),方=(1,—2,1),而=(0,4,4),则下列说法正确的是()

A.Q是平面45C的一个法向量B.48,C,0四点共面

C.PQ//BCD.BC=453

2

11.已知圆0：/+「=4,点P（%,比）是圆。上的点，直线/：x—>+夜=0，贝U（）

A,直线/与圆。相交弦长

B.3T的最大值是百

4

C.圆。上恰有3个点到直线/的距离等于1

D.过点P向圆M:（x—3y+（y—4=1引切线，A为切点，则|上4|最小值为2行

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若点尸（加,〃）为直线x-2y-8=0上的动点，则J加2+（〃—1）2的最小值为.

13.已知直线/过点P0,2,1）和点0（2,2,0）,则点/（I,—1,—1）到直线/的距离为.

14.人脸识别在现今生活中应用非常广泛，主要是测量面部五官之间的距离，称为“曼哈顿距离”.其定义

如下：设/=（4必），S=（x2,y2）,则2两点间的曼哈顿距离“45）=|再一9|+|乂一%I•已知

〃=（1,2）,若点p满足d（M,P）=2,点N在圆。：/+/+6》+外=0上运动，则归叫的最大值

为

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知VABC的顶点坐标为/（—1,6）,5（—3,—1）,C（4,2）,

（、1）若点。是NC边上的中点，求直线5。的方程；

（2）求4B边上的高所在的直线方程.

16.如图，四棱锥P-48C。的底面是平行四边形，PD±ABCD,AD1BD,M是尸/的中点.

（1）证明：PC〃平面3。/；

（2）若PD=AD=BD,求直线45与平面RDM所成角的大小.

17.在长方体ABCD-Z/IGA中，4D=AA-

3

(1)证明：平面48。，面8G2；

⑵若AB=2AD,求二面角4—RD—2的余弦值.

18.已知圆C过两点火-1,1),5(1,3),且圆心C在直线x-2y+l=0上.

(1)求圆C的标准方程；

(2)设。(2,0),过点。作两条互相垂直的直线/和直线加，/交圆C于E、E两点，加交圆C于G、

〃两点，求|£尸|的最小值和四边形EGW面积的最大值.

19.已知两个定点4(0,4),5(0,1),动点p满足|上4|=2］四设动点尸的轨迹为曲线E,直线

I:y=kx-4.

(1)求曲线E的方程；

(2)若/与曲线E交于不同的C,。两点，且NCOQ=120°(。为坐标原点)，求直线/的斜率；

(3)若左=1,Q是直线/上的动点，过。作曲线E的两条切线。M、QN,切点为N,设点T在

圆/：(x—4)2+(y—3)2=1上，求点T到直线〃乂距离的最大值.

-2025学年上学期10月月考

高二数学试卷

(考试时长：120分钟总分：150分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.设全集U=集合力={.x.lVO},集合5={X12<X<3},则图中阴影部分表示的集合为

()

4

A.{x|x<3}B.{x|-3<x<l}C,{x|x<2}D.{x|-2<x<1）

【答案】D

【解析】

【分析】

由图可得阴影部分表示AcB，进而利用交集的定义求解即可

【详解】由题，/={x|x<l},由图，图中阴影部分表示ZcB,

所以=2<x<l},

故选:D

【点睛】本题考查集合的交集运算，考查利用韦恩图求集合

2.已知复数z在复平面内对应的向量为反，。为坐标原点，则目为（）

A.1B.V2C.V3D.2

【答案】B

【解析】

【分析】

由图，无=（1,1）,进而由复数的模的定义求解即可

【详解】由图，9=（i,i）,所以|z|=HF=J2,

故选:B

【点睛】本题考查复数的模,考查复数在复平面上的表示

3.一个椭圆的两个焦点分别是大（-3,0）,乙（3,0）,椭圆上的点尸到两焦点的距离之和等于8,则该椭

圆的标准方程为（）

22222222

xx

AA.——'+—V=IiBn.——'+V—i=ic.—+—y=iAD.—+—y=iA

642816716943

5

【答案】B

【解析】

【分析】利用椭圆的定义求解即可.

【详解】椭圆上的点尸到两焦点的距离之和等于8,故2。=8,。=4,

且£（—3,0）,故c=3廿=a1-c1=1,

22

所以椭圆的标准方程为±+t=1.

167

故选：B

4.已知直线4:x+2y+5=0与（：3x+即+6=0平行，且4过点（—3,1）,则一=（）

b

A.-3B,3C.-2D.2

【答案】D

【解析】

【分析】根据两直线平行的条件求出a=6,将（—3,1）代入直线42求出6=3即可.

【详解】因为直线4:x+2y+5=0与直线，2：3x+即+6=0平行，

所以lxa=2x3,解得a=6,

又直线4过（-3,1）,则—9+6+b=0,解得6=3,

a

经验证4与4不重合，所以1=2.

故选：D.

5.若圆C的圆心为（3,1）,且被了轴截得的弦长为8,则圆C的一般方程为（）

A.x2+y2-6x+2y-15=0B,x2+y2-6x+2y-7=0

C.x2+y2-6x-2y-15=0D,x2+v2-6x-2j-7=0

【答案】C

【解析】

【分析】运用弦长结合垂径定理求出圆的半径即可.

【详解】如图，过点C作CDU8于O,依题意，步必=g|4B|=4,因为。（3,1）,故|m=3,

6

从而，圆的半径为忸=百=5,故所求圆的方程为（x—3尸+3—1）2=25,

即x2-^-y2-6x-2y-15=0.

故选：C

6.已知在四面体。一/8C中，a^OA，b=OB<c^OC，OM=-MA,N为BC的中点，若

3

MN=xa+yb+zc.^\x+y+z=（）

o

M/\

13

A.-B.-D.3

342

【答案】B

【解析】

【分析】根据空间向量的基本定理与应用即可求解.

——•1—­

【详解】因为（W=—K4,N为8c的中点，

3

所以而=函—而（砺+玩）—工况=—匕+5+匕，

2、>4422

p—•---⑴111

XMN=xa+yb+zc贝”=-“y=—,z=—,

…1113

所以x+y+z=——+—+—=—.

4224

故选：B.

7.如图，在正方体48C。—4名。01中，M,N分别为DB,4G的中点，则直线4M和5N夹角

的余弦值为（）

7

12

B.——D.

333

【答案】c

【解析】

【分析】由正方体结构特征证得&M//NC,化为求直线NC和8N夹角余弦值，应用余弦定理求结果.

【详解】连接ZC,CN,由正方体的性质，知M也是ZC的中点，且4G//ZC，即&N//CW,

又AN=CM=；AC,故为平行四边形，则411//NC,

所以直线4M和BN夹角，即为直线NC和8N夹角，

若正方体棱长为2,则NC=BN=巫,BC=2,

所以cosZBNC=NU+BN--BU__J_=2,即直线A.M和BN夹角余弦值为工.

2NC-BN2x633

8.已知点/(—1,3),直线/:(加+2)x—(加+1)7+2加—1=0,则A至U/的距离的最大值为()

A.2GB.2V5C.276D.2a

【答案】B

【解析】

【分析】先确定直线过定点3(3,5),由45JJ时点线距离最大，再应用两点距离公式求最大值.

【详解】直线/：(m+2)x-(m+l)y+2m-1=0可化为/:m(x-y+2)+2x-y-l=0,

x-y+2=0x=3

联立「，即直线/过定点5(3,5),

2x—y—\=0卜=5

8

要使A至I/的距离的最大，只需ABJJ,即距离最大值为|48|=

故选：B

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.直线x+(l+a)j=l-a(aeR),直线4：y=~—x.下列命题正确的有()

A.eR,使得/J/4B.三。eR,使得4_LL

C.VaeR,丸与(都相交D.3aeR,使得坐标原点到乙的距离为2

【答案】BD

【解析】

【分析】由斜率相等计算判断AC；由斜率互为负倒数计算判断B；由点到直线距离公式列式计算判断

D.

【详解】对于A,当———=即。=1时，直线］：x+2y=0与4重合，A错误；

1+Q2

13

对于B,由------=2,即。=——时，4与4斜率互为负倒数，I』，B正确；

1+。2

对于C,由选项A知，当4=1时，/］与，2重合，C错误；

11—aI_。

对于D'由Ji+a+Q12,得3“2+10"+7=0'A=102-4X3X7>0.此方程有解'D正确.

故选：BD

10.已知方=(—2,1,4),就二(4,2,0),万=(1,—2,1),而二(0,4,4),则下列说法正确的是()

A.万是平面48。的一个法向量B.4民G。四点共面

c.PQ//BCD.BC=453

【答案】AD

【解析】

【分析】根据向量垂直，即可结合法向量定义求解A,根据共面定理即可求解B,根据向量共线即可求

解C,由模长公式即可求解D.

【详解】LP2B=(—2)xl+lx(—2)+4xl=0,/PZC=lx4+(—2)x2+lx0=0,

9

所以4Pl平面48C,所以方是平面48C的一个法向量，故A正确；

—2=4%

设方=2就+〃而，则1=22+4〃，无解，所以4民。,。四点不共面，故B错误；

4=4〃

1A&

P2=^2-ZP=(-l,6,3),5C=^C-Z8=(6,l,-4),—>所以而与瑟不平行，故C错

一一61-4

误；

|BC|=^/62+12+(-4)2=V53.故D正确；

故选：AD.

11.已知圆。：/+「=4,点P(%,%)是圆。上的点，直线/：》—>+夜=0，贝U()

A,直线/与圆。相交弦长

y

B.」n5r的最大值是百

C.圆。上恰有3个点到直线/的距离等于1

D.过点P向圆M:(x—3y+(y—4)2=1引切线，A为切点，则|力|最小值为2亚

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据点到直线的距离判断弦长及圆上的点到直线的距离，根据7丁的几何意义可得最值，再

根据切线长的计算公式可得最值.

如图所示，

由已知圆=4,则圆心。(0,0),半径尸=2,

10

I0-0+V2I

A选项：圆心。到直线/：x-y+6~=0的距离第=丁2，=1，

则弦长为2，/一22=2j22_F=26,A选项正确；

B选项：可表示点「（%，%）与点N（4,0）连线的斜率,

%—4

易知当直线7W与圆0:/+/=4相切时，斜率取得最值,

设斜率』=左，则直线PN:y=Mx—4）,即Ax—y—4左二0,

%—4

所以言其最大值为印

错误;

C选项：d+〃=3,d—r=l,所以圆。上恰有3个点到直线/的距离等于1,正确;

D选项：由圆M+（y-4y=1可知圆心M（3,4）,半径力=1,

由切线长可知\PA\=JPA/『—片=yj\PMf-l，

所以当1PMi取得最小值时，|R4|取最小值，

又\PM\>\OM\-r=^（3-0）2+（4-0）2-2=3，即1PM的最小值为3,

所以归闻的最小值为2亚，D选项正确；

故选：ACD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若点尸（加,〃）为直线x-2y-8=0上的动点，则J加2+（〃_i）2的最小值为

【答案】2遥

【解析】

【分析】由J加2—=J（加—O<+（“—1）2可看成点尸（加,〃）与定点/（0/）的距离,结合点到直

线的距离公式，即可求解.

11

【详解】由］/+(〃-1)2=J(加—0)2+(〃—I］可看成点P(私〃)与定点2(0,1)的距离，

因为点尸(加,〃)为直线x—2y—8=0上的动点，

|-2xl-8|r

则点4(0,1)到直线x-2v-8=0的距离为d=\=2J5,

VI+(-2)2

所以J加2+(“_。2的最小值为2TL

故答案为：2#).

13.已知直线/过点P0,2,1)和点。(2,2,0),则点/。，―L—1)到直线/的距离为.

【答案】VTT

【解析】

【分析】取直线/的一个单位方向向量为玩=焉，由点到直线的距离公式为J秒2_(莎应)2,代入运

算，即可得解.

【详解】由题意知，直线/的一个方向向量为画=(1,0,-1),

取直线/的一个单位方向向量为应=(噂,。,一率，

II22

又/。，―1,—1)为直线外一点，且直线/过点尸(1,2,1),

PA=(0,-3,-2),

9•龙=(0,-3,-2).(年,0,-］)=五，|AP|=V13,

点A到直线I的距离为yjpA2-(PA-m)2=V13-2="f.

故答案为：Vn.

14.人脸识别在现今生活中应用非常广泛，主要是测量面部五官之间的距离，称为“曼哈顿距离”.其定义

如下：设幺=($,%),B=(x2,y2),则/,2两点间的曼哈顿距离“45)=|石一%|+|乂一%|.已知

〃=(1,2),若点p满足d(M,P)=2,点N在圆。：/+/+6》+4歹=0上运动，则|尸N|的最大值

为

【答案】3岳

12

【解析】

【分析】根据题意，作出点尸的轨迹，将问题转化为点到圆的距离问题，从而得解.

【详解】由题意得，圆C:(x+3)2+(y+2)2=13,圆心。(—3,—2),半径井=而，

设点P(x(),yo),则卜—=2,

故点尸的轨迹为如下所示的正方形，其中4(1,4),5(3,2),

则=[(1+3)2+(4+2)2=2屈,|5C|=J(3+3)2+(2+2)2=2岳,

则|PN|<\AC\+r=2+713=3而，即|P7V|的最大值为3岳.

故答案为：3岳.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知VABC的顶点坐标为/(—1,6),B(—3,—1),C(4,2).

(1)若点。是ZC边上的中点，求直线的方程；

(2)求4B边上的高所在的直线方程.

【答案】(1)10x-9j+21=0(2)2x+7y-22=0

【解析】

【分析】(1)由中点坐标公式得到。，再由两点求出斜率，最后有点斜式方程求出即可;

(2)由两直线垂直求出48边上的高所在的直线的斜率为-2,再由点斜式得到直线方程即可；

7

【小问1详解】

因为点。是ZC边上的中点，则

_-1-4_10

所以右。=二~^=5，

—3-----

2

13

所以直线8。的方程为y+l=£（x+3）,

即10x-9y+21=0；

【小问2详解】

因为鼬=—~-=->

妣-3+12

所以AB边上的高所在的直线的斜率为-2,

7

2

所以48边上的高所在的直线方程为y—2=—,（x—4）,即2x+7y—22=0.

16.如图，四棱锥P—Z8C。的底面是平行四边形，PDL^ABCD,AD1BD,M是尸”的中点.

（1）证明：PC〃平面8。/；

（2）若PD=AD=BD,求直线45与平面RDM所成角的大小.

【答案】（1）证明见解析；

（2）30°.

【解析】

【分析】（1）证明MO〃PC,原题即得证；

（2）证明N48M就是直线45与平面AD河所成的角，再解三角形得解.

【小问1详解】

证明：连接ZC交AD于点。，连接M9.

因为ZM=M;ZO=OC,所以MO〃PC.

又M9u平面ADM,PC<Z平面ADM,

所以PC〃平面8。/.

14

p

【小问2详解】

解：设PD=AD=BD=1,

因为尸£（，平面48C£）,所以PDLBD,;.PB=e.

因为4DJ,8。，所以AB=6.

因为.

^2

^的PD=AD,AM=PM,:.AM=W，AMLDM,

又AMCBMu平面BDM,

所以ZM,平面RDM,

所以NABM就是直线AB与平面BDM所成的角，

41

由题得sinNABM=^=~,ZABM=30°

V22

所以直线48与平面8。河所成的角为30°.

17.在长方体ABCD-48012中，AD=AAX.

(1)证明：平面48。，面BCQi；

(2)若AB=2AD,求二面角4—RD—A的余弦值.

15

【答案】（1）见解析；（2）

3

【解析】

【分析】（1）通过证明来证明4。，平面8GA，进而证明平面48。，面

BCR；

（2）建立空间直角坐标系，求出面BOA和面48。的法向量，通过求法向量的夹角来得到二面角

4一8。—。的余弦值.

【详解】（1）证明：因为2。=力4,所以四边形力4。。是正方形，所以

又四边形48GA是平行四边形，所以ZA//8G，所以4DL8G，

因为长方体ABCD-4名。］。1中，G。，平面AA.D.D,所以，G2，

又5GnG°i=G，BCpCQ1U平面BCQi，所以4。，平面8CQ1，

而4。u平面43。，所以平面48。，平面8GA.

（2）建立如图所示的空间直角坐标系。-孙z,

设40=/4=1，则43=2,4(1，0,1)，5(1,2,0),£>(0,0,0),(0,0,1),

设平面8DA的一个法向量为］=（X］,%,zJ,

DDX=(0,0,1),D5=(1,2,0),

n-DD,-0马=0一

则}'n°八，取%=—1,所以〃1=2,—1,0,

n{•DB-0%+2y1=0

设平面48。的一个法向量为1=（々,％/2），的=（1,0,1）,丽=（1,2,0）,

n•DA,=0X,+z,—0—►,、

—?_'；八，取％=7,所以〃2=2,—1,—2,

n2-DB=0I+2%=0

F，又二面角4—8。—。是锐角,

故cos(〃i，〃2

所以，二面角4—AD—的余弦值为走

3

16

【点睛】本题考查面面垂直的证明，以及利用空间向量求面面角，考查计算能力与空间想象能力，是中

档题.

18.已知圆C过两点火-1,1),5(1,3),且圆心C在直线x-2y+l=0上.

(1)求圆C的标准方程;

(2)设。(2,0),过点。作两条互相垂直的直线/和直线加，/交圆。于E、E两点，加交圆。于G、

H两点，求|£目的最小值和四边形EGW面积的最大值.

【答案】⑴(X-1)2+(V-1)2=4

⑵206

【解析】

【分析】(1)设。伍,雷)，表示出圆。的标准方程，利用待定系数法计算即可求解；

(2)当直线/J.CD时|跖|最小，利用几何法求弦长即可；如图，先证|瓦f+|GHf=24,结合基本

不等式计算即可求解.

【小问1详解】

由题意知，设C(0,*),则圆。的标准方程为。-°)2+3-守2=/2,

又圆C过点4-1,1),8(1,3),

(—j)+(1---)=r[«=1

所以〈f，解得1C，

'2。+1、22\r=2

(1-。)+(3---)=rI

故圆C的标准方程为(X-I)2+(y—1)2=4；

【小问2详解】

由⑴知C(l,l)/=2,连接CD,则|田=J(l_2)2+(l_0)2=日

17

当直线/CD时，附|最小，此时\EF\=2\DE\=_卬2=272，

所以|明的最小值为2亚；

如图，

取弦长的中点M,N,连接CN,CN,C。，CG,CE,

则四边形CMDN为矩形，|CM，|CN「=|。>『=2,

\EFf+\GHf=(2|EN|)2+(2\3M|)2=4(归Nf+pMj)

=4(r2-|CA^|2+r2-\CMf)=4[2r2-(|CA^f+f)]=4(2r2-2)=24,

又忸歼+|G〃f22忸刊G*,所以241|£F||GH|，忸刊GH|<12,