2025届高考数学复习《圆锥曲线中的证明问题》练习（附答案）

2025届高考数学复习：压轴好题专项（圆锥曲线中的证明问题）练习

1.（2023届湖南省长沙市一中等名校联考联合体高三上学期11月联考）设椭圆C：

22

会+==1（。>b>0）的左、右焦点分别为&£.A,5是该椭圆C的下顶点和右顶点，且

|明=石，若该椭圆的离心率为也.

2

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）经过点（2,-1）的直线/：y=h+m交椭圆。于尸，。两点（点尸在点。下方），过点P作x轴

\DE\

的垂线交直线于点。，交直线3。于点号求证：曷为定值.

22

2.（2023届河南省焦作市高三上学期期中）已知椭圆C：1r+#=1（°>6>0）的离心率为

々，点M（l,0）,G（4,0）椭圆。的右顶点A满足2戒+刀=鼠

⑴求椭圆C上一点尸到点M的最小距离；

（2）若经过M点的直线/交椭圆C于号尸两点,证明：当直线/的倾斜角任意变化时，总存在实

GEGF

数3使得=X+研|

\GE\

22

3.已知椭圆C:\+}=1（。>6>0）的长轴长为4,片,丹为C的左、右焦点，点

6%，%）（盟工0）在C上运动，且cos/甲居的最小值为|■.连接尸号巡并延长分别交椭圆C

于Af,N两点.

⑴求。的方程；

⑵证明：甘勺+学结为定值.

^^OMFX^AOF2N

4.（2022届湖北省十堰市丹江口市高三下学期模拟）已知双曲线。:£-4=1（〃>0/>0）的

ab

左、右顶点分别为4,4,右焦点为尸（2,0）,点尸为c上一动点（异于4,4两点），直线尸4和

直线24与直线x=1分别交于两点，当PF垂直于x轴时，△尸的面积为2.

⑴求c的方程；

(2)求证：NMWV为定值，并求出该定值.

5.(2023届湖北省荆荆宜三校高三上学期10月联考)记以坐标原点为顶点、厂(1,0)为焦点

的抛物线为C,过点F的直线I与抛物线C交于A,5两点.

⑴己知点M的坐标为(-2,0),求//MB最大时直线的倾斜角；

⑵当/的斜率为|■时,若平行I的直线机与。交于M,N两点，且AM与BN相交于点7,证明：

点7在定直线上.

6.在平面直角坐标系X0中，点尸的坐标为(0,g),以线段披为直径的圆与x轴相切.

⑴求点M的轨迹£的方程；

⑵设T是£上横坐标为2的点,07的平行线/交E于A,B两点,交曲线£在7处的切线于点

5

N,求证：|N7|7=^\N^\NB\.

7.已知双曲线:T：x-V=4,双曲线「的右焦点为尸,圆。的圆心在y轴正半轴上，且经过坐

标原点。，圆C与双曲线「的右支交于N、8两点.

(1)当△。物是以尸为直角顶点的直角三角形，求△。物的面积；

(2)若点A的坐标是(右,1),求直线AB的方程；

⑶求证：直线N8与圆/+/=2相切.

8.(2023届湖北省重点高中智学联盟高三上学期10月联考)已知直线乙：>=一［^+2与椭

圆£：工+匕=1相切于点与直线八夕=1》+/相交于点N(异于点M).

42,2

⑴求点河的坐标；

⑵直线4交E于点/(再,必),2(%,%)两点,证明：AANMS^MNB.

22

9.(2023届重庆市巴蜀中学校2023届高三上学期月考)已知椭圆C:5+胃=1(“>b>0)的

ab

左、右顶点分别为4%椭圆C的长半轴的长等于它的焦距，且过点.

⑴求椭圆C的标准方程；

⑵设椭圆C的右焦点为尸，过点尸的直线/与椭圆C相交于M,N两点(不同于48)，直线

AM与直线BN相交于点P，直线/N与直线BM相交于点。，证明：P0，x轴.

10.已知抛物线C：/=22H?>()),其焦点为£。为坐标原点,直线/与抛物线。相交于不

同的两点为的中点.

⑴若p=2,河的坐标为(1,1),求直线I的方程.

(2)若直线/过焦点F,AB的垂直平分线交x轴于点N,求证：邛”为定值.

y1

11.(2023届河北省邯郸市大名县第一中学高三月考)己知椭圆。：++=l(a>6>0)的

a

左、右焦点分别为片，片，左顶点为/(-2,0),离心率为当.

⑴求C的方程；

(2)若直线/：尸Mx+1)(匕0)与C交于点。石，线段NE的中点分别为尸,0.设过点片且

垂直于x轴的直线为,若直线。尸与直线/‘交于点S，直线OQ与直线/'交于点T,求证：

郎•亨为定值.

12.已知抛物线C:/=2处(0>0)的焦点到直线l.y=2x-5的距离为罕.

⑴求。的方程；

⑵若点P在I上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点，直线45与/交于点。，证明：存在定点

H,使得PHLQH.

22

13.设。为坐标原点椭圆C:亍+a=1伍>6>0)的离心率为学，且过点(0,1).

(1)求C的方程；

3

(2)若直线l：x=ky+m马C交于P,Q两点，且△OPQ的面积是-，求证：2m1-k2=9.

14.(2023届福建师范大学附属中学2023届高三上学期月考)在平面直角坐标系中，设

点力；,0,吗,()],点G与尸两点的距离之和为*N为一动点，点N满足向量关系式:

GN+GP+GQ=0.

⑴求点N的轨迹方程C；

⑵设C与无轴交于点48(A在B的左侧)，点M为C上一动点(且不与48重合).设直线

/峪x轴与直线x=4分别交于点凡S,取E(l,0),连接ER,证明：ER为AMES的角平分线.

15.(2023届山东省济宁市汶上县高三上学期质量联合检测)已知椭圆

22

月：—+与=1(。>b>0)丘丘

。b2’的左顶点为A,左、右焦点分别为片，与，动点5在石上且位于第一象

限，忸用+忸以=4,当叫,AF2时，直线AB的斜率为I-

⑴求E的方程；

.(31

1

/D4「/DrAQtantz,tan—=一

⑵设々盟=&，因/=匕证明：22.

参考答案

1.（2023届湖南省长沙市一中等名校联考联合体高三上学期11月联考）设椭圆C：

22

会+}=1（。>b>0）的左、右焦点分别为&£.A,5是该椭圆C的下顶点和右顶点，且

1阴=石，若该椭圆的离心率为YL

2

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）经过点（2,-1）的直线/：y=h+m交椭圆。于两点（点?在点。下方），过点尸作x轴

\DE\

的垂线交直线4B于点、D，交直线3。于点E,求证：曷为定值.

【过程详解】（1）由题可得,="2+62=石,

所以/+/=5,

因为椭圆的离心率为也，所以e=£="，

2a2

结合椭圆中Z）2=/一°2可知=2,6=1.

所以椭圆。的标准方程为二+/=1.

4-

设尸（国,必）,。（马，力）,直线/的方程为y=6+机，

将点（2,-1）代入得：掰=-2左-1,

「・直线/:y=kx-（2k+1）.

2

由于椭圆C：'+/=1,;.^（0,-1）,5（2,0）,

联立方程~得（4/+1）》2-8左（2左+1卜+16/+16左=0,

y=Ax-（2左+1）

由A=—64左＞0,得左＜0,

16左2+8左\6k2+\6k

x,+x=---；----,x,x,=----------

12?4k2+1124k2+1

直线的方程为：x-2y-2=0,

直线80的方程为：了=上7（尤一2）,

一2

4,胃;G，去（*-2）,

必=侬-（2左+1）

y2=kx2-（2k+1）

16k2+8左吊

运用x,+x=---；----?

1294左2+1

16k2+16左

X,X=----z----

124k2+1

能证得：士+」、=1②，

x2-2再一2

下面证明②：（再—2）%+（%-2）%一（占一2乂/-2）

二（须一2）［生-（2左+1）］+（%2一2）［心一（2左+1）］-（再一2）（%2-2）

二（2k—1）X］%—（4左一1）（再+%）+8k,

运用①中的韦达定理：（2左—1）再马—（4左—1）（项+9）+8左

=（21严：；*一（41呼才+8左

32k3+3242-16左2_16左一64左3_32左2+16k2+8左+32k3+8左

-Q—0n,

4产+1

即②成立，

；•必+上;（再-2）=2*胃，即点石和尸的纵坐标之和等于。点纵坐标的2倍,

X?—Z，

DE\

・・・。点是线段EP的中点，即—4=1,

DE

综上，了万=1,故为定值.

22

2.（2023届河南省焦作市高三上学期期中）己知椭圆C：2+方=1（°>6>（））的离心率为

1，点M（1,0）,G（4,0），椭圆。的右顶点A满足2病+就=6.

⑴求椭圆C上一点尸到点M的最小距离；

（2）若经过M点的直线/交椭圆C于E，尸两点,证明：当直线/的倾斜角任意变化时，总存在实

（________、

___~CVFGF

数也使得=2=+=

[\GE\VF\）

【过程详解】（I）解：/（。,0）,

因为2万7+就=0,所以2（1—凡0）+（4—/0）=0,

即（6—3a,0）=0,所以6—3a=0,解得a=2,

离心率?=£.=£=所以°=y/2,

a22

所以/=/—/=2,

22

所以椭圆的标准方程为

设P（x,y）,（-2Wx42）,

则\PM\=7（^-l）2+T2=^（x-1）2+2-1x2=^|（X-2）2+1,

当"2吐“L=l,

所以椭圆C上一点尸到点M的最小距离为1;

（2）证明：当直线/的倾斜角为0时，直线/与x轴重合，

不妨取£（一2,0）,尸（2,0）,

则—加■（/T°、）耐GE=（一-6,0）=/（一1,°、）府GF=（一-2,0）=（/一1,°、），

由曲=4禺+陷,得面3GEGF

2〔函|函

----»（Tr（rr

所以此时存在实数2,使得GM=2=+=

[\GE\VF\）

当直线/的倾斜角不为0时,设直线方程为工=即+1,£（网,必）,/（乙,%）,

贝1J玉=町+L&=期+1,

（22

土匕=]

联立42~，消x得（加2+2）J?+2冲一3=0,

x=my+\

,.2m3

贝n!J必+为=一一=，%为=一一FTT，

m+2m+2

kM।力，（研-3）+%（町-3）

GEGF

Xj-4x2-4[myx-3）（my2-3）

6m6m

=2"%-3（乂+%）=一优2+2+"广+2=0.

（Wi-3）（仇-3）（%-3）（仇-3）

所以直线GE,GF的倾斜角互补，则GM平分NEGF,

/__,__\

____「百「户k

所以当直线/的倾斜角任意变化时，总存在实数4,使得曲=彳.+『

{,\GE\\GF\）

_,、

GEGF

综上所述，当直线/的倾斜角任意变化时，总存在实数4,使得GW=2阿I同

22

3.已知椭圆。十+方=1（。>6>0）的长轴长为4,大,£为C的左、右焦点，点

p（%，%）（%H。）在C上运动，且cosZFtPF2的最小值为。.连接尸&P鸟并延长分别交椭圆C

于河,N两点.

（1）求。的方程;

⑵证明：合工+学组为定值.

^/\OMFX、丛0plN

【过程详解】（1）由题意得。=2,

设|尸片|,|尸鸟|的长分别为",",加+〃=2°=4

lm2+n2-4C2(m+nV-4c2-2mn=i-7--------=-"一12口内

贝1ml」cos/片尸石=-----------=-^-----------------rnn(m+n\a，当且仅

2mn2mnI——I

当加=〃时取等号，

,1,b23及、

从而一；—1——，倚s--=一.b=3,

a22/4

22

则椭圆的标准方程为二+匕=1;

43

（2）由（1）得耳（一1,0）,巴（1,0）,

设M（XQJ,N（X2，%）,

设直线PM的方程为x=^-y-1，直线PN的方程为尤=区二与+1,

%y0

%+11

x=-^——y-l

2'I,得3(x°+l)6"广9=0,

由,L+4

上+2=1%

143

2

—9-9y0-9%2

则.22

3(")『+43(/+1『+4%23x0+4y0+6x0+32%+5,

4

.y=

-,2%+5,

同理可得力=恙?

T西闾初川+皿）

所以决.OPFIS4OPN

i=_A+A+1

^AOFN*制/）网网(必%.

.OMFX2

=_%+7。+1=U.

-3%-3%3

、2x0+55-2x0,

所以2+A为定值

D△。町O(N3

4.（2022届湖北省十堰市丹江口市高三下学期模拟）已知双曲线。:m-4=1（〃>0,6>0）的

左、右顶点分别为4,4,右焦点为尸（2,0）,点尸为c上一动点（异于4,4两点），直线尸4和

直线「4与直线x=1分别交于MN两点，当PF垂直于x轴时，△尸44的面积为2.

⑴求c的方程；

（2）求证：为定值，并求出该定值.

【过程详解】（1）由题意知。=2,则/+/=4.当尸尸_Lx轴时,|尸尸|=一,

a

故△尸44的面积S=L2q.Q=62=2,解得a=b=41，

2a

22

故C的方程为土-匕=1.

22

（2）由（1）得4（-60）,4（立0）,设尸（%,九乂/W±@,

则直线尸4'y=一%77（%+收），令工=1,得加=—%■片（1+后）；

%+A/2+A/2

直线尸^2:y=-^7^(］一&),令％=］得、汽=-^-y=(l-\/2).

x0—72xC—72

故M（L加）,N（l，w）,

因为JWN=-x；-Jo=2,故J，"％=-1,

工0-2

又FM=（-1,加），尸N=（-1,%）,则KW•W=1+九6.

因此而^^nl+yMyNuO，

故KW_LFN,即2MFN=90°.

5.（2023届湖北省荆荆宜三校高三上学期10月联考）记以坐标原点为顶点、厂（1,0）为焦点

的抛物线为C,过点F的直线I与抛物线。交于A,B两点.

⑴已知点M的坐标为（-2,0）,求最大时直线的倾斜角；

⑵当/的斜率为g时,若平行/的直线机与C交于M,N两点，且AM与BN相交于点T,证明：

点T在定直线上.

【过程详解】（1）设直线的方程为》=叩+1,/（%,必）,8（%,%）5>0,为<0）

%

记==/，则tana二?tanP=-

再+2myx+3x2+2my2+3

tana+tan，_________3(%-%)_________

则tanZ.AMB=tan(a+/?)=

1-tancrtanp(〃?2+1)必力+3小(％+%)+9

由题设得抛物线方程为/=4x

fA>0

［r”2=4工_____

联立\［消去X得V-4⑺一4=0|必+%=4加,y-y=4,加2+1

x=my+1,

〔必为=-4

——…，C12?12

tan4MB=应0令”府石则出1tan^AMB=后”=厂

8m-+5次-7

12

由单调性得当/=1时,tanAAMB最大为y，此时加=0,直线AB的倾斜角为90°

uuiiUHmjrmr

(2)设7(%,%),力W=2714(4wl)则由48〃MV得

卜"((Kb几+"-2-(”+.%)

4

j_.yA-yB_

又丁上题+%=8同理％+Zv=8

2"xA-xByA+yB

***8-2%=4(8-2%)又丁2^1.*.8-2y0=0/.y0=4

・••点T在定直线＞=4上.

6.在平面直角坐标系x°v中，点尸的坐标为(0,g),以线段“尸为直径的圆与x轴相切.

(1)求点M的轨迹E的方程；

⑵设T是E上横坐标为2的点,07的平行线/交E于A,B两点,交曲线E在T处的切线于点

N,求证：|N7f=gL网.

【过程详解】(1)设点〃(x,y),因为尸(0,；

所以43的中点坐标为，2]+1],

因为以线段“尸为直径的圆与x轴相切，

网=也到同回

24112

故卜+口_；：=叱''化简得一=2^，

所以M的轨迹£的方程为/=2y.

(2)因为T是E上横坐标为2的点,所以由(1)得(2,2),所以直线。7的斜率为1,

因为///O7,所以可设直线/的方程为了=尤+私优/0,

由/=2y，得y=；/,得＞=x,则曲线后在T处的切线的斜率为了'匚=2，

所以曲线E在7处的切线方程为了=2x-2,

联立[I=x+mx=m+2

，得

—2x—2y=2m+2

所以N（N+2,2优+2）,所以加中=（m+2-2『+（2优+2-2）2=5〃/,

fy=x+m]

联立｛2，化简得工2一2%-2加=0,有A=4+8加＞0,解得冽＞-不

[x=2y2

设/（&,尤2）,8（%,%）,则匹+X2=2,X1X2=-2m,

因为N,A,B在/上，所以|网=行忖-（〃7+2）|,|冲|=夜上-（机+2）|,

所以=2|西-（加+2）值_（加+2）|=2限2-（机+2）（网+电）+（加+2）]=2*,因为

\NTf=5m2，所以|沏②=斗乂4"洞.

7.已知双曲线=心双曲线「的右焦点为尸,圆。的圆心在y轴正半轴上，且经过坐

标原点。，圆C与双曲线1的右支交于N、8两点.

（1）当△OE4是以尸为直角顶点的直角三角形，求△。物的面积；

（2）若点A的坐标是（右,1）,求直线AB的方程；

（3）求证：直线N3与圆x2+y=2相切.

【过程详解】（1）由题意△。物是以下为直角顶点的直角三角形，尸（2行,0）,

所以点/在直线x=2后处，设代入/一步=牝解得昨±2,取产2

则/（20,2），所以△。物的面积为⑻=；x2后x2=20；

（2）设圆C圆心坐标为（0,加），因其过原点，则r=m.

故圆C方程为：x2+=m2.

代入点Z（右,1）,得5+（1—机）2=m2，解得m=3.

（2+（-3）2=9

将圆C方程与「/-/=4联立得x了2，，消去X得：V-3y+2=0

[x"-y=4

解得％=1,%=2.又8点在双曲线右支，故5（2行,2）.

V—11

则”2方程为：』1=荻二万.

化简为了=拽产.[一码+i即了=巴芭工_驾型

（3）证明：由题直线斜率必存在,

故设直线48的方程为了=云+加工（x/山）,B（X2/2）,

圆C的方程为x2+（ip=/（6>0）,

y=kx+m

由，消去y得：（［_后2）12加2+4）=0

x2-y2=4

1-尸。02kmm2+4

由题意，得:A>0'且为+"2=中'再尤2=一寸'

二士;7,消去X化简得：…+2=。,所以必一.

由

22

所以必%=/*+加)(履2+加)=kxxx2+km(X[+x2)+m=2,

m2+4.2km-k2m2-4k2+2k2m2+m2-m2k2

即—+km-------+m2=2

1-k2\-k2\-k2

m2-4k20\m\

=2n加2=2+2好=>J।=母

1-F

得原点O到直线NB的距离"=+^7=血，所以直线M与圆/+/=2相切.

\1+k

8.（2023届湖北省重点高中智学联盟高三上学期10月联考）已知直线4：》=—日工+2与椭

圆土+二=1相切于点M,与直线4：〉=立1+方相交于点N（异于点"）.

4272

⑴求点A/的坐标；

⑵直线4交£于点/（不，必）,2（3,%）两点,证明：AANMSAMNB.

[旦+?

【过程详解】（1），一2，消y得：尤2-2缶+2=0,解得：x=&,故/也1);

_x2+2y2=4

V2

k一石龙+2

（2）联立，，解之得：NV2--f,l+-

_V2

y——X+/

2

联立，一2"十,消了得：/+力仪+〃一2=0,

x2+2y2=4

22

由题可得：A=8-It>0,玉+尤?=-V2?,xlx2=t-2.

2

3

NANB=亚-争(2+%)+

2

7

、\2

332

=-r-2-41-—t(-72/)+四_争-r

24

2)7

、

|2W|=^1+1|V2-亚-等,

2

7

|TW|2=|A^||7V5|,

ANMN

=——，又ZANB=AMNB,・・・AANMS^MNB.

NMNB

,2

9.（2023届重庆市巴蜀中学校2023届高三上学期月考）已知椭圆C:二+2=1(〃>6〉0)的

a

左、右顶点分别为4%椭圆c的长半轴的长等于它的焦距，且过点[i,|j.

（1）求椭圆c的标准方程;

（2）设椭圆C的右焦点为尸，过点尸的直线/与椭圆C相交于M,N两点（不同于48），直线

AM与直线BN相交于点P，直线AN与直线BM相交于点。，证明：P0，x轴.

_________22

【过程详解】（1）由题意。=2c,即/）=工17=小，故椭圆C：a+£=1,

13

代入点可得~7~2~^~~7~2=1，解得c=l,a=2/=G,

4c4c

.2

故椭圆的标准方程为：工+匕=1.

43

(2)由题意右焦点尸(1,0),^(-2,0),5(2,0),

若直线I斜率不存在，直线方程为：X=1，代入椭圆方程可得：+[=1,解得y=±1，即

33

1133

故直线/M:y=i(x+2),/N:y=-5(x+2),3M:y=-5(x-2),8N:y=5(x-2),

y=；(x+2)1小

y=--(xz+2)

联立，可得尸（4,3）；联立；，可得0(4,—3),

y=^(x-2)y=--(x-2)

，故尸。_L无轴;

若直线I斜率存在,直线方程为：了=左（龙-1），与椭圆联立

y=k（x-V）

<X2V2，即（4/+3）/-8Fx+4左2_12=O,A>O恒成立,

+=1

143

_8k2

x+x

12-4左2+3

不妨设/（%,乂）,N（X2，力），故，

4左2—12

4左2+3

故直线，"=^（x+2）,3：尸歹2（x+2）,W:y=-\（x-2）,

x2+2再一2

8N:.v=V（x-2）,

x2-2

左”2）F

例/+2X-6石

联立，，可得Xp-2

-^U-2）3%+%-4

y=

x2-2

%

y=•（x+2）

工2+2/_4x^+2玉-6X

联立（一「可得「一2^2

必

片

X]—2

4X1X2+2（再+/）-8项例/-6（再+%2）+8%

3（再+/）-2%—4（X|+12）+2X]—4

32左2一48-32左2+48

4左2+34左2+3

8-—12-8T+12

—2国

4左2+34左2+3

32/一4832/一48

—8国

4左2+34左2+3

----二0

8/C2-128/C2-12

-2国

4左2+34左2+3

•Xp="，故尸0_1_尤轴；

综上：尸轴.

10.已知抛物线C：V=2.5>0）,其焦点为为坐标原点，直线/与抛物线C相交于不

同的两点4民初为4s的中点.

⑴若P=2,M的坐标为（1,1），求直线I的方程.

（2）若直线/过焦点FAB的垂直平分线交x轴于点N,求证：芈”为定值.

冲I

【过程详解】（1）由题意知直线/的斜率存在且不为0,

故设直线I的方程为x-1=-1）

即X=W+1-%设Z(阳,必),5(%,%).

\x=ty+l-t,1

由<24得y—4"—4+4，=0,

U=钛

22

A=16z+16-16/=16(/-/+l)>0,y1+y2=4r,

I.4/=2,即”;.

・・・直线/的方程为2x—y—l=O.

(2)证明如下：

,/抛物线C：/=2px(p>0)焦点尸的坐标为go].

由题意知直线/的斜率存在且不为0,

•••直线/过焦点凡故设直线/的方程为x=W+5«wO),设4匹,弘),灰马，外).

P

jx=ty+—/=

由J2，得y7-2pty-p9=0,

y=^px

，%+%=2〃/,A=472/+472>o

Xj+x=+%)+22

2t{yx=2pt?+p(pt+gpt).

:・MN的方程为y-pt=-t(x-pF-

令V=o,解得X=+学,N(必2+#,0),

\MN^=p2+p2t2,\FN\=pt2+^---^=pt2+p,

,2|ACV|22(/+/〃)

7=2p，为定直

pt~+p

22

11.(2023届河北省邯郸市大名县第一中学高三月考)己知椭圆C:会+方=1(。>6>0)的

左、右焦点分别为4,弓左顶点为/(-2,0),离心率为弓.

⑴求C的方程；

(2)若直线/：尸Mx+1)化片0)与C交于点。旦线段4CUE的中点分别为尸,。.设过点片且

垂直于x轴的直线为,若直线0P与直线/‘交于点S，直线OQ与直线/'交于点7,求证：

厮•可为定值.

【过程详解】(1)•••椭圆C左顶点为/(-2,0),：”=2,又离心率0=反=也,"=逝，

a2

22

.•方=/―2=2,，C的方程为：土+匕=1.

42

(2)设。国乂),£仁,%),则

y=k(x+\)

由，X?j?得：(1+242)f+4rx+242一4=0,

142

贝1JA=16代一40+2后2)Q后2-4)=24/+16>0,

4422k=4

,*X1+%2="TT2F,X1X2=TT2F;

♦.,直线。尸方程为：尸？x,r：x=一行,「.s-亚，-垃

X]_2IX]_2

同理可得:

:.F\S=-2V2,

“币=8+----=8+2,2(竺乎+1)=&+2"号(网+?+1)

(占一2)(%2—2)(%1—2)(x2—2)再入2—2(再+/)+4

2M十-f+112

8+〔;+2左21切2人8+9=8」=竺,

2左2-48k,,18F33

--------r+-------r+4

1+2左21+2左2

----------»»Z$

.•.月5书7为定值

12.已知抛物线C:X?=2加(0>0)的焦点到直线/：y=2x-5的距离为罕.

⑴求C的方程；

(2)若点P在/上，尸/，m是C的两条切线,A,B是切点，直线43与/交于点。，证明：存在定点

H,使得PHLQH.

【过程详解】(1)由题可知。的焦点为(0,5),依距离公式可得

|2x0-^-5|,/7

「21_6%>如解得〃=2.

#+(-1)25

所以C的方程为x2=4y；

(2)设/&,=),5(称

由y《可知直线尸/的方程为尸¥=|_（xrj,即夕=当-].

同理直线PB的方程为了=芋一:.

>=咨_5_2,

2

联立4解得尸(土产

_xxx2

22,

_一T

若记取2-5）,则有二Mx+二x,4=⑵23一5）所以可写出直线"的方程为

=X[

(X1_X2)(y_§)=(^~_，)(x_X2)^Pyy=1-x-2z+5.

y=2x-5,

由“5与/相交可知—联立]=3-2，+5可得。（等'■）.

设〃(x,y),则由尸〃，可知

而切=(……一5))卜一y-3^

=y—^(^-^^-(2^-5))-((r-4)^-4(^-5),(^-4)^-(3/-20))

-~~~-(^-x,2z-(y+5))-((x-4)Z-4(x-5),(y-3)^-4(j^-5))

=-------4)/2_(x?-20)t+4x(x-5)+2(y-3)/-(「+10jv-55、+4(y+5)(y_5)]

=-r(x+2j;-10)/2-(x2+/+10j；-75)Z+4(x2+j；2-5x-25)l=0

’-4L」

上式关于，恒成立当且仅当

x+2〉-10=0,

<x2+/+10y-75=0,

+>2—5x—25—0.

,=0,[x=8,

解得<或,

[y=5[y=i-

因此，存在定点H(0,5)或“(8,1),使得PHLQH.

13.设。为坐标原点用圆C:捺+/=1(。>6>0)的离心率为半，且过点(0,1).

(1)求C的方程；

“3

(2)若直线/：、=@+机与。交于P,。两点，且△。尸0的面积是万,求证：2m2-k?=9.

22

【过程详解】(1)因椭圆C:'+2=l(a>"0)过点(0,1),则6=1,又椭圆C的离心率为

2A/2

；-4=述，解得0=3,

所以C的方程为卷+/=1.

（2）依题意，加片0,由x+9-V=9消去x并整理得：（公+9）/+2初沙+〃/-9=0,

［x=ky+m

A=4k2m2-4（左2+9）（加2—9）=36（左？+9-m2）>0,

-2km

2

设尸(士,必),。(々,力),则<k+9

2-9

于是得।PQ|=7I7F.，(“+为)2一4了跖=+9也，点0到/的距离

K।y

因此“。蛇=；闿”=亚邛三"^=?即4--4苏伊+9)+仔+9)2=0,

整理得［2/-俨+9)了=0,即2/-左2=9,显然2〃/一左2=9满足A>0,

所以2疗一左2=9.

14.(2023届福建师范大学附属中学2023届高三上学期月考)在平