2025年高考数学压轴题训练：解三角形（选填压轴题）（学生版+解析）

专题16解三角形（选填压轴题）

目录

一、三角形边长相关问题....................................1

二、三角形周长问题.......................................2

三、三角形面积问题......................................24

四、三角形与向量综合问题.................................4

一、三角形边长相关问题

L（2024•全国•模拟预测）已知AABC外接圆的半径为画G,。为边BC的中点，AD=1，

32

—BAC为钝角，则2AC-AB的取值范围是（）

A.（-2,2）B.[-2,2]C.（-1,2）D.（-1,2]

2.（23-24高二上•河南郑州•开学考试）在中，角A氏C所对的边分别是

°、氏°,4=120。,。是边3（7上一点，且=贝ij%+2c的最小值是（）

A.4B.6C.8D.9

3.（23-24高一下•湖北•期中）在锐角中，角A,B,。所对的边为〃，b,c,若

半半=您4+4,且siYA+si/B-sin2c=sinA-sin3,则上的取值范围是（）

3sinAaca+b

A.[5/3,2A/3）B.（6,473]C.[26,6）D.[g,2）

4.（23-24高一下•天津静海•期中）在锐角三角形ABC中，若百sinB+cos8=2,且满足关

.jCOsBcosCsinAsinB也也6，口/、

系式^―+----=,.，则4+C的取值范围是（）

bc3smC

cD

5.⑵-24高一下•浙江嘉兴•期末）在中,B^,C^AC^,AC的中点为D,

若长度为3的线段PQ（P在。的左侧）在直线BC上移动，则的最小值为

.730+2710D回+3加

22

c回+4丽D回+5师

•2•2

6.（23-24高一下•重庆・期末）在锐角AABC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,s为

AABC的面积，且2s="一伍"y,则空土且的取值范围为__________.

be

7.（23-24高一下•湖南永州•期末）在AABC中，角42,C所对的边分别为a,b,c,若c=»sinA,

则？h的最大值是.

a

8.（23-24高一下•江苏连云港•期中）在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为〃，b,

h2

什尸二1一sinB1-cos2A则片的取值范围是

yp।q-

cosBsin2A

二、三角形周长问题

1.（23-24高一下•江苏淮安・期末）在41BC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=6，

J!LA/3COSB+sinB=c,则AABC的周长的取值范围为（）

A.（百,2阴B.[A/3,2A/3]C.倒括,3@D.12百,3向

2.（23-24高二上•福建泉州,开学考试）在锐角AABC中，角A,8,C的对边分别为a,b,c,S

为AABC的面积，a=2,且2s="-伍一）2,则AASC的周长的取值范围是（）

A.（4,6]B.（4,275+2]

C.（6,2石+2]D.（4,^+2]

3.（23-24高三下•河南•开学考试）在"RC中，若内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,

ZABC的平分线交AC于点。，RD=1且匕=2,则AASC周长的最小值为（）

A.7B.2夜C.2+2-72D.4

4.（2024•浙江•模拟预测）已知AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且

（c-6）sinC=asinA-6sin3,若AABC的面积为招，则AASC的周长的最小值为（）

A.4B.4+73C.6D.6+73

5.（23-24高一下•江苏盐城•期中）在锐角41BC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,

b=3,sinA+asin8=2百，则&4BC周长的取值范围为.

6.（23-24高一下•四川成都・期中）已知在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,

并满足条件仇=（。,2力），n=（cosC,sinC）,m-n=b+c,|m|=4,则AABC的周长范围

TT

4.（23-24高一下•广东广州•阶段练习）在AABC中,ZABC的平分线交AC于点D,ZABC=-,

BD=4,则AABC面积的最小值为（）

A.3叵B.迪C.165/3D.16

33

5.（23-24高一下•湖北武汉•期中）设。是AABC的外心，点。为AC的中点，满足

DO=^AAB-^AAC,A&R,若|前卜2,则面积的最大值为（）

A.2B.4C.45/2D.8

6.（2024•陕西安康•模拟预测）如图，平面四边形中，

AB=3,AC=2BC,AD=DC,ZADC=90。，则四边形ABCD面积的最大值为.

7.（2024高二下•浙江杭州•学业考试）如图，在平面四边形ABCD中，AB=AD=2,

__cQ___DC

丽•国=万联国=1,记AABC与AACD的面积分别为品S〉则邑的值

为.

8.（23-24高一下•四川成都•期中）AABC中，NC=150。,。为线段A3上一点，CD=L且

DCAC=0>则AABC面积的最小值为.

9.（23-24高三下・重庆渝中•阶段练习）如图，四边形ABC。由“1BC和AACD拼接而成，

其中NACB=90。，NADC>90°,若AC与30相交于点E,ZACD=30°,AD=2,AC=2道,

且tan/A4£）=之叵，则ACDE的面积S=.

5一

D

四、三角形与向量综合问题

1.（23-24高一下•福建厦门・期末）向量,,£2满足6.02=0,同=同=1,（"6,4-02）=^,

则口的最大值为（）

A.夜B.C.0+诿D.瓜

22

2.（23-24高一下•重庆・期末）已知AABC中，角人民。的对边分别为，且满足

（2AB+AC）1BC,丽在它上的投影向量的模长为gc,则cosA=（）

A.—B.@C.叵D.叵

451010

jr

3.（23-24高一下•山东青岛•期中）AABC中，AB=^^ACB=-,。是AABC外接圆

圆心，是灰1.荏+瓦・丽的最大值为（）

A.1B.72+1C.3D.5

4.（23-24高一下•黑龙江绥化•阶段练习）在等腰“RC中，AB=AC=6,。为AC上一点,

且而=2万？，记AABC的外心为。，若瓦5=2次5,贝I］%；岳-3e=（）

27

A.9B.12C.—D.27

2

5.（23-24高一下•上海•期末）如图，已知点尸为AABC所在平面内一点，|通-罔=8,

|相=3网，定义点集£>=［尸］»=3X通+—亚XeR},若存在点4使得对任

意尸eO,有|福上|明恒成立，那么当VWC的面积取得最大值12时，忸匐=.

A

B

6.（23-24高一下•重庆・期末）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算

经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图"，亦称"赵爽弦图"（以弦为边长得到的正方形由4个

全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成，如图①），类比"赵爽弦图"，可构造

如图②所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的

等边三角形，其中2砺=3衣，则》^的值为;设而=彳荏+〃记，贝I

7.（23-24高一下•江苏宿迁•期末）记AABC的三个内角4民C,且AB=4,AC=6,若。

是AABC的外心，是角A的平分线，。在线段8C上，则.而=.

专题16解三角形（选填压轴题）

目录

一、三角形边长相关问题....................................1

二、三角形周长问题.......................................2

三、三角形面积问题......................................24

四、三角形与向量综合问题.................................4

一、三角形边长相关问题

L（2024•全国•模拟预测）已知AABC外接圆的半径为《迦，。为边的中点，AD=^,

32

—BAC为钝角，贝U2AC-AB的取值范围是（）

A.（-2,2）B.[-2,2]C.（-1,2）D.（-1,2]

【答案】C

【分析】解法一：禾U用正弦定理和外接圆的半径可求得/BAC=120。，设NB4E=a,利用

正弦定理将AC,A3用角”的三角函数表示出来，再利用三角恒等变换及三角函数的值域

即可求解；

解法二：利用正弦定理和外接圆的半径可求得/BAC=120。，利用向量2莅=丽+/可得

1=b1+c1-bc，^t=2AC-AB=2b-c,再由关于，的方程3从-3力+/一1=0至少有1个

正根，利用判别式可得其范围；

解法三：利用正弦定理和外接圆的半径可求得NA4c=120。，在AABC和△ABD中，分别利

用余弦定理可得1=6?+C?-6c,^-t=2AC-AB=2b^c,再由关于b的方程

3廿一3加+产-1=0至少有1个正根，利用判别式可得其范围.

【详解】解法一：

根据正弦定理得拽些=BC,所以sinZBAC=是,

3sinZBAC2

因为ZBAC为钝角，所以/BAC=120。；

延长4£）到E,使得AD=DE,连接BE,CE,如下图所示:

易知四边形ABEC为平行四边形，且ZABE=18（T-/54C=60。.

BEABAE

设N54E=m则々"=120。一a，所以京=sin(120-a)=询，

即AC=A3=2二2

sincrsin(1200-a)sin600石

22

所以AC=^rsina,AB=-j=sin(120°-),

所以2AC-A3=2sin(a-30。),

因为0。＜。＜120。，所以—300＜a—30°＜90°，所以一：＜国11（1-30。）＜1,

所以-1＜2$由（0-30。）＜2,

可得2AC-AB的取值范围是（-1,2）.

解法二:

根据正弦定理得名酶=BC

3sinZBAC

所以sin/A4C=走，因为/B4c为钝角，所以/B4c=120。

2

因为。为边BC的中点，所以2而=而+/，可得4须2=大送+2荏•*+配2，

设AC=b,AB=c,则1=无+°2一历①.

T^t=2AC-AB=2b-c,贝ljc=26—t,

将其代入①得3/一3活+/一1=0②，

所以关于b的方程3加-3必+产-1=0至少有1个正根；

当A=9»-1292-1）=0,即/=±2,

经检验，当f=2时，方程②即6?-26+1=0,解得6=1,贝!|c=2Z?-r=0,不合题意;

当仁一2时，方程②即从+26+1=0,解得匕=-1，不符合题意；

<|A=-3Z2+12>0

A=-3r+12>0

所以h或，解得-1々<2,

->02

12t2-l<0

故2AC-45的取值范围是(-1,2).

解法三：

根据正弦定理得粤J-,

所以sin/8AC=W,因为/BAC为钝角，所以/B4C=120。；

2

设5C=a,AC=〃,AB=c,根据余弦定理得标二〃十。2-2)ccosNa4C=h2+。2+反，

^22_r2

在AABC中易知COS3=巴二一—

2ac

222

f-Y+c-AD^+c--

又在/\ABD中可得8sB=以----------=-4----4,

CT2」

所以可得片+。2-万2二+c-4,即1=2〃+2°2-/,

lacac

将储=万+。2+历代入,得1=/?2+02—be①，

^t=2AC-AB=2b-c1贝ijc=2b—3

将其代入①得3必_3加+/-1=0②，

所以关于b的方程3/一3伤+/一1=0至少有1个正根；

当A=9产一12(产-1)=0,即/=±2,

经检验，当7=2时，方程②即"2-26+1=0，解得6=1,贝l|c=2〃—t=0,不合题意;

当/=一2时，方程②即户+2匕+1=0,解得6=-1,不符合题意；

,fA=-3r+12>0

△=-3产+12>0

所以r或:<°，解得-1</<2,

->02

12/2-1<0

故2AC-的取值范围是(-1,2).

故选：C

【点睛】解三角形中的最值或范围问题主要有两种解决方法：

一是将所求量表示为与边有关的形式，利用函数知识或基本不等式求得最值或范围;

二是将所求量用三角形的某一个角的三角函数表示，结合角的范围确定最值或范围.

2.（23-24高二上•河南郑州•开学考试）在AABC中，角A&C所对的边分别是

。、604=120。,。是边3。上一点，且A£）=g,则6+2c的最小值是（）

A.4B.6C.8D.9

【答案】C

【分析】利用正弦定理及3+C=60。，表达出"2°=南"浦”，再利用基本不等式

求出最值.

【详解】如图所示，

因为4=120。,所以3+C=60°,

AF）

在RSABD中，AB=----,即c

tanBtanB

因为NCW=120。—90。=30。，

ACAD

由正弦定理可得:即—7-------------7

sinZADCsinCsin（ZB+90°）sin（600-B）,

6cosB

所以6=

sin（600-B）;

..6cosB2GA/3COSB2石

所以sin（60°-B）tanB^31tanB

——cosB——sinB

22

下）262732«6

V3_ltanBtanBg-tanBtanB（73-tanB）tanB

22

因为0。<区<60。，所以0<tan3<g,

24

所以"2c之二8

-tanB+tanB

当且仅当百Tan…nB,即tanB=乎时，等号成立,

所以b+2c的最小值为8.

故选：C

3.（23-24高一下•湖北•期中）在锐角dBC中，角A,B,。所对的边为mb,c,若

sinBsinCcosAcosC0cc2”令小什R口/、

——一--=----+-----，且sin2A+sin2B-sin?C=sin4sin3,则nil-----的取值氾围是()

3sinAaca+b

A.[右,2g)B.(6,4^/3]C.[2g,6)D.[代,2)

【答案】D

【分析】由sin?A+sii?B-sin?C=sinA-sinB,结合正余弦定理求得角C,继而由

sm'sinC=您4+%£结合正余弦定理求出c=2百,再表示出a=4sinA,b=4sinB,

3sinAac

利用三角函数的性质求得a+b的范围，即可求得答案.

【详解】由sin?A+sin?8-sin?C=sin4sin8,由正弦定理得小+――=曲,

即有cosC="+"一°?=j.,而Ce(0,g],则。=生，

2ab2I2J3

「sinBsinCcosAcosC

X————=—+—,

3sinAac

V3b2+c2-a2a2+b2-c2

由正弦定理、余弦定理得，°?2bc।2ab，化简得：c=2退，

3aac

上=上=工=述=4

由正弦定理有：sinAsinBsinC73，即〃=4sinA,Z?=4sinB,

~2

△ABC是锐角三角形且C=。，有Ae（0，m，3=年-44。，5，

7171

解得

62

=4(sinA+且

因止匕a+Z?=4(sinA+sinB)=4cosA+-sinA

22

7

e

所以〃+厂4氐in'+j

故选：D

4.（23-24高一下•天津静海•期中）在锐角三角形ABC中，若gsinB+cosB=2,且满足关

cosBcosCsinAsinB…以誓/+什卬口/、

系式^―+----=°.八，则a+c的取值范围是（）

bc3sinC

-

D2

-

【解析】根据已知条件求得"B,构造a+c的函数，通过求三角函数的值域，即可求得结果.

【详解】因为氐inB+cosB=2,故可得sin，+/l,

又Be［。,］）故可得B=60。.

cosBcosCsinAsinBccosB+bcosCsinA〃石

因为一--+----=c.八,故口」行-------------=-----XsinB=一X——

bc3sinCbe3sine3c2

卜

整理得/,=26，贝IJ2R=—^=4.

sinB

故可得a+c=4sinA+4sinC=4sinA+4sin（A+60°）=4A/3sin（A+30°）,

因为AJ。,2120。一Ae10,?,故可得Ae（30°,90°）.

贝I］4百sin（A+30。）e（6,40］

故可得a+ce（6,4石］.

故选：C.

【点睛】本题考查利用正余弦定理求解三角形中的范围问题，涉及正弦的和角公式，属综合

困难题.

5.（23-24高一下•浙江嘉兴•期末）在AASC中，3=彳,。=",47=2而，AC的中点为D,

412

若长度为3的线段尸。（P在Q的左侧）在直线BC上移动，则AP+。。的最小值为

人回+2师D闻+3技

22

C闻+4丽D闻+5加

'2'2-

【答案】B

【分析】先根据正弦定理求得BCA8,以3c所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，根据

对称性和两点间的距离公式，求得所求的最小值.

2>/6BCAB

【详解】由正弦定理可得方=正=/1/7，水；=6,42=30+#,

T~2~4

以BC所在直线为x轴，则40,3+6））（0,0）,。（〃+3,。）,口（匕叵,生芭）

则AP+。。表示x轴上的点P与A和（-38,带8）的距离和，

利用对称性，（-士字，柠8）关于x轴的对称点为E（-与8,-柠8）,

可得AP+的最小值为AE=叵+3加.

【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查距离和的最小值的求法,考查坐标法，

属于中档题.

6.（23-24高一下•重庆•期末）在锐角AABC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,S为

AABC的面积，且2s=储-e-c）2,则竺±1的取值范围为__________.

be

【答案】20,II）

【分析】利用三角形面积公式和余弦定理，可得2-sinA=2cosA,再根据同角三角函数的

关系可得sinA,cosA,tanA,然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得

1bb

bsinB5,3,结合条件可得tanC的取值范围，进而可得巳的取值范围，令

—=--=---F—cc

csinCtanC5

则"丝+/="+1，然后利用对勾函数的单调性即可求解.

becbt

1

【详解】因为S=,bcsinA,2S=a1-（Z?-c）9,

所以Z?csinA=/_仅_。）2,即〃+。2_储=/7c（2-sinA）,

由余弦定理/+/一/=2Z?CCOSA,所以2—sinA=2cosA,

又因为sin'A+cos2A=1,所以sii?A+12一;nA）=b

4

解得sinA=《或sinA=0,

因为△ABC为锐角三角形，

所以sinA=g,所以cosA=Vl-sin2*4A=,

4

所以tanA=—,因为A+3+C=7i,

3

所以sin3=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA,

4「3•不4

—cosC+—sinC

由正弦定理得sin5sinAcosC+sinCcosA55上+3

csinCsinCsinCtanC5

因为AABC为锐角三角形,

0<B<-—<A+C<7T

22

所以，所以

0<C<-

2。＜。苫

cosA3

sinA4

14

所以°<榛<5'

4

所以435

所以35,35,

C5,3

5tanC53

b2b2+c22bcc1

设则----------=——+—=2/+一,

Cbecb

因为函数y=2r+1在||,

上单调递减，在上单调递增,

当”乎时,有最小值为s,“加，有最大值为II,

r-159

所以203尸话,

所以"Je

be

故答案为：20,II1

【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得

4

Z?_sinB5上3,进而可以求解.

----1--

csinCtanC5

7.（23-24高一下•湖南永州•期末）在AABC中，角4,2,C所对的边分别为。也c,若c2Z?sinA,

则？h的最大值是

a

【答案】V2+1/1+V2

【分析】由c=»sinA明确边c上的高等于边c的一半，做出边c上的高CO,设=用

hh

X表示出巴，再结合换元法和基本不等式，求士的最大值.

aa

【详解】如图:

过C作CD_LAB于。.

因为c=2/2sinA=2CD,所以CO=£.

2

设。2一2cx=t

bb

若，=0,则一=1；若，＜0,则一＜1；

aa

当/＞0时,

=1+且'=2夜+3

（当且仅当产=2,4即，=缶2时取"=〃）.

所以空也应+3=应+1

a

故答案为：6+1

【点睛】方法点睛：求取值范围得问题，常用的方法有：

（1）结合二次函数的单调性，求二次函数在给定区间上的最值；

（2）利用基本不等式，求最值；

（3）利用三角函数的有界性求最值；

（4）判断函数的单调性，求最值.

8.（23-24高一下•江苏连云港•期中）在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为“，b,

1-sinB_l-cos2A则三h的2取值范围是

cosBsin2A

【答案】[o,1

【分析】根据二倍角公式可得上驾=2",即COSA=sinC=cos佰-c],根据角的范围

cosBcosA<2J

可得C-A=W，B=^--2A,0<A<:,故cosAe.由正弦定理、同角三角函数的

224I2)

A)2/\Q

基本关系及二倍角公式可得22=41+COS2A+；——TT-12,换元，结合对勾函数的

a2+2c2''1+cos2A

性质即可求解.

■、斗々刀.工的上—r/口1—sinBl-cos2A2sin2AsinA,,

【详解】由题意可得------=--------=-----------=-----,故

cosBsin2A2sinAcosAcosA

cosA—sinBcosA=sinAcosB,

即cosA=sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sinC=cos

因为Ae(O,7T),所以4=]_(7或_4='_0,

即C+A=工或C-A=2,即3=巴或C-A=二.

2222

若2=5,则cosB=0,则上网更无意义，故C-A=£.

2cosB2

717T

又A+B+C=TI,所以2A+B=—,即3=--2A.

22

因为C-A=&,所以C>四,0<A<女，0<B<-,

2222

TT

所以解得。<A<"故cosAe

兀71

0<——2A<—

22

sir?5

由正弦定理可得-22

a2+2c2sin2A+2sin2C

_sin2Bsin2B

sin2A+2sin2f+Asin2A+2cos之A

sir?[J—2A

cos22A

sin2A+2cos2Asin2A+2cos2A

(2cos2A-l)_4cos4A-4cos之A+l

1+cos2A1+cos2A

4(l+cos2A)2-12(1+COS2A)+9

1+cos2A

=4(l+cos2A)+————12,

\)1+cos2A

令f=l+cos2则7=4f+2_i2.

22

［2)a+2ct

设/⑺=4f+，12je1|,2)

由对勾函数的性质可得/.⑺在［I，2］上单调递增,

所以即占片(夕

故答案为

二、三角形周长问题

1.（23-24高一下•江苏淮安・期末）在UL6C中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=6,

且百cos5+sinB=c,则的周长的取值范围为（）

--

B2ICD23

--

【答案】C

【分析】方法一：设AABC的外接圆半径为凡根据正弦定理及已知可将题干等式化为

27?sinAcosB+sinB=27?sinC,再结合两角和的正弦公式进行化简，结合2Hsin4=〃=石可

得tanA=若，最后根据正弦定理以及三角恒等变换用3表示出疑。的周长，根据三角函

数的性质求解即可.

方法二：根据三角形三边关系排除即可.

【详解】方法一：设融。的外接圆半径为七

abccc

则----=-----=-----=2R,

sinAsinBsinC

因为A/3COSB+sinB=c,a=A/3,

所以acos5+sin5=c,

可得2RsinAcosB+sinB=2RsinC=2Rsin（A+B）,

即2RsinAcosB+sin3=2RsinAcos3+2HcosAsin5,

可得sinB-27?cosAsinB,

因为8£（0,兀），sinBwO,

所以2RcosA=l,

结合2RsinA=a=，可得tanA=^/3，

又AE（0,兀），所以A=g,

可得-^_=上=-^=2,

sinAsinBsinC

贝UAABC的周长为/=Q+b+c=0+2sin5+2sinC

=G+2sin5+2sin

=百+2sinB+A/3COSB+sinB=26sin^B+,

।—t、tr*।/-v27r।广广.7u_兀5兀

因为3$0,-^-,所以t；＜3+：＜L，

I3，oo6

H1Jsin^+^eQ,l

可得/e（26,3君］

方法二：由b+c>a,a=若可知"BC周长>26，排除ABD,

故选：C

【点睛】方法点睛：求解三角形周长和面积的取值范围问题一般需将表达式转化为边或者角

的式子，再利用三角函数性质或基本不等式即可求得取值范围.

2.（23-24高二上,福建泉州,开学考试）在锐角AABC中，角A,民C的对边分别为瓦c,S

为"RC的面积，a=2,且2s=6?-他-cP，则AABC的周长的取值范围是（）

A.（4,6]B.（4,2A/5+2]

C.（6,2A/5+2]D.（4,75+2]

【答案】C

A14

【分析】利用面积公式和余弦定理可得tanz=7，tanA=；,然后根据正弦定理及三角变换

223

可得匕+c=g（sinB+sinC）=2如sin（8+e）,再根据三角形是锐角三角形，得到8的范围,

转化为三角函数求值域的问题.

2

【详解】•:2s=储_仅_。）2=ai_yi-c-^-2bc=2bc-2bccosA,

/.S=bc-bccosA=—bcsinA,

2

1AAA

1-cosA=—sinA,即Zsii?—=sin—cos—,A为锐角,

2222

A114.443

tan—=—,tanA4=-----=—,sinA=—,cosA=—「公

2211355，又。=2,

i—

4

abc5

由正弦定理可得—:===一，

sinAsin3sinC2

所以6+c='1(sin3+sinC)='|[sin8+sin(A+8)]

34

=—IsinB+—sinB+—cosB|=4sin5+2cos5

255

=2j5sin(5+0),其中tan°=-,(p=—

22

因为AABC为锐角三角形,

所以万•一<耳，则万一4+0<_8+O<耳+夕,

口广7rAenA

即：-----<3+0<一+一，

2222

A_A2

所以cos5<sin（3+0）«l,又。。丐二忑，

4<2石sin(B+°)W2石，即6+ce卜,2石],

故AABC的周长的取值范围是（6,2如+2].

故选：C.

3.（23-24高三下•河南•开学考试）在"WC中,若内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,

NABC的平分线交AC于点。，BD=lS.b=2,则AABC周长的最小值为（）

A.7B.20C.2+20D.4

【答案】C

【分析】先利用面积相等与三角形面积公式，结合正弦的倍角公式求得2.3下…a,

再利用余弦定理的推论与余弦的倍角公式得到。c的关系式，从而利用基本不等式求得

Q+CN20，由此得解.

【详解】由题可得,SAABC=SMBD+SWCD，即

幺吟工…业

—acsinZABC=—BD•csinsin

22222

ZABCZABC

又BD=\,所以2acsinZABC=csin+。sin则

22

c.ZABCZABCz、.ZABC

2acsin-----cos------=c+asin------

22v72

因为所以0〈幺些〈色，则sin幺丝片0,

222

..X.ABC口门Z.ABCc+a

所以2accos------=c+a,即cos------

222QC

又因为cosZABC=1+"一一4,cos/ABC=2COS?-1,

lac2

c+a

所以2I一1=。27-4,整理得(c+a)2=ac[(c+a)2-4],

2ac

所以(c+a)2=〃c[(c+a)2—4]«(c；〃){(c+a)2_町,

解得（c+a>28或（c+a）240（舍去），

所以a+cN2夜，当且仅当a=c=血时，等号成立,

贝U6+a+c22+20>

故AASC周长的最小值为2+2应.

故选：C.

4.（2024・浙江•模拟预测）己知AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且

（c-Z?）sinC=asinA-Z?sinB,若AABC的面积为百，则AABC的周长的最小值为（）

A.4B.4+A/3C.6D.6+73

【答案】C

【分析】应用正弦定理把（。-6对11。=后114-法也8中的"角"转化为"边"，利用余弦定理求

出角A的值，接下来有两个思路.思路一：先根据面积