2025届高三年级上册10月联考数学试题（含答案）

2025届高三上学期10月联考数学试题

一、单选题（本大题共8小题）

A2

={x|ln(x-l)>0}；集合8=!xlx-3x<0

1.已知集合，则=()

A.（°，2]B.[2,3)[2,+(»)

a(o,+8)D.

已知i为虚数单位，复数z满足|z+l|=|z+i|=0，贝〃z|的值为（

2.）

B.V2C,6■或2亚

A.1D.1或人

zf.V3、

已知向量7=（2，°）,b=F?=

3.\若向量B在向量G上的投影向量r°,则

)

Vio

A.V3B.方

C.4D.1

4.已知函数"X）满足/（x）=〃2-x）,且在区间”,+9）上单调递减.设0=/（-In1.1）,

6=/（2。）c=/（log25）；则（）

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>b>aD.b>a>c

5.已知圆锥的母线长为定值R,当圆锥的体积最大时，圆锥的底面半径为（)

V3

V69D.7

-----K-----K

A.3B.3C.

（x+l）/（x）＜0的解集为（

6.已知函数"X）的图象如图所示,则不等式)

(-8,7)52,+8)c.(-l,l)U(3,+s)

B.

|ju(2,+oo)

D.I2)

若正项等比数列也｝满足.必+|=22"（"€、），则数列｛为｝的前项的和S4的值是

7.4

(）

15亚

A.15收B.4C.8夜D.6^2+6

3

8.已知小明射箭命中靶心的概率为5,且每次射击互不影响，则小明在射击4次后,

恰好命中两次的概率是（）

369144216

A.625B.25C.625D.625

二、多选题（本大题共3小题）

9.如图，在直三棱柱/8。一44。中，M=2,AB=BC=\,//BC=120°,侧面

“4G。的对角线交点。，点E是侧棱8月上的一个动点，下列结论正确的是（

A.直三棱柱的侧面积是4+2。

B.直三棱柱的外接球表面积是4兀

C.三棱锥£一"4°的体积与点E的位置无关

D."E+EJ的最小值为2亚

10.已知△/SC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,则下列说法正确的有

（）

A.a1tanB=b2tanA,贝=6

Ab+c

cos2-=----

B.若22c,则此三角形为直角三角形

TT

a=3,b=4,B=一

C.若6,则解此三角形必有两解

D.若△4BC是锐角三角形，贝I]sinN+sin8>cos/+cosB

一

a4a14

11.已知数列｛“'｝的首项为4=1,且9%%+1=n-n+l,数列M,数列

[na„]

数列11+3。/的前〃项和分别为邑，0，7；,则（）

anu1。4"+1,1T4n+\

<fcS*<-----4nR<-7<-------

A.册5B.3C.3D.94角

三、填空题（本大题共3小题）

XH--=2-i--y

12.已知》>1,y>Q,且了，贝ux-i.的最小值是.

13.已知函数"x）=sin（2兀。x）（0>0）在区间[0,18]上有且仅有5个零点，则。的取值

范围是

\x+m\,x<0,

/(x)=42mr-、c

-----y/X,X>0.

14.设函数I2给出下列四个结论:

①当加=0时，函数/（X）在（一吟+00）上单调递减；

②若函数了（无）有且仅有两个零点，则切＞°；

③当机＜0时，若存在实数。力,使得/（。）=/0）,则的取值范围为0，+8）；

④已知点函数“x）的图象上存在两点白（网，必），。2。2，%）（再＜%＜0）,

。,。2关于坐标原点。的对称点也在函数"X）的图象上.若卢ON尸。卜;一，则

m=l

其中所有正确结论的序号是

四、解答题（本大题共5小题）

15.已知等比数列｛""｝的前〃项和为为S5=62,曷=2046,数列也｝满足

+1）（4〃-1）

+26+...+nb=----------

2n6.

⑴求数列也｝的通项公式；

Cr。"（1+2）

⑵令"一2,求也｝的前〃项和北.

16.如图，在三棱锥P-/3C中，4,用，G分别是侧棱p/,PB,PC的中点,

AB1BC,4。，平面88CC.

（1）求证：平面平面4?£；

（2）如果4c=8（,4B=BC=4,求二面角4一台4一C的余弦值.

17.近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开放了

48两个健身中心，要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的体

育锻炼.

（1）该校学生甲，乙，丙三人某周均从48两个健身中心中选择其中一个进行健身，若

j_]_2

甲，乙，丙该周选择4健身中心健身的概率分别为5'3勺，求这三人中这一周恰好有

一人选择“健身中心健身的概率；

（2）该校学生丁每周六，日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健

身中心的其中一个，其中周六选择N健身中心的概率为5.若丁周六选择/健身中心,

则周日仍选择/健身中心的概率为4;若周六选择B健身中心，则周日选择N健身

2

中心的概率为§.求丁周日选择B健身中心健身的概率；

（3）现用健身指数'9来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果，并规

定上值低于1分的学生为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽取一

人，其上值低于1分的概率为0.02.现从全校学生中随机抽取一人，如果抽取到的学

生不是健身效果不佳的学生，则继续抽取下一个，直至抽取到一位健身效果不佳的学

生为止，但抽取的总次数不超过〃.若抽取次数的期望值不超过23,求"的最大值.

参考数据.0.9829a0.557,0.9830»0.545,0.9831。0.535

工2y2y/3

18.已知椭圆°片~2-的离心率为2,过点“0°）的直线/交椭圆

C于点4巴且当/二轴时，建1二3

（1）求椭圆C的方程；

（2）记椭圆C的左焦点为尸，若过£43三点的圆的圆心恰好在y轴上，求直线/的

斜率.

19.对于四个正数m、n、p、q,若满足收＜秋，则称有序数对（取"）是（°，《）的“下

位序列”.

（1）对于2、3、7、11,有序数对1）是（2"）的“下位序列”吗？请简单说明理由；

ac

⑵设a、b、c、d均为正数，且（°力）是（°”）的“下位序列”，试判断石、万、

a+c

b+d之间的大小关系；

⑶设正整数〃满足条件：对集合｛川°〈加＜2024,加eN｝内的每个勿，总存在正整数

k,使得（私2024）是（左,〃）的“下位序列”，且&〃）是（加+1，2°25）的“下位序列”，

求正整数〃的最小值.

参考答案

I.【答案】C

【详解】由ln（xT"°可得：x",所以/=[2,+动,

由x2-3x<0可得：0<x<3,所以3=（°，3）,

所以人2=（°，+8）.

故选：C.

2.【答案】C

［详解］设z=q+历，贝ijz+l=(a+l)+历，z+i=a+(6+l)i,

因为|z+l|=|z+i|=V^,

(a+l)2+Z>2=5

/+0+1)2=5

所以I

当Q=6=1时，目=及.当a=6=-2时,|z|=2V2

故选：C

3.【答案】D

照言=2£万=&=（）

v7

【详解】解：由已知可得，B在@上的投影向量为同同2x22

-_c=-,0彳=二

又b在。上的投影向量<2人所以2.

D正确.

故选：D.

4.【答案】D

【详解】由/(')=/(2-得到对称轴为1=1,则a=/(TnLl)=/(2+lnl.l),

而1<2°4<2+In1.1<2+log21.1=log24.4<log25又/(%)在口，+8)上单调递减，

则/(2。4)>/(2+1川1)>/(10殳5),得心。八.

故选：D

5.【答案】B

【详解】设圆锥的底面半径为r,高为〃，则/+小=尺2,

可得产=心-川，或（0,0，

V（h）=-Ttr2h^-Tt（R2-h2}h=-n（R2h-h3}V=-Tt（R2-3h2）

则圆锥的体积33'J3'。则3'）,

当°<'<，"时，叫〃）>°；当时，『㈤<°；

则「小）在I3J上单调递增，在（3J内单调递减,

h——R尸=R

可知当3,即3时，圆锥的体积取到最大值.

故选：B.

6.【答案】A

【详解】由函数“X）的图象可得：

/1、

X€（-00,-）

当2时，函数单调递增，则/W＞0,

XG（—,2）„

当2时，函数单调递减，则/（x）＜0.

当xe（2,+8）时，函数单调递增，则/'（x）＞0,

r（x）＞or«<o

。+1）八无）＜0=

x+1>°②

1一

一＜%＜2

解①得，X＜-1,解②得，2,

,（-8,-1）。化2

综上，不等式（x+l）/（x）＜°的解集为12

故选：A.

7.【答案】A

【详解】设正项等比数列｛%｝的公比为

%+W"+2=2.""=4=2

aa

因为""""+1=2（”eN）,所以„n+\2,

解得q=2,所以小2=22〃（%＞0）,

所以%=22,所以4=22=叵,

所以数列的前4项的和邑的值为15®.

故选A

8.【答案】D

【分析】利用二项分布的概率即可得解.

【详解】由已知命中的概率为5,不命中的概率为5,射击4次，命中两次,

故选D.

9.【答案】ACD

【分析】首先计算NC长，再根据直棱柱的侧面积公式，即可判断A；首先计算

△/8C外接圆的半径，再根据几何关系求外接球的半径，代入公式，即可判断B；

根据体积公式，结合线与平面平行的关系，即可判断C；利用展开图，结合几何关

系，即可判断D.

【详解】A.△/8C中,

所以直棱柱的侧面积为。+1+二）2=4+2.,故A正确;

1

y-----A--C------—]

B.外接圆的半径2sin1200

R==6

所以直棱柱外接圆的半径

则直三棱柱外接球的表面积5=4兀叱=8兀，故B错误；

c.因为且221a平面44clc,/4u平面N4G。，所以吕月〃平面N/CC,

点E在上，所以点E到平面出1。。的距离相等，为等腰三角形N8C底边的高为

j_

5,

1,V3V3

_X/x__=__

且△44°的面积为22~2,

£&J__V|

则三棱锥£一,"°的体积为定值与点£的位置无关，故C正确;

D.将侧面展开为如图长方形，连结,G,交于点£,

此时AE+明最小，最小值为M+MIT=2近,故D正确.

故选ACD.

【关键点拨】本题D选项解决的关键是将平面①与CG8也展开到同一个面，利用两

点之间距离最短即可得解.

10.【答案】BD

【详解】对于A：因为a2tan8=/tanN,由正弦定理可得sin2/tan8=sin?8tan）,

sin2/sin5_sin2BsinA

则cosBcosA,

又43则sinZwO,sinBwO,2A,2B£电2兀）,

sin力_sin5

可得cos5cosA,整理得sin2^=sin25,

又因为4+3«0,%）,

A+B=-

可得24=23或2/+28=万，即/=8或2,

所以。=6或1+62=02,故人错误；

1+cosA_b+c_sinB+sinC

对于B：因为22c2sinC,则2sinC+2cos/sinC=2sin5+2sinC,

cosAsinC=sinB=sin［乃一（4+。）］=sin（4+C）=sin/cosC+cos/sinC

所以

所以sin4cosC=0f

(7=_

在三角形中，sin4>0,所以cosC=0,所以2,

则此三角形为直角三角形，故B正确；

JT3

a=3,b=4,B=—asinB=—

对于C：因为6,所以2,所以asinB<W6,

则解此三角形只有一解，故C错误；

对于D：因为aNBC是锐角三角形，

7171

0V&--<A^-B71

所以2,所以2,

0<^<BA—sinf--5|<sin^

所以22,所以12J,即cosBVsin/,

同理cosA<sin5,

则sinA+sinB>cosA+cosB,故D正确.

故选：BD.

11.【答案】BCD

［详解］若数列｛"/中存在某项4=0,由9a"=%_4”用可推得ak_x=aM=0,

进而｛"'｝所有项均为0,与%=1矛盾，故数列｛%｝均为非零项.

9_1_4

aaa

由=。〃-4%+1两边同时除以nn+l,可得知+1n,

1

—+3=4一+3,—+3=4力0

aa

所以n+\［%)\,

(-+3!

故数列〔见J是以4为首项，公比为4的等比数列，

—+3=4,J1

an二-----

所以知即4〃-3.

i11/131

0-Q3=——=>—

对于A,因为""一4"-3,可得213'361'出615,矛盾，所以人错误;

A4"i4

因为，"二（，-3）+（42-3）+-+（4"一3）=式4"-1）-3〃=亍一§-3"

对于B,

4〃+i4〃+i4〃+i

<-------1-3=--------4S”<--------4

33,所以3成立，所以B正确;

4"111

4"a„a„

+1-3）（4,,+1-3）3（4"-34向一3

对于C,因为

所以&…+3-卜

所以c正确;

n

4〃+i

n

4〃+i

故选BCD.

12.【答案】3+2也

22

x+-=2x-l+-=l

【详解】由〉，得〉

因为X>1,y>0）

所以x-l>0,y>0

所以占=3+尹高；，2卜1）广高7=3+20

（x-l）y=——-——

当且仅当（龙T",即a/,了=2+后时，等号成立,

1_

所以x-J'的最小值是3+2逝.

—<ty<—

13.【答案】936

【详解】因为〃x）=sin（2兀。x）,所以函数/（x）的最小正周期，一2无0一。

因为/（x）在区间［°』8］上有5个零点，

525

27<18<-T—<18<—

所以2,即g2①，

—<a）<—

故答案为：936.

14.【答案】②③④

【详解】当加=0时，时，/（x）=°,故在（一0°，+8）上不是单调递减，①错误;

对于②，当旭=0显然不成立，故加工°,

当近0时，令"x）=°,即一亍，得片0,x<g++0nx=-m,要使

,（X）有且仅有两个零点，则一切<°，故加>°,②正确，

<0,

/（x）=<_四人尤>0

对于③，当机<0时，'2尤"一.，此时/（X）在（一叫°）单调递减，在

若/⑷=/0）,由-%=--厂Jxnx=,故,一4>2,所以|"目的取值范围为

（2,+8）；③正确

对于④，由①③可知：机时，显然不成立，故加>°,

要使。1（国,%）,。2&/2）（尤1</<0）,关于坐标原点。的对称点也在函数

/（X）的图象上，

x>0.G）_叵m&

则只需要“>°/=一，一时的图象与"'2*有两个不同的交点，如图:

3^/^3

\PQ\+\PQi\->/2\-m-xj+V2\x2+m\=-V2(m+石)+6(x2+m)==>x2-=—

/（一再）=一字"户?

卜项-m\=Xy+m

由对称可得

化简可得

化简得K户当户

|=-x2-m

3

此时'25,因此机=i,④正确.

故答案为:

15.【答案】(1)4=2"也=21

⑵(〃-1>*+2

——=62

1-9

『=6232=2046

【详解】(1)由题意知，〔几-2046,即〔\-q

f«i=2

解得M=2,所以见=%广|=2"；

4+262+.-+(〃-1)%|+""="("+D(4"T)①

由一6

4+24+~+(〃-1)4)=(W-1)W(4w~5)(n>2)@

得6,

nb=〃(〃+1)(4"-1)_("1)"(4〃-5)

①-②两式相减得：66\

所以"=2〃-1,

当”=1时，4=1满足上式,

故”=2〃T

,〃(1+嫡_2〃0)

-------------------------，

(2)由(1)知，%=2",6“=2〃-1,所以J22

Tn=l-2i+2・22+3"+—+(〃—l).2"T+〃,2^^

27；=1-22+2-23+3-24+---+(M-1)-2"+W2,,+1@

2(1—2")

_-T=2'+22+23+---+2"-w-2n+1=-«.2n+,=(l-w).2w+1-2

③-④两式相减得：1-2

所以7>("1>2向+2.

16.【答案】(1)证明见解析

⑵k

【详解】（1）因为4,Bl,G分别是侧棱P4,PB,尸c的中点,

所以A\B#AB,B\GHBC,

因为N818C,所以

因为4C，平面班cc,4GU平面加CC,

所以43G

又4CC/4=4,4c,u平面4片。，

所以5£J■平面44C,

又因为4Gu平面4与G,

所以平面平面44G；

（2）因为4c平面84GC,8c,u平面831GC,

所以4C,4c，4C，BC,

因为N8=5C=4,所以4g=4G=2,

所以4c=5C=0,

因为51C1J•平面43。，B\G"BC,

所以8cl平面44c,

又4Cu平面4BC,所以8C，4C,

所以C4，C8,cq两两垂直，

如图，以点C为原点，建立空间直角坐标系，

则S（4,0,0）,C（0,0,0），4（0,0,V2）5,@,0,0）

故福■=（0,贬,-收）福=G，o,-&）

设平面4BA的法向量为"=（x,y,z）.

n•&B]=\[2y—y[2z=0

.福=4x一任=0可取方=q,2回2拒)

则有

因为4。，平面5耳0。，

CA'=行)即为平面阴0C的一条法向量,

所以

42734

cosn,CA[=

同可V17xV217

故

2734

所以二面角4一的余弦值17

7

17.【答案】⑴、

13

⑵万

(3)30

【详解】(1)由题意得这三人中这一周恰好有一人选择么健身中心健身的概率

尸+11-|x|x1-|xl-i1x^=7

x+1-+1-

Ii13318

(2)记事件C：丁周六选择N健身中心，

事件。：丁周日选择&健身中心，

贝uP(c)=pC)=；，p(qc)=i一：=：，尸90=1一g

Z3,

131113

P(D)=P(C)P(D\C)+P(C)P(D\C\=—x——|——X—=——

由全概率公式得VV7242324,

13

故丁周日选择3健身中心健身的概率为24.

(3)设从全校学生中随机抽取1人，抽取到的学生是健身效果不佳的学生的概率为

P.

贝I]P=OS,

设抽取次数为X,则X的分布列为

X123〃—1n

PP(l-p)p(1-P尸

故E(X)=p+(l-p)px2+(l-0)2px3+,..+(l-p)\x("l)+(l-p)"Tx",

口(1-〃)£(X)=(1-/?)/?+(1-p}1x2+(1-p)3x3H--F(1—2)〃Tpx(〃_1)+(1_p)"xn

两式相减得PE(X)=P+(1-P)P+(1-P)(+…+(1-P)"M+(1-p)”，，

所以E(X)=l+0-0)+0-p)2+…+0-°广+(1-

_i-(i-^y__i-o.98n

-1-(1-^)―~p—0.02

E(X)=1^，

所以0.02在时单调递增,

匕空町。匕工22.15

E（X）=

可知当”=29时，0.020.02

1-0.98301-0.545--

E（X）=-------X--------=22.75

当“=30时，0.020.02

£(X)=a^3史=23.25

当〃=31时，,70.020.02

若抽取次数的期望值不超过23,则〃的最大值为30.

【关键点拨】（1）利用独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式进行计算;

（2）利用全概率公式P（D）=P（C）P（r）|c）+尸（C）尸（z）C）进行求解；

⑶设抽取次数为X,求出，的分布列和数学期望,利用错位相减法求出£"若

由函数＞=-0.98,单调递增，得出E（X）在时单调递增，结合题目给出的参考数据求

得答案，

—Hy=1

18.【答案】⑴4-

,