2025年高考数学一轮复习：常用逻辑用语 练习题

2025年高考数学一轮复习练习题含答案解析

第2节常用逻辑用语

考试要求1.理解充分条件、必要条件、充要条件的含义.2.理解判定定理与充分

条件的关系、性质定理与必要条件的关系.3.理解全称量词命题与存在量词命题的

含义，能正确对两种命题进行否定.

知识诊断•基础夯实

【知识梳理】

1.充分条件、必要条件与充要条件的概念

若pnq,则夕是q的充分条件,q是p的必要条件

p是q的充分不必要条件p=q且q?

〃是〃的必要不充分条件夕今q且qnp

。是。的充要条件pQq

p是q的既不充分也不必要条件p4q旦q、p

2.全称量词与存在量词

⑴全称量词：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用

符号“宜’表示.

⑵存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，

并用符号“3”表示.

3.全称量词命题和存在量词命题

名称全称量词命题存在量词命题

结构对M中的任意一个X,有p(x)成立存在M中的元素x,p(x)成立

简记YxRM,.(X)p(x)

否定p(x)YxGM,

［常用结论］

1.区别4是B的充分不必要条件且B分/),与/的充分不必要条件是以乃今4

且/分5)两者的不同.

2.p是q的充分不必要条件，等价于㈱q是㈱P的充分不必要条件.

3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.

4.命题夕和㈱夕的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题

的否定的真假.

【诊断自测】

1.思考辨析（在括号内打“♦”或“X”）

（1）至少有一个三角形的内角和为兀是全称量词命题.（）

（2）写全称量词命题的否定时，全称量词变为存在量词.（）

（3）当夕是q的充分条件时，q是夕的必要条件.（）

（4）若已知P：x>l和q：xNl,则P是q的充分不必要条件.（）

答案⑴X（2）V（3）V（4）V

解析（1）错误，至少有一个三角形的内角和为兀是存在量词命题.

2.（必修一P22习题L4T2改编）命题“三角形是等边三角形”是命题“三角形是等

腰三角形”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

解析由“三角形是等边三角形”可得到“该三角形一定是等腰三角形”，但反

之不成立.

3.（必修一P30例4（3）改编）命题“有一个偶数是素数”的否定是.

答案任意一个偶数都不是素数

4.使一2<xV2成立的一个充分条件是.（答案不唯一，写出一个即可）

答案0<x<2（答案不唯一）

解析只要是｛x|—2<x<2｝的一个子集都是使-2<x<2成立的充分条件，如一2

<x<2,或0vx<2等.

考点突破•题型剖析

考点一充分、必要条件的判断

例1（1）（2022・浙江卷）设x©R,则“sinx=l”是“cosx=0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

解析由sinx=1,得x=2E+；(左GZ),

则cos12®+J=cos-=0,故充分性成立；

2

又由cosx=0,得x=E+；(左©Z),

此时sin[E+f|=±l,故必要性不成立.

(2)(2023・泰安模拟)下列选项中，p是q的必要不充分条件的是()

A.p：a>\,q：flx)=logax(a>0,且aWl)在(0,+8)上为增函数

B.p：a>l,b>\,q-.J(x)=ax-b(a>0,且aWl)的图象不过第二象限

C.p：x22且q：x2+j2^4

D.p：a-\-c>b-\-d,q：a>b且c>d

答案D

解析对于A,2是q的充要条件；

对于B,函数於)=〃-b的图象不过第二象限，则a>l,l-b^0,即a>l,b^l,

所以P是q的充分不必要条件；

对于C,2是q的充分不必要条件；

对于D,结合不等式的性质知?是q的必要不充分条件，D符合题意.

感悟提升充分、必要条件的两种判定方法：

(1)定义法：根据夕nq,q/进行判断，适用于定义、定理判断性问题.

(2)集合法：根据p,q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉

及参数范围的推断问题.

训练1(1)(2022•石家庄一模)已知xGR,则“xV—1”是“/>1”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

解析由》〈一1可得》2>1;

由X2>1可得X>1或X<—1,

所以“X<—1”是“好>1”的充分不必要条件.

（2）（2023•福州调研）已知a£R,若集合M={1,a},N={-1,0,1},则“MEN”

是“a=0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案B

解析若MQN,则a=0或a=-1,

故由/GN推不出a=0,

反之，若。=0,则力gN,

故“MJN”是“a=0”的必要不充分条件.

（3）（多选）（2023•怀化一诊）下列命题为真命题的是（）

A.“a>b”是“a/'b/”的必要不充分条件

B.“a>b”是的充要条件

ab

C."a©尸n。”是“。©尸”的充分不必要条件

D.“x或了为有理数”是“孙为有理数”的既不充分也不必要条件

答案ACD

解析对于A,由a>b^/ac2>bc2,由则是"cKAbc。"

的必要不充分条件，A是真命题；

对于B,若a>0,/?<0,则由a>b得不到』<：,B是假命题；

易知C,D是真命题.

考点二充分必要条件的应用

例2已知集合4=>兴―8%—20W0},非空集合B={%|1一加加}.若x^A

是的必要条件，求加的取值范围.

解由X2—8x—20W0,得一2WxW10,

・・・/={x|—2WxW10}.

由是的必要条件，知

1一加W1+加,

则T—加2—2,'OW加W3.

1+加W10,

即所求机的取值范围是[0,3].

迁移本例中，若把是的必要条件”改为是的充分不必

要条件”，求机的取值范围.

解，.、©幺是的充分不必要条件，二幺B,

1一加W1+掰1—

则T一加W—2,或•1一机<—2,

l+m>101+加三10,

解得机三9,故机的取值范围是[9,+°°).

感悟提升充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需

注意：

(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间

的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.

(2)要注意区间端点值的检验.

训练2(2023•衡水调研)若集合[={布>2},B={x\bx>l],其中6为实数.

(1)若4是B的充要条件，则b=；

(2)若Z是8的充分不必要条件，则6的取值范围是.

(2)['+s](答案不唯一)

答案(1)|

解析(1)由已知可得幺=5,

则x=2是方程反=1的解，解得，=£

(2)若幺是8的充分不必要条件，则ZB,

所以6>0,且;<2,所以

b2

则b的取值范围是11+°01

考点三全称量词与存在量词

角度1含量词命题的否定

例3(1)(2023・天津模拟)已知命题p：VxGR,sinxWl,则()

A.^p：3x^R,sinx^lB.㈱p：Vx^R,sinx^l

C.㈱p：sinx>lD.㈱p：Vx^R,sinx>l

答案C

解析命题0为全称量词命题，则㈱p：2x£R,sinx>l.

(2)已知命题p：〃2三2〃+5,则㈱夕为()

A.V〃GN,〃2三2〃+5B.m〃©N,/W2〃+5

C.VZJGN,n2<2n+5D.于z©N,n2=2n+5

答案C

解析幺弟P为V〃©N,n2<2n~\-5,所以C正确.

角度2含量词命题的真假判断

例4(多选)下列命题是真命题的是()

A.BaGR,使函数在R上为偶函数

B.VxGR,函数y=sinx+cosx+\/2的值恒为正数

C.SxER,2x<x2

D.VxG(O,+°°),>logx

i

答案AC

解析当。=1时，了=2工+2二为偶函数，故A为真命题；

y=sinx+cosx+/=A/2sin141+啦，

当sin[+J=-1时，y=0,故B为假命题；

当x©(2,4)时，2"<x2,故C为真命题；

当x=g时，。3©(0,1),log1=1,

1

3

所以Ogviog：,故D为假命题.

1

角度3含量词命题的应用

例5(2023,长春调研)已知命题“mxGR,mx2—mx-\-1^0^,是假命题，则实数机

的取值范围是.

答案[0,4)

解析由题意得“Vx©R,mx2-mx-\-1>0v为真命题.

当机=0时，1>0,符合题意；

.,.\m>0,

当m^O时，有，

.(一m)2-4m<0,

解得0<小<4.综上，0W机<4.

感悟提升1.含量词命题的否定，一是要改写量词，二是要否定结论.

2.判定全称量词命题“Vx《M,p⑻'是真命题，需要对集合初中的每一个元素x,

证明p(x)成立；要判定存在量词命题“五©〃，p(x)”是真命题，只要在限定集合

内找到一个X,使p(x)成立即可.

3.由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的含义，利用函数的最值求参数的

范围；二是利用等价命题，即夕与㈱P的关系，转化成㈱夕的真假求参数的范围.

训练3(1)命题p：“有些三角形是等腰三角形”的否定是()

A.有些三角形不是等腰三角形B.有些三角形可能是等腰三角形

C.所有三角形都不是等腰三角形D.所有三角形是等腰三角形

答案C

解析命题p：”有些三角形是等腰三角形”，则幺患P是“所有三角形都不是等

腰三角形”.

(2)(多选)下列命题为真命题的是()

A.VxGR,2厂>0B.VxEN*,(%-1)2>0

C.SxeR,lgx<lD.3xeR,tanx=2

答案ACD

解析当x©N*时，x—1©N,可得(x—1)2三0,当x=l时取等号，故B错误；易

知A,C,D正确.

(3)(2023・临沂联考)若命题"icoGR,端+2函+2—a=0”是真命题，则实数a的

取值范围是.

答案(一8,-2]U[1,+8)

解析命题''mxo©R,x8+2axo+2—a=0”是真命题，

则/=4序一4(2—a)20,解得aW—2或

所以实数。的取值范围是(一8,-2]U[1,+8).

分层精练•巩固提升

【A级基础巩固】

1.（2022•辽宁名校联考）命题'Fx>0,炉―2网<o”的否定是（）

A.3x>0,X2—2|x|^0B.ltWO,x2-2|x|^0

C.Vx>0,x2—2|x|^0D.VxWO,x2—2|x|^0

答案C

解析由存在量词命题的否定为全称量词命题知'Fx>0,x2-2\x\<0,,的否定为

uVx>0,X2—2|x|^0，,.

2.（2023•烟台、德州一模）设x,yCR,则“xVl且了<1”是ux+y<2n的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

解析由x<l且><1可得x+y<2.

反之，则不能.故x<l且y<l是x+y<2的充分不必要条件.

3.（2023・汉中质检）下列命题中的真命题是（）

A."a>l,6>1”是“ab>l”的必要条件

B.Vx©R,廿三0

C.VxER,2x>x2

D.“a+b=O”的充要条件是“？=—1”

b

答案B

解析对于A,a>\,b>l可证仍>1,反推则不能，故”。>1,b>l”是“ab

>1”的充分不必要条件，故A为假命题；

对于B,VxER,ex>0恒成立，故B为真命题；

对于C,当x=-2时，2、=；<（—2）2=4,故C为假命题；

对于D,®=-1可知a+b=O且6W0,故D为假命题.

b

4.（2023•江西九校联考）已知pVxE[3,4）,x2-^^0,则夕成立的一个充分不必

要条件可以是（）

A.tz<9B.a>9

C.tz<16D.Q>16

答案A

解析aWx2在区间[3,4）上恒成立，所以aW9,所以结合选项可知?成立的一个

充分不必要条件可以是a<9.

5.（2023•深圳模拟）设实数。>0,则“2。>2”是“log（3+』〉0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

解析由2。>2,得。>1；

由log["+j>0,可得10g["+j>10gal,

a>1,0<6/<1,

所以Z+1>1或0<a+l<l,

2I2

解得a>1或

2

因此“2。>2”是“log["十』>0”的充分不必要条件.

6.（2023・连云港模拟）已知x£R,则“一3WxW4”是“坨①一》一2）W1”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案B

解析由题意得0Vf—x—2W10,

解得一3Wx<—1或2<xW4.

7.（2022•山东省实验中学质检）设a©R,则“sina=cosa”是“sin2a=1”的

（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案C

解析若sina=cosa,

则tana=l,a=for+；（左@Z）,

kn+-.兀

得sin2a=si4sin—二1成立;

2

反之，若sin2a=1,则2a=2E+；(左GZ),

所以a=E+：(左GZ),得sina=cosa,

则"sina=cosa"是"sin2a=1”的充要条件.

8.已知命题“存在x()e{x[l<x<3},使等式端一祖xo—1=0成立"是假命题，则

实数机的取值范围为()

F8.1F8,1

+0°+0°

A.L3JB.(—8,O)UL3J

H8.1

c.(—8,0]D.(—8,0]UL3J

答案D

解析“存在xo£{x|l〈xV3},使等式

高一加1=0成立"是假命题，

则对任意{RIVx<3},/一加工一1wo恒成立，

即加力在工£(1,3)上恒成立.

x

因为了=X—1在(1,3)上单调递增，

x

所以x—lc[0,3]则机W0或机>8,

x3

F8.1

——~OOI

即实数掰的取值范围为(一8,0]u13'J.

9.命题“Vx£(l,+8),%2+%〉2"的否定是.

答案3x^(1,+°°),N+%W2

10.设命题p：x>4；命题q：5%+4三0,那么p是q的条件(填“充

分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”).

答案充分不必要

解析由12—5%+420得或x>4,

可知{x|x>4}是{x|xWl或xN4}的真子集，

所以p是q的充分不必要条件.

11.(2023,日照检测)直线x—y—k=O与圆(%—1)2+产=2有两个不同交点的充要条

件是.

答案T<k<3

解析直线X—y—左=0与圆（X—1）2+俨=2有两个不同交点等价于此二<也,

解得一1〈左<3.

12.已知命题P：Vx©R,x2—。三0；命题q：mxGR,x2+2tzx+2—a=0.若命题p,

q都是真命题，则实数a的取值范围为.

答案（一8,-2]

解析由命题P为真，得aWO；

由命题q为真，得/=4次一4（2—a）20,

即aW—2或°巳1,所以aW—2.

【B级能力提升】

13.（2023・湖南名校联考）已知“aWxWa2+l”是“一2WxW5”的充分不必要条

件，则实数。的取值范围是（）

A.[-2,+8）B.[-2,2]

C.（—2,2]D.（—2,2）

答案C

解析设Z={x|aWxWq2+l},8={x|—2WxW5}.

若“aWxW屋+1”是"一2WxW5”的充分不必要条件，

一2,

则ZB,则,，等号不同时成立，

■+1W5,

解得一2<aW2,故选C.

14.（多选）（2023・临沂模拟）下列四个条件中，能成为的充分不必要条件的是

（）

A.xc2>yc2B.-<-<0

xj

C.|x|>[y|D.lnx>lnj

答案ABD

解析对于A,若比2>/2,则则x>y,反之，x>y,当c=