2025高考数学一轮知识清单：函数奇偶性、单调性、周期性、对称性归类（原卷版）

专题04函数奇偶性'单调性'周期性'对称性归类

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石录

题型一：奇偶性基础..............................................................................1

题型二：单调性基础..............................................................................3

题型三：周期性基础..............................................................................4

题型四：中心与轴对称应用：左右平移..............................................................5

题型五：中心与轴对称应用：伸缩变换型............................................................6

题型六：中心与轴对称应用：轴对称型..............................................................6

题型七：中心与轴对称应用：斜直线对称............................................................7

题型八：中心与轴对称应用：中心对称..............................................................8

题型九：中心与轴应用：类比“正余弦”求和........................................................9

题型十：中心与轴应用：“隐对称点”.............................................................10

题型十一：双函数型中心、轴互相“传递”.........................................................10

题型十二：函数型不等式：“优函数”型...........................................................11

题型十三：类周期型函数.........................................................................12

题型十四：“放大镜”函数类周期性质.............................................................13

^突围・错;住蝗分

题型二厂^偶性基础

指I点I迷I津

判定函数的奇偶性的常见方法：

(1)定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称，再化简解析式验证

/(f)=±〃力货等价形式±“X)=0是否成立；

(2)图象法：若函数的图象关于原点对称，可得函数为奇函数；若函数的图象关于y轴对称，可得函数为

偶函数；

(3)性质法：设了(力心(”的定义域分别为外2,那么它们的公共定义域上.常见的函数奇偶性经验结论

(在定义域内):

1.加减型：

奇+奇一＞奇

偶+偶一＞偶

奇-奇—奇

偶-偶一偶

奇+偶-＞非

奇-偶一非

2.乘除型(乘除经验结论一致)

奇X+奇一＞偶

偶X+偶T偶

奇X+偶T奇

奇X+偶X+奇一＞=偶

简单记为：乘除偶函数不改变奇偶性，奇函数改变

3.上下平移型：

奇+c—＞非

偶+c—＞偶

4.复合函数：

若为奇函数，g(x)为奇函数，则/这⑼为奇函数

若f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则〃g(x)］为偶函数

1.(2023・全国•高三专题练习)若〃x),g(x),力(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数、偶函数，则下

列函数不是偶函数的是()

A.y=f(g(x))h(x)B.y=f(g(x))+h(x)

C.y=f(h(x))g(x)D.y=〃x)|g(x)|/7(x)

2.(2023•全国•高三专题练习)函数/(x)的定义域为R,y=/(x)+2e，是偶函数，y=/(x)_3e*是奇函数，贝”(无)

的最小值为()

A.eB.75C.20D.2A/5

3.(2023春•湖北武汉•高三武汉市开发区一中校考阶段练习)已知〃x),g(x)是定义域为R的函数，且/'(X)

：2+X+2,若对任意的1＜占＜尤z＜2,都有ga)-g')＞-3

是奇函数，g(无)是偶函数，满足〃x)+g(尤)=忒

再-x2

成立，则实数。的取值范围是()

-CO,一；U[0,+co)3

A.B.——,+oo

4

一1,+oo)

C.D.-川

2'一旦

4.（2023•吉林延边♦高三延边二中校考开学考试）函数〃x)=R的奇函数，是常数.不等式

/（h3*）+/（3<9=2）<0对任意xeR恒成立,求实数上的取值范围为

A.左<20-1B.-2血-1（左<2&-1

C.k<-\D.-1<^<2A/2-1

5.（2023秋•山西•高三校联考期中）已知函数/（*）=（尤+"-2乂为奇函数，则的值是（）

A.0B.-12C.12D.10

6.（2024年高考天津卷）下列函数是偶函数的是（)

2

ex-x2cosx+xsinx+4x

A.B.yC.y=■D.y=---n----

x2+lx+1,即

题型二:单调性基础

指I点I迷I津

单调性的运算关系：

①一般认为，一七）和六均与函数的单调性相反；

J\x）

②同区间，T+T=J_，1+[=」_,LE_,J—T=J_；

单调性的定义的骞杯形式：馁尤1，x2^[a,b],丽么有:

增函数；

X1~X2

2旦减函数

X\—X2

（3）复合函数单调性结论:同增异减.

1.（21-22高三•全国•课后作业）如果函数/（x）在[o,句上是增函数，那么对于任意的M,X20。,b]（xi^x2）,

下列结论中不正确的是（）

〃%)一/伍)>0

A.

B.(X1—X2)\f(Xl)—f(X2)]>0

C.若M<X2,则/(a)</(x])</(X2)</(b)

再-x2

D.尤2)>°

2.（23-24高三•福建厦门•模拟）已知定义在R上的奇函数/（尤）满足①/（2）=0；②％,々£（。，+°°），且不。马，

尤2）一%了（网）>0,则

的解集为（）

x2一芯X

A.(-S,-2)U(2,+8)B.(-2,0)U(0,2)

C.(-s,-2)U(0,2)D.(一2,0九(2收)

3.（22-23高一上•重庆沙坪坝•期末）已知y=〃x+l）为偶函数，若对任意。/e[l,+s）,（awb）,总有

力•。）+妙5）<4（。）+"仅）成立，则不等式〃2X）<〃4）的解集为（）

B.(-2,2)

]_2

D.

4.(22-23高三・浙江・模拟)设/(丈)，g(x)都是。上的单调函数，有如下四个命题，正确的是()

①若单调递增，g(x)单调递增，则/(x)-g。)单调递增；

②若/⑺单调递增，g(x)单调递减，则/。)-g(x)单调递增；

③若Ax)单调递减，g(x)单调递增，则Ax)-g(x)单调递减；

④若了。)单调递减，g(x)单调递减，则/(x)-g(x)单调递减.

A.①③B.①④C.②③D.②④

5.(23-24高三・河北邢台•阶段练习)已知定义在(0,+动上的函数〃尤)满足〃2)=4,对任意的不，2«0,小),

且玉片马，玉*2[/(%)+"X2)]<*：/(*2)+石〃王)恒成立，则不等式〃尤一3)>2x—6的解集为()

A.(3,7)B.(9,5)C.(5,+00)D.(3,5)

题型三：周期性基础

指I点I迷I津

周期性

①若加+a)=/(x—力可㈤周期为T=a+b.

②常见的周期函数有：

/x+a)=—/x)或/x+a)=f,丁，或/x+a)=一,那么函数/(x)是周期函数，其中一个周期均为T=2a

1.(22-23高三•重庆沙坪坝•模拟)函数“X)的定义域为R,且/="0)20.若对任意实数x,V都

有/(x)+/(y)=2/(宁则“2020)=()

A.0B.-1

C.0D.1

2.(2023高三•全国•专题练习)定义在R上的非常数函数满足：/'(10+x)为偶函数，且“5'(5+x),则

/(x)一定是()

A.是偶函数，也是周期函数

B.是偶函数，但不是周期函数

C.是奇函数，也是周期函数

D.是奇函数，但不是周期函数

3.(23-24高三•湖南衡阳•阶段练习)已知函数/(x)满足/■⑴=1,对任意实数x,y都有

2023

成立，则2〃冽)=()

m=\

A.-2B.-1C.2D.1

1+小-2)

4.(22-23高三安徽•阶段练习)己知〃x)是定义在R上的函数，〃x)=且〃2)=2+6，则

1-小-2)

“2022)=()

A.2-上B.73-2C.2+A/3D.-2—\]3

5.(21-22高三・贵州六盘水・)函数〃”的定义域为尺，若/(x+2)=霁[且/(5)=-2,则”1103)=()

A.2B.-2C.-3D.3

题型四：中心与轴对称应用：左右平移

指I点I迷I津

图形变换时，对称轴和堆成中心也跟着平移

(1)平移变换：上加下减，左加右减

(2)对称变换

关于无轴对称

①y=/U)，=一版);

关于y轴对称

②y=f(x)fy=«—x)；

关于原点对称

③尸危)

关于y=%对称

@y=ax(〃>0且中1)y=logR〃>0且存1).

保留%轴上方图象

@y=Ax)将%轴下方图象翻折上去-y=l心)I.

自&、保留y轴右边图象，并作其

⑥,寸%)一百许丽丁)川工

1.(2023・四川南充・闿中中学校考模拟预测)设函数无)的定义域为R,7(犬+1)-3为奇函数，/(x+2)为

2023

偶函数，当日《1,2]时,f(x)=ax、b,若+则广)

2

37112

A.B.C.D.

12123

2..(2023・全国•高三专题练习)已知〃无)-1为R上的奇函数，/(X+2)为R上的偶函数，且当XE[0,2]时,

2

/(x)=x+l,若〃=/("),&=f(log2ll),c=/(2"),则〃，4c的大小关系为()

A.b>c>aB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c

3

3.(2023•贵州毕节,统考模拟预测)已知函数/(x)的定义域为R,/(x+3)为偶函数，/仃了+彳)为奇函数,

贝U()

A./(-|)=0B./(-1)=0C./(3)=0D./(6)=。

4.(2023・陕西・统考二模)已知Ax)是定义在R上的奇函数，若/[x+j为偶函数且〃1)=3,则”2022)+

7(2023)=()

A.3B.-5C.-3D.6

5.（2022秋•河南•高三校联考阶段练习）已知函数〃x）的定义域为R,若〃1-力为奇函数，〃％-1）为偶

函数.设〃-2）=1,贝ljf（2）=（）

A.-1B.0C.1D.2

题型五：中心与轴对称应用：伸缩变换型

指I点I迷I津

带系数：系数不为1,类比正弦余弦的带系数形式，提系数平移

平移变换：左右或者上下

/■（0x+e）n/（0（x+a）+o）左加右减

1.（2023•宁夏吴忠・统考模拟预测）已知f（x）是定义域为R的函数，f（x-2）为奇函数，/（2x-l）为偶函数，

则有①“力为奇函数，②关于产-1对称，③关于点（-L0）对称，④〃-2）=0,则上述推断

正确的是（）

A.②③B.①④C.②③④D.①②④

2.（2022秋•河北•高三校联考阶段练习）设函数/（X）的定义域为R,且+2）是奇函数，/（3x+l）是偶

函数，则一定有（）

A./（4）=0B."-1）=0

C."3）=0D."5）=0

3.（2023春四川泸州•高三四川省泸县第一中学校考阶段练习）已知定义域为R的函数满足/'（3x+l）是

奇函数，了（2彳-1）是偶函数，则下列结论错误的是（）

A./（尤）的图象关于直线云=-1对称B."尤）的图象关于点（L0）对称

C.，（-3）=1D./⑺的一个周期为8

4.（2023秋•湖北恩施•高三校联考模拟）已知函数〃尤）及其导函数尸（%）的定义域都为R,且“3-2力为偶

函数，/（x+2）为奇函数，则下列说法正确的是（）

A.f[|]=0B./■'（2）=0

C./（2023）+/（2022）=0D./（2023）+/（2022）=0

5.（2022秋•湖北襄阳•高三襄阳五中校考阶段练习）已知及其导函数r（力的定义域均为R,若“1-2力

8

为奇函数，〃2x—1）为偶函数.设了'（0）=1,则工（（2左）=（）

k=\

A.-1B.0C.1D.2

题型六：中心与轴对称应用：轴对称型

指I点I迷I津

和定为轴

1、f(a+x)=f(a-x)，则对称轴x二a

2、f(a+x)=f(b-x)，则对称轴x二竺^

2

3、f(x)=f(2a-x),则对称轴x二a

Y—2

1.(2023上•山东济宁•高三统考期中)已知函数/尤)=(x+“)log,^—关于直线x=b对称，则2。+2"=_____

4-x

2.(2023上•福建龙岩•高三上杭一中校考阶段练习)已知定义在R上的函数y=满足f(2+x)=f(2-x),

若方程/(x)=0有且仅有三个根，且x=0为其一个根，则其它两根为.

3.(2023下•黑龙江七台河•高二勃利县高级中学校考期中)己知函数Ax)满足/(尤)=/(兀-彳)，且当

时，f(x)=x+sinx,设。=/⑴力=/(2),c=/(3),则a,0,c的大小关系是.

4.(广东省七校联合体2020-2021学年高二下学期2月联考数学试题)若函数=Y-。同+华+。有且

只有一个零点，又点P(3a,l)在动直线〃口-1)+7今-1)=0上的投影为点M,若点N(3,3),那么|跖V|的最小

值为.

5(四川省成都外国语学校、成都实验外国语学校联合考试2021届高三第一学期11月月考).已知

/(x)=£±£l+cosx(xeK),Vxe[l,4],f(mr-lnx-2)„2f(2)-f(2+lnx-mr),则实数m的取值范围

是(J

1〃21+1几2]「11ln2~|「1〃21ln2"l「Il+ln2

A.—,---B.-,l+—C.+—D.---

题型七：中心与轴对称应用：斜直线对称

指I点I迷I津

轴变换，又叫直线镜面变换：

X—>V

y=f(*)=丫=*对称=<

'"yfx

-引申：y=x+b(必须斜率是k=l,就是直线反解)对称nJ-泗

yfx+b

1.(2023上•辽宁大连•高三大连八中校考阶段练习)已知函数y=/(x)的图像与函数g(x)=(；)'的图像关于

直线y=X对称，则函数y=/（2x-/）的单调递增区间是.

2.（2023•高三单元测试）函数y=/（x）与y=g（x）的图象关于直线y=X对称,/⑺=，-2x+2（xV0）,则

g（5）=--------

3.（2022下•辽宁•高二瓦房店市高级中学校联考模拟）已知函数/（3x+l）是定义在R上的奇函数，函数

的图象与函数g（x）的图象关于直线丁=尤对称，则g（"+g（-x）=.

4.（2023上•上海闵行•高三校联考期中）设曲线C与函数f（x）=哼/①<xv力的图像关于直线y=对称,

设曲线C仍然是某函数的图像，则实数f的取值范围是.

5.（2022•湖南永州•统考三模）已知直线/：y=3x+2,函数〃x）=lnx-flx+；,若，（无）存在切线与/关于直线

y=x对称，则。=.

题型八：中心与轴对称应用：中心对称

"旨I点I迷I津

中心对称：

（1）若函数”无）满足了（a+x）+/（o—x）=2〃，则〃尤）的一个对称中心为

（2）若函数/（x）满足/（2a-x）+y（x）=2Z7,则/（x）的一个对称中心为

（3）若函数/（x）满足〃2a+x）+〃r）=2b,则〃x）的一个对称中心为（〃力）.

i函数变换，又叫原点变换：

y=f（X）=>原点对称=<Xf*

;引申：关于点（a,b）对称，贝2-x

y2b-y

；海元智,荻三一百一2022-2商”孽一岸'（三'4-殍羸三茨丽富豪厚一泼版丁巨瓦T函数

/（X）=ln（Vx2+l—尤）+3-3,，不等式/W?+4）+f（x2+5）„0对xeR恒成立，则«的取值范围为（）

A.[-2,+oo）B.（-co,-2]C.-p+oo^D.

2.（四川省达州市大竹县大竹中学2020-2021学年高一下学期5月月考数学试题）已知函数

/（无）=log2（"77+小一^7+2,xeR,若三公0,g使关于。的不等式

/（2sine-cos6）+/（4-2sine-2cos6-M）<2成立，则实数加的范围为.

0帖ax1+a+]n(y/x2+l+x]什\息一法斗，息i后.浦卜＜1入了新加估

3.函数"x)=______\/14,右/(%)最大值为M,最小值为N,^e[l,3],则M+N的取值

X?+1a

范围是.

4.(广东省深圳市人大附中学深圳学校2022-2023学年高三数学试题)已知函数/(%)(%£&满足

r।1io

/(-x)=2-/(x),若函数j=--与y=/(无)图像的交点为(和%),(々,％),…,则2(玉+-%)=

Xi=\

5.(江苏省南京师范大学附属中学2022-2023学年高三模拟检测2数学试题)已知函数/(x)=f—言+i,若

存在me(l,4)使得不等式/(4-“a)+/(加+3时＞2成立，则实数”的取值范围是.

题型九：中心与轴应用：类比“正余弦”求和

指I点I迷I津

类比正弦：

①两中心(a,o)，3,o),g=k-6|

③一个中心(”,0),一■条轴x=6,1=,-4

1.(2022•广东惠州•模拟)已知〃x)是定义在R上的奇函数，且小-力寸荷，若/⑴=3,则/(1)+/(2)+

/(3)+...+/(2018)=()

A.-3B.0C.3D.2018

2.(2022•广西南宁•一模)定义在R上的偶函数/(x)满足：对任意的实数x都有=/(x+1),且/(-I)=2,

f(2)=-l.则/⑴+/(2)+/(3)+…+”2017)的值为()

A.2017B.1010C.1008D.2

3.(2023•山东•一模)己知了(无)是定义在R上的奇函数，且/(尤+D为偶函数，若/(-I)=2,则

/(l)+/(2)+/(3)+L+/(2019)=()

A.4B.2C.0D.-2

4.(22-23高三上•湖南永州•阶段练习)己知定义在R上的奇函数满足/(尤+D+A3-尤)=0,若/⑴=2,

则/(1)+/(2)+/(3)+L+/(2019)=()

A.-2B.0C.2D.2020

5.(2023・广东梅州•三模)已知函数〃尤)是定义在R上的奇函数，为偶函数，且〃-1)=1,贝I]

小。)|+|〃-9)|+…+|〃0)|+|〃1)|+…+|〃9)|+|〃10)卜()

A.10B.20C.15D.5

题型十：中心与轴应用：“隐对称点”

指I点I迷I津

两图象上有对称点转化为方程有根的问题求解，然后再根据两函数的特征选择用导数的几何意义求解,

具有综合性，难度较大.

1.（21-22高三•云南红河•模拟）对于函数y=〃尤），若存在%,使得/（%）=--（-%），则称点（%,/（%））与

f尤22xX<0

点（_%"（_尤。））是函数y=F（x）的一对"隐对称点"，若函数〃无）='c,存在"隐对称点"，则实数

[mx+2,x>0

机的取值范围是（）

A.12-2A/^,0）B.（-co,2-C.oo,2+2A/2JD.值,2+2行]

2.（2022广西柳州•一模）已知函数〃x）=lnx+/与8（力=*_"的图像上存在关于了轴对称的对称点，则

实数。的取值范围是（）

A.a<—B.a>—C.a<eD.a>e

3.（2022辽宁沈阳•模拟预测）函数/（x）=S与g（x）=f-l的图象上存在关于x轴的对称点，则实数。的取

值范围为（）（。为自然对数的底）

A.a<0B.a<1C.a<\D.c?>1

4.（2023•河北衡水•一模）若函数y=/（x）图象上存在两个点A,B关于原点对称，则对称点（4为为函数

y=/（x）的"挛生点对"，且点（AB）对（8,A）与可看作同一个“挛生点对”.若函数

[2,x<0一

/（x）=3cc、八恰好有两个"挛生点对"，则实数。的值为

[一+6x--9x+2-a,x>Q

A.0B.2C.4D.6

5.（22-23高三下•上海宝山•期中）若存在/wR与正数根，使尸Q-相）=尸《+附成立，则称"函数/（无）在x=r

处存在距离为2租的对称点”.设/（%）=二±4（x>0）,若对于任意此（后,6），总存在正数加，使得“函

X

数/（元）在x=/处存在距离为2%的对称点”，则实数彳的取值范围是…

A.（0,2]B.（1,2]C.[1,2]D.[1,4]

题型十一：双函数型中心'轴互相“传递”

指I点I迷I津

双函数性质：

1.双函数各自对应的对称中心和对称轴等性质

2.双函数之间存在着互相转化或者互相表示的函数等量关系

传遹中心，对称粘，与周期

若函数〃尤)关于x=。轴对称，关于(瓦0)中心对称,则函数的周期为4,一耳,

若函数/>(X)关于x=。轴对称，关于x=b轴对称，则函数/■(%)的周期为

若函数f(x)关于(。,0)中心对称，关于0,0)中心对称，则函数“X)的周期为21a-瓦

1.(22-23高三上•江西•阶段练习)已知函数/'(x),g(x)的定义域均为R,且满足

60

/'(x)-g(2-x)=4,g(x)+〃x-4)=6,g(3-x)+g(x+l)=0,贝0/(")=()

0=1

A.-3180B.795C.1590D.-1590

2.(23-24高三上•辽宁•阶段练习)已知函数/(力，g(x)的定义域均为R,>/(x)+g(2-x)=6,

18

g(x)-/(x-4)=4,若g(x)的图像关于x=2对称，g⑵=3,则£/亿)=()

k=\

A.14B.16C.18D.20

3.(2023•辽宁•模拟预测)已知函数〃x),g(x)的定义域均为R,〃x+l)是奇函数，且/(I-x)+g(x)=2,

/(x)+g(x-3)=2,则下列结论正确的是.(只填序号)

2020

①“X)为偶函数；②g(x)为奇函数；③X〃k)=40；④㈤=40.

k=lk=\

4.(2023•河南•模拟预测)已知"%)为定义在R上的奇函数，g(x)是3(%)的导函数,/(l)=h

g(2-x)+g(x)=0,则以下命题：①g(x)是偶函数；②g(l)=0;③"力的图象的一条对称轴是x=2；

2022

④£/(i)=l,其中正确的序号是.

Z=1

5.(2023・四川南充•二模)设定义在R上的函数和g(x).若〃尤)一g(4—龙)=2,g(x)=f(x-2)-2,且

〃x+2)为奇函数，®/(l)+/(2)+/(3)+-+/(2023)=.

题型十二：函数型不等式：“优函数”型

指I点I迷I津

有/(x+y)((或>)/(x)+/(y)或者y(x)〈(或/(x)+/(t),则称/⑶为优函数。

类似这类函数不等式，可以借助“类周期”思维进行放缩。

1.(2024年高考1卷)已知函数为f(X)的定义域为R,/(%)>+/(X—2),且当1<3时/(%)=X,

则下列结论中一定正确的是()

A./(10)>100B./(20)>1000

C./(10)<1000D./(20)<10000

2.(2021•四川德阳•一模)已知函数/(无:，若VxeR,fix2-3x\-f(.-x)+f(x-a)>f(x),则实

71+%

数。的取值范围是()

A.(l,+oo)B.(-l,+oo)C.(-oo,l)D.(-oo,-l)

3.(2020高三•全国・专题练习)已知〃尤)是定义在R上的函数，/(1)=1,且对任意xeR都有：

〃x+5)2〃x)+5与〃x+l)V〃x)+l成立，若g(x)=/(x)+l—x,则g(2017)=.

4.(22-23高二上•上海浦东新•开学考试)设f(x)是定义在Z上的函数，且对于任意的整数"，满足

/(n+4)-/(n)<2(n+l),/(»+12)-/(»)>6(n+5),/(-l)=-505,贝ij7仅期)的值为.________.

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5.(22-23高三•北京顺义•模拟)如果函数满足对任意s,法(0,一)，有〃s+r)</(s)+/⑺，则称/(无)

为优函数.给出下列四个结论：

①g(x)=ln(l+x)(x>0)为优函数；

②若为优函数，则/(2023)<2023八1)；

③若“X)为优函数，则在(0,y)上单调递增；

④若尸(无)=△。在(0,+8)上单调递减，则/(x)为优函数.

X

其中，所有正确结论的序号是.

题型十三：类周期型函数

/(x),|x|<8

(2023・上海,统考模拟预测)〃尤)在上非严格递增，满足〃x+l)=〃x)+l,g(x)=

1.R>8'

若存在符合上述要求的函数及实数%,满足g(%+4)=g(/)+l,则。的取值范围是

2.(2021下•天津武清•高二天津市武清区杨村第一中学校考期末)已知函数/(x)=Jl-ST/'O&xv?

〔/(x-2),x>2

若对于正数厩(〃eN*),直线y=%/与函数/(x)的图像恰好有2〃+1个不同的交点，则

女:+左;+•••+左;=.

3.己知f(x)=[(1)+a(X-0,且方程/(x)=x恰有两解.则实数a的取值范围是____

f(x-1),%>0,

,,、无。一1<无41,、

4.(2023上•四川资阳•高三统考模拟)已知函数/(尤)=｛，/।。，函数〃元)在x=x°处的切线为/,