2025年高考数学一轮复习：利用导数研究函数的单调性、极值和最值（八大考点）（原卷版）

利用导数研究函数的单调性、极值和最值

(8大考点80题)

原老堂先宽

利用导数研究函数的单调性、极值和最值

晶方端技巧及考点物【依

考点01:利用导数求函数的单调区间

求已知函数(不含参)的单调区间

①求y=/(幻的定义域

②求/'(X)

③令/'(x)>o,解不等式，求单调增区间

④令/'(x)<0,解不等式，求单调减区间

注：求单调区间时，令/'(x)>0(或/'(x)<0)不跟等号.

1.己知函数〃x)=2x-31nx+2022,则/(x)的单调递减区间为()

卜H)B.讨—|)D.

2.函数〃x)=x-21nx的单调递减区间是()

A.(-8,2)B.(2,+oo)

C.(0,2)D.(-8,0)

3.函数〃x)=(x-3)e，的单调递增区间是()

A.(-oo,2]B.[0,3]C,[1,4]D.[2,+oo)

4.函数〃x)=/-lnx单调递减区间是()

AO「近1

A.0,--B,—,+°o

I2」L2J

5.已知函数/(x)=x+hw,其导函数为/'(x).

⑴求/(x)在(1,1)处的切线方程；

(2)求g(x)=/(x)+2广(x)的单调区间.

6.已知函数/(x)=lnx-q+l(其中。为常数).

X

(1)当"=-1时，求函数/(幻的单调区间;

⑵求函数/(X)在xe口,2］上的最小值.

7.已知函数/(x)=|/,\SeR).

ln^x+a)

⑴当。=0时，求函数“X)的单调区间；

(2)当。=1时，证明：/(x)<|x+l；

(3)若/(x)既有极大值又有极小值，求实数。的取值范围.

8.设函数/(x)=x2-(a+2)x+alnx(aeR).

⑴若x=3是/(x)的极值点，求a的值，并求，(幻的单调区间;

⑵讨论的单调性；

⑶若求。的取值范围.

9.已知函数/(x)=l+’+alnx(a>0)

(1)求函数/(X)的单调区间；

(2)函数/(x)有唯一零点X,,函数g(x)=x-sinx-二在R上的零点为X2.证明：xt<x2.

e'

10.已知函数/(x)=x+ln(ax)+'xe”.

⑴当a=l时，求曲线丁=/("在点处切线的斜率;

⑵当a=-l时，讨论〃x）的单调性.

考点02:求已知函数的极值与最值

1.函数的极值

⑴函数的极小值：

函数了=兀0在点X=a的函数值无。）比它在点x=a附近其他点的函数值都小，/'（°）=0；而

且在点x=。附近的左侧，（x）＜0,右侧/（x）＞0.则。叫做函数》=加）的极小值点，丸0叫做

函数了=兀0的极小值.

（2）函数的极大值：

函数y=/（x）在点X=6的函数值比它在点X=b附近其他点的函数值都大，（6）=0；而

且在点x=b附近的左侧，（x）＞0,右侧，（x）O.则6叫做函数y=#x）的极大值点，黄6）叫做

函数y=/（x）的极大值.

（3）极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.

2.函数的最大（小）值

（1）函数段）在区间［a,切上有最值的条件：

如果在区间［。，切上函数了=/（x）的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.

⑵求y=於）在区间［a,可上的最大（小）值的步骤：

①求函数＞=/（元）在区间（a,6）上的极值；

②将函数y=/（x）的各极值与端点处的函数值负a）,负6）比较，其中最大的一个是最大值，最

小的一个是最小值.

11.函数〃无）=$3+--3》+1,则下列结论错误的是（）

A.在区间（0,2）上不单调B.有两个极值点

C./（X）有两个零点D./（X）在（-？0）上有最大值

12.函数〃无）=31nx+；x2-4x的极大值为（）

一57

A.—2B.-C.—3D.—

22

13.函数/(x)=lnx—/的极大值为()

1

A.一一7B.0C.eD.1

e

14.若函数/(尤)=^/+彳2_1在(a,a+5)上存在最小值，则实数0的取值范围是.

15.已知函数〃x)=e'(2xT),若方程〃x)-左=0有2个不同的实根，则实数%的取值范

x-1

围＞.

16.已知函数/(x)=e「aln(x+l)的图象在点(0J⑼)处的切线过点(2,1).

(1)求实数。的值；

⑵求“X)的单调区间和极值.

17.已知函数/(力=/+alnx.

⑴当a=-2时，求函数“X)的图象在点(e/(e))处的切线方程

(2)当。=一2时,求函数的极值

⑶若g(x)=/(x)+：在口,+8)上是单调增函数，求实数a的取值范围.

18.已知函数/(x)=x+ln(ax)+—xe"(a<0).

⑴求函数/(x)的极值；

(2)若集合｛x|/(x)2-1｝有且只有一个元素，求。的值.

19.已知函数/O)=lnx—x.

2

⑴求函数g(x)=/(x)+2x-41nx——的单调区间和极值;

⑵若不等式/(%)«("1)X+1在(0,+8)上恒成立，求实数。的取值范围.

20.已知/（无）=-^.

（1）求人X）的单调区间，并求其极值；

⑵画出函数/（X）的大致图象；

（3）讨论函数g（x）=-a+1的零点的个数.

考点03:已知函数在区间上递增（递减）求参数

已知函数f（X）在区间D上单调

①已知/（X）在区间。上单调递增OVxeD,/'（X）2O恒成立.

②已知/（x）在区间。上单调递减oVxeD,/'（x）40恒成立.

注：1.在区间内/'(x)>0(/'(x)<0)是函数/(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条

件；

2.可导函数“X)在区间(。,6)是增(减)函数的充要条件是：\/xe(a,b)都有

r(x)20(广(x)W0),且f\x)在(a,b)的任意一个子区间内都不恒为0；

3.由函数在区间(a,6)是增(减)函数，求参数范围问题,可转化为/，(无)20仍(x)10b恒

成立问题求解.

21.若函数〃X)=。加7的单调递增区间是(0,2),贝()

A.-2B.--C.vD.2

22

22.已知函数在(1,+口)上单调递增，则实数用的取值范围是()

3x-1

A.(-oo,-l]B.|-oo,-7C.[-l,+oo)D.二，+81

I4」L4)

23.已知函数〃力=1门-尔+工在区间口，幻上单调递增，则实数。的最大值是()

A.1B.—C.-D.；

842

24.已知函数/(x)=x3_#+x-5在R上单调递增，则〃的最大值为()

A.3B.-3C.V3D.-V3

25.已知函数/(X)=X1IUT〃X2为定义域上的减函数，则小的取值范围是()

A.；,+8)B.(0,1]c.[1,+co)D.[e,+00)

/、x.Inx.-x.Inx-

26.若对任意的网、％e(0,/M),且不>%,---=~=---->3,则m的最大值是_____.

%2—X]

27.已知函数/(%)=/+(1-2)/-2%+5在区间(3机-1,加+2)上不单调，则机的取值范围

是.

28.若函数/(x)=xsinx+cosx-；ax2在(0,+oo)上单调递增，则实数。的取值范围为.

29.已知函数/(工)=、山(％+1)--+办(。£1^).

⑴若/(%)在定义域内是单调函数，求Q的取值范围；

(2)若/(%)有两个极值点3，%2,求证：再+X2>0.

30.已知函数/⑺=白?一2a21nx

(1)写出函数的定义域，求当。=1时〃X)的单调区间；

(2)若。＞0,〃x)在区间(0,2)上为减函数，求。的取值范围.

考点04:已知函数存在单调区间或在区间上不单调求参数

已知函数/(X)在区间。上不单调0使得广(x0)=o(且/是变号零点)

31.函数〃x)=(l-x)lnx+G在。,+8)上不单调的一个充分不必要条件是()

A.ae(l,+co)B.ae(-oo,0)C.ae(0,+oo)D.ae(-l,+co)

32.已知函数/(x)=ax+lnx+3在区间(1,2)上不单调，则实数。的取值范围是()

A.(-2,-1)B.［-I,-；)C.-1,-|D.［J

33.已知函数/(x)=lnx-ax-2在区间(1,2)上不单调，则实数。的取值范围为()

A.即B.gl)

，SiD.［，号

34.已知函数在(L+8)上不单调，/(%)="+—则实数〃的取值范围是()

A.B.(0,1)C.(1,+s)D.

35.已知函数/'(x)=；/+x2+x+3在［0,2］上不单调，则°的取值范围是()

36.已知〃x)=-；/+6x-81nx在［加,加+1］上不单调，则实数加的取值范围是()

A.(1,2)B.(3,4)C.(l,2］u［3,4)D.(1,2)U(3,4)

37.已知函数/(%)="2+—在。,+8)上不单调，则实数〃的取值范围是()

A.(fl)B.(0,1)C.(1,+»)D.(03

38.已知函数"X)=-2x(aeR).

⑴若a=2,求函数的极小值；

(2)讨论函数〃x)的单调性；

(3)若/(3)=3,令g(x)=/(x)+mlnx,且g(x)在(0,夜］上不单调，求实数加的取值范围.

39.已知函数/(x)=e「a(x+l),aeR,若〃x)在［0,1］上不单调，求a的取值范围.

40.已知函数=6在产_1处取得极大值，且极大值为3.

(1)求的值：

⑵求/(x)在区间(加,2机-1)上不单调，求加的取值范围.

考点05:利用函数的单调性比较大小

核心思想一：由/(》)=皿引出的大小比较问题

如图所示:

①/(x)=皿在(o,e)T在(e,+oo)J,在X=e时，取得最大值且为-

xe

②极大值左偏，且f(2)=f(4)

aba

③若0<b<a<e9贝ij=bInQ〉aInb=>In>\nb=>a>b

ab

若e<6<a<+8,贝!]^=>Z?In(7<ainb=In。'<lnZ?aab<ba

ab

口诀：大指小底永为大(大小指e)

心思想二：对数等比定9)

_-_InxInymlnx+zzlnyInz

log,x=log,y=logm,nz=>-----=------=--------------------

Ina]nbm]na+n]nbmlna+nlnb

nmInx+z?Injlnx"+lny〃__Inz

z=xmyn

mlna+nlnbmlna+nlnbmlna+nlnbmlna+nlnb

41.若函数函%)对任意的xsR都有都(x)</(%)+2成立,则27(ln2)与/(21n2)-2的大小

关系为()

A.2/(ln2)>/(2In2)-2B.2/(ln2)</(21n2)-2

C.2/(ln2)=/(21n2)-2D.无法比较大小

42'已知则下列有关a”的大小关系比较正确的是()

A.c<b<aB.b<a<cC.a<b<cD.a<c<b

43.比较。=工-詈，6=lnL2,c=74T的大小关系为()

10115e

A.a>c>bB.b>c>a

C.b>a>cD.a>b>c

44.若函数/(x)对任意的xeR都有/'(x)</(x)恒成立，则2/(2)与e'/Qn2)的大小关系正

确的是()

22

A.2/(2)>e/(ln2)B.2/(2)=e/(ln2)

C.2/(2)<e2/(ln2)D.无法比较大小

45.对于一些不太容易比较大小的实数,我们常常用构造函数的方法来进行，如，已知a=6小,

b=7",c=8ln3,要比较b,C的大小,我们就可通过构造函数/㈤=，川(11-乃来

进行比较，通过计算，你认为下列关系正确的一项是()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a

46.已知.=6，6=ln（括+1）,0=二后，试比较。，b,。的大小（）

A.a>c>bB.a>b>cC.b>a>cD.c>b>a

47.我们比较熟悉的网络新词，有"取"'、"内卷”、“躺平”等，定义方程〃x）=/'（x）的实

数根X叫做函数/（X）的“躺平点”.若函数g（x）=e，一X,/z（x）=lnx,0（x）=2023x+2023

的“躺平点”分别为a,b,c,则a,b,c的大小关系为（）

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.c>b>a

51-2

48.设a=ln—,b=—,c=e4,比较。也。的大小关系（）

44

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>b>aD.c>a>b

1ln2ln3

49.已知。=/,“（「”片厂，试比较3的大小关系（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.a<c<bD.c<b<a

50.已知4=工,/?=«1。-l,c=Win”,，试比较。也。大小关系（）

999

A.b>c>aB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a

考点06:利用函数单调性处理抽象不等式

单调性定义的等价形式

（1）函数/（X）在区间[a用上是增函数：

o任取X],%e,且Rax2,都有/（匹）一/（匕）<0；

o任取e,且％]片％2，―/（%）>0；

x1-x2

o任取X],%e[a,b],且再wx2,（七一马）[/（》J一/（%）]>°；

o任取玉,x,e[a,b],且x】wx2,/―；>0.

（2）函数/（x）在区间[a用上是减函数:

o任取X],%e[a,b]都有/(xj-/(%)>0；

,且X1<x2,

/(xj-/(%)二0.

o任取再,％e[a，、]，且X]

o任取X],%e[a,b],且X]wx2,(X]-％)[/(再)一/(%)]<0；

o任取X1,%eL，”，S.x1x2,“；<0.

定义法判断函数奇偶性

判断了(-X)与/(X)的关系时，也可以使用如下结论：

如果/(f)—/(X)=0或与?=l(/(x)N0),则函数/(x)为偶函数;

利用单调性、奇偶性解不等式原理

1、解/(%)</(〃)型不等式

(1)利用函数的单调性，去掉函数符号将"抽象”的不等式问题转化为"具体"

的不等式问题求解；

(2)若不等式一边没有函数符号而是常数(如/(机)<。)，那么我们应该将常数

转化带有函数符号的函数值再解。

2、/(x)为奇函数，形如/(加)+/(〃)<0的不等式的解法

第一步：将/(")移到不等式的右边，得到/(加)〉-/(〃)；

第二步：根据/(x)为奇函数，得到/(掰)〉/(-〃)；

第三步：利用函数的单调性，去掉函数符号列出不等式求解。

51.已知函数“x)Tn(e*+eT),关于x的不等式，、*""汨的解集为[凡+⑹，则

ea-1+ln(-6z)=()

A.-2B.-1C.0D.1

52.若函数/(x)=lnx与g(x)=；oxT(a>0)的图象有且仅有一个交点，则关于x的不等式

〃x-4)<"1一57的解集为()

A.(-8,5)B.(5,+<»)C.(5,6)D.(4,5)

/、x2+(a+\\x+a,x<1/、「、

53.已知函数g(x)=.,若不等式g(x)<0的解集为卜1,+8),则实数a

cilx-1)+21nx,x>1

的取值范围为（）

A.（-co,-2]B.(-00,-1]

C.[-2,-1]D.(-2,-1]

(x-l)e-2

54.关于x的不等式aT＜。的解集中有且仅有两个大于2的整数，则实数a的取

(x-2)

值范围为（）

(161-9n

A.4e3,2eJ

“164

C.营

55.定义在（0,+e）上的函数/（x）的导函数为数（x）,若4（x）_/（x）＜0,且“2）=0,则

不等式（x-i"（x）＞o的解集为（）

A.(0,2)B.(1,2)C.(0,1)D.(2,+8)

sin-^-,xe[-l,0]

56.已知定义在R上的奇函数/（x）满足:y（x）=＜则关于x的不

一■--X3-—x2,xe(-ao,-1)

I44

等式2〃x）＞3x在xe（0,+8）的解集为（

；，加（3,6）

A.

c.Io,|ju(4,5)

57.已知函数/（力=嚏”-*+1,则不等式〃x）＞0的解集是（）

A.(0,1)B.(l,2)u(2,+®)C.(1,2)D.(2,+8)

Inxa

58.已知函数/（X）=F，关于x的不等式的解集中有且只有一个整数，则实数

a的范围是（）

.In3）

A.片，吗

仁「[21.n3/叫,八D.Fln6In2^

59.定义在（1，+8）上的函数〃X）的导函数为/（x）,且（X-1）八X）-/（x）＞x2—2x对任意

苫€（1,+00）恒成立.若〃2）=3,则不等式/回“2_%+1的解集为（）

A.(1,2)B.(2,+co)

C.(1,3)D.(3,+co)

60.已知定义在R上的奇函数满足〃2+x)=〃-x),且当xe[0,l]时尸(x)>万,则

不等式〃可〈011台在卜3,3]上的解集为()

A.[-2,0]u[2,3]B.[-1,3]

C.[-1,2]D.[-3,-2]u[0,2]

考点07:根据极值点(最值点)求参数

题型1：已知极值点求参数的值.

1.已知函数/(X)有极值点看,求参数的值或范围，一般有两种情况：

(1)由/'(%)=0可以解出参数的值，这类题较为简单，只需由/'(%)=0求出参数的值,

再代回广(X)去研究“X)的单调性，确认“X)在x=x0处取得极值即可.

(2)由广(%)=0不能解出参数的值，这类题一般需要对参数进行分类讨论，研究函数的

单调性，当/(x)的表达式较为复杂时，可能需要用到二阶导数，甚至三阶导数.

当我们知道函数的具体极值点是极大值还是极小值求参数时，也可以利用下面高观点方法,

当然，这个方法仅供有兴趣的同学了解，并非通法，它在解决一些问题时要方便一些.

2.极值第二充分条件：若叫向=/«)=0,且/"(Xo)wO,则若/"(/)<0,则

y=/(x)在X。处取得极大值；若/"(%)>0,则y=/(x)在X。处取得极小值.

3.极值第二充分条件：

(1)

若/(x)在x=x0处具有直到〃阶的连续导数，且/'(/)=/"(xo)=---=/^(xo)=O,

但/⑺(Xo)wO,贝！|：当〃为偶数时，/(%)为函数/(x)的极值，当〃为奇数时，/(x0)

不是函数/(x)的极值.

题型2：已知极值个数求参数的范围

这类问题的形式就是已知/(x,0存在几个极值点，求参数a的取值范围.这类问题实质是

考察导函数的变号零点个数，注意：是“变号”零点.通常情况下，这类问题可通过求导后

讨论导函数的零点个数来完成，首选分离参数的方法解决，若不行，再将导函数作为一个

新的函数来讨论其零点个数.

61.若函数/(耳=/+；(〃+3)尤2+"在尸_1处取得极值，则实数”的取值范围是()

A.(3,+oo)B.(一8,3)C.(-°o,3)U(3,+oo)D.[0,3]

62.已知函数/(x)=d+3加/+巾+加2在工=一1处取得极值o,贝IJ加+〃=()

A.4B.11C.4或11D.3或9

63.若函数/(')=3+3办2+1在”2处取得极值，则函数/⑺在区间[-1』上的最小值为

()

A.-1B.1C.3D.5

64.若函数/0)=。©"-，(4£r)有两个极值点演"2，且王<%2，则下列结论中不正确的是

()

X1

2

A.x2>lB.e<—

一项

C.。的范围是[o。]D.In^+lnx^O

65.若函数/(x)=『-wx有两个极值点，则实数机的取值范围为()

66.若x=l为函数/(力=。(“。)(>1)2的极大值点，则实数”的取值范围为().

A.a>\B.a<1

C."0或D.0<«<1

67.函数/(x)=x'-3x在区间(m,2)上有最小值，则加的取值范围是()

A.[-3,1)B.(-3,1)C.(-2,1)D.[-2,1)

68.已知函数“x)=(2/+办+a)e"若/(x)在x=-2处取得极小值，则口的取值范围是

()

A.(4,+8)B.[4,+oo)C.[2,+00)D.(2,+8)

2

69.已知函数〃x)=5-41nx在区间(。-1,。+4)上有定义，且在此区间上有极值点，则实

数〃的取值范围是.

70.已知函数〃X)=/+^2+3X+1,若x=-3是函数/(x)的驻点，则实数。=

考点08:导函数图像与原函数图像的关系

原函数与导函数互相判断应遵循以下步骤：

①若已知导函数判断原函数

第一步：观察导函数y轴的上下(/'(x)>0J'(x)<0),上则为递增，下则为递减.

第二步：导函数y轴的值越大，则原函数增的越快(斜率越大)

②若已知原函数判断导函数

第一步：观察原函数是上坡路还是下坡路，若为上坡路则导函数/'(x)>0,若为下坡路

则.

导函数/'(x)<0

第二步：原函数斜率越大，则导函数y轴的值越大，原函数斜率越小，则导函数y轴的值

越小.

71.已知函数“X)的导函数为了'(