2025年高考数学一轮复习：拓展拔高-指数与对数的运算-专项训练【含解析】

拓展拔高2-指数与对数的运算•专项训练【原卷版】

基础巩固练

/8+3

1.[2024•琼海模拟](5)=().

A.9B.-C.3D.—

99

2.[2024•绵阳模拟]设a=log94,则3a的值是().

A.1B.2C.4D.9

3.[2024•河南模拟]已知函数f(%)=膘泮:：<L则/(/⑴)=().

A.-4B.-2C.2D.4

4.[2024•天津模拟]已知2a=5,log83=b,则3b=(

5

2弓D-

A.25B.5C.-3

9

b贝n.

5.[2024•陕西模拟]若a>0且aW1,log3a=61og4a=c,J

dlog23=().

1

D-

A.2B.-C.33

2

6.已知实数Q,m,九满足3a=m,(2A/3)=n,a=|log2(27n+n),则2=().

A.2B.-C.3D.-

23

7.[2024•大连模拟]若实数a,b满足4a+log3a=8匕+31og27b,贝!J().

A.a<——B.a>——C.a>b3D.a<b3

22

8.[2024•河南联考]若函数/(%)=ln("G—£)为奇函数，则/(0)+/⑴=

().

A.0B.ln(V2-1)C.ln(V2+1)D.In2

综合提升练

9.(多选题)已知正数％,y,z满足3*=犷=12Z,则().

Ill

A.~~=~B.6z<3%<4yC,xy<4z2oD.x+y>4z

10.(多选题)下列结论正确的是().

A.e3+e5>e3-e5B.1g3+1g5>3-1g5

1T7T

C.2"+6>3"•5D.log310+log510>log310-log510

ln

11.e3_8U+log^+i"=

12.已知实数a,b满足4。+2a=3,log2V3b+1+b=|,则a+|b=

应用情境练

13.[2024•郑州模拟]地震释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间

的关系式为lgE=4.8+1.5M.若2地发生7.8级地震,它所释放出来的能量为Er

B地发生4.6级地震，它所释放出来的能量为多,则当是%的倍.

14.[2024•文昌预测]荧光定量PCR是一种通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩

增进程中呈指数级增加的靶标DNA进行实时监测的方法.在PCR扩增的指数时期，

当荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量X与扩增次数律满足lgX^nlg(1+

p)+lgX0,其中X。为DNA的初始数量，p为扩增效率.已知某被测标本DNA扩增6

1

次后，数量变为原来的100倍，则扩增效率p约为参考数据：10E〜

1

2.154,101x1,778)

创新拓展练

15.[2024-宜宾模拟]音乐是由不同频率的声音组成的.若音l(do)的音阶频率为

f,则简谱中七个音l(do),2(re),3(mi),4(fa),5(so),6(la),7(si)组成的音

阶频率分别是/,",%打,",争,粤/,其中后一个音阶频率与前一

8643216128

个音阶频率的比值是相邻两个音的台阶.上述七个音的台阶只有两个不同的值，

记为a，队a>B),a称为全音，0称为半音，则lga5+1g-lg2=

16.(2024.九省适应性测试)离散对数在密码学中有重要的应用.设p是素数，集合

若M,vGX,/nCN,记为uv除以p的余数，产③为除以"的余

数;设aGX,l,a,a2,0,...,aP2®两两不同，若4念=帅£{0,1,…,p-2}),则称n是以a为

底b的离散对数，记为n=log(p)«Z?.

(1)若p=ll,a=2,求成-1，取

(2)对mi,m2G{0,l,...p2},记mi㊉m2为nzi+侬除以p-1的余数(当mi+mi能被p-1

整除时,"21㊉机2=0).证明：log(p)a(Z?0C)=log(/?)aZ?®log(p)aC,^中b,CGX.

(3)已知〃=log(/7)a。.对x£X,kG{12...,-2},令〉1=淤@,〉2=》(8)/软证

明:X="豺产2)⑨

注:一般地，设n为正整数,a和b为整数，如果。和6被〃除后余数相同，那么称a

和6模〃同余，记作am(mod〃).例如,12与-6被9除后余数均为3,所以12=-6(mod

9).

拓展拔高2-指数与对数的运算-专项训练【解析版】

基础巩固练

/8+3

1.［2024•琼海模拟］(篇)=(B).

A.9B.-C.3D.二

99

［解析］偿广3=给。+3=g"-3严3=3(夕-3)(g+3)=3-2=、故选艮

2.［2024-绵阳模拟］设a=log9%则3a的值是(B).

A.1B.2C.4D.9

［解析］由a=logg%得9。=4,即32Q=4,所以3。=2.故选B.

3.［2024•河南模拟］已知函数/(%)=憎j<1'则/(/⑴)=(B).

A.—4B.—2C.2D.4

［解析］:/⑴=4-2=%.•.f(/⑴)=fG)=10g25=-2.故选B.

4.［2024・天津模拟］已知2a=5,log83=b,则3b=(C).

2S5

A.25B.5C.-D.-

93

［解析］因为2a=5,b=log83=^log23,即23b=3,所以4a-3b=葛==

34V2)

与=空.故选c.

329

5.［2024•陕西模拟］若a>0且a工l,log3a=b,log4a=。，且6=cd,则

dlog23=(A).

-1i

A.2B.-C.3D.-

23

［解析］由题意得d--=譬之=警畤=log34,所以dlog23=log34xlog23=

clog4alog。？

皿=士=2.故选A.

log32log32

6.已知实数a,nt,九满足3a=TH,(2百)0=n,a=：log2(27n+ri),则:=(A).

ii

A.2B.-C.3D.-

23

［解析］由题意得3a=m,12a=n2,

由a=|log2(2m+n),得2a=log2(2m+n),化简得2?。=2m+n,即4a=

2m+n.

因为3ax4。=12。，所以7n(27H+n)=n2,即(2zn—n)•(m+n)=0.

由指数函数的值域可得m>0,n>0,所以几=2m,即巴=2.故选A.

m

7.［2024•大连模拟］若实数Q乃满足4Q+log3Q=8b+31og27b,贝lj(A).

A.a<—B.a>—C.a>b3D.a<b3

22

［解析］由题意知，a>0,b>0.

a2ab3b

・.・4=2,8=29310g27b=log3b,:.22a+log3a=23b+jOg3/)>

3b3b

・•・22a_|_iOg3(I+iog32=2+log3b+log32,即22a_|_jOg32a=2+log32b.

・・・y=log3%在(0,+8)上单调递增，・•・log32b<log33b,

・•・22a_|_jOg32a<23b+log33b.

X

设f(%)=2+log3x,则f(2a)<f(3b).

・.・y=2%与y=log?久在(0,+8)上单调递增，f(%)在(0,+8)上单调递增，・・.

2a<3b,即a<F•故选A-

8.［2024•河南联考］若函数/(%)=皿值不^一%)为奇函数，则/(0)+/⑴=

(B).

A.0B.ln(V2-1)C.ln(V2+1)D.In2

［解析］/(—%)=In(J(-+a+%)=ln(V%2+a+%),

因为/(%)为奇函数，所以/(%)+/(—％)=0,?pln(Vx2+a—%)+

ln(Vx2+a+%)=In［(V%2+a—%)•(V%2+a+%)］=In［(x2+a)—x2］—

Ina=0,解得a=1,经检验，a=1满足题意，

所以/(%)=ln(V%2+1—%),所以f(0)+/(I)=ln(V2—1).故选B.

综合提升练

9.[2024•湖北联考]（多选题）已知正数％,y,z满足3久=4、=12Z,则（ABD）.

A.1,11B.6z<3%<4yC,xy<4z2D.x+y>4z

xyz

［解析］设3%=4y=12Z=3t>1,则％=log33y=log4t,z=log12t,

所以§+?=金+总=log*+10gt4=logt12=j,A正确；

因为If=斗翳=常=1呜29<1，所以6z<3%,

因为艺=310g3t=310gt4log「64

=log8164<1,所以3久<4y,

4y410g4t41ogt3logt81

所以6z<3%<4y,B正确;

114

因为％+y—4z=log3t+log4t—41og12t=+

logf3logt4logt12

log3+log44(log3-log4)2

tttt>0,所以％+y>4z,D正确;

logt31ogt4logt3+logt4logt31ogt4(logt3+logt4)

因为三二工+工="2则把=%+y>4z,所以xy>4z2,C错误.

zxyxyz

故选ABD.

10.［2024•陕西模拟］(多选题)下列结论正确的是(BD).

A.e3+e5>e3-e5B.1g3+1g5>3-1g5

nnnK

C.2+6>3-5D.log310+log510>log310.log510

［解析］因为22<*工=1,所以e3+<e3,e§,A错误；

因为0<均3<1,0<lg5<l,所以1g3」g5<5<均3+lg5,B正

确；

因为3口-5K=(3x5)1T>(2x6尸，23=1।1<］

(2X6)112a671'

所以311-5K>(2x6严>2K+6n,C错误;

因为瞥2警U=1_+__=5+3=15〉1,所以log310+

log3101og510log510log31088

log510>log310-log510,D正确.故选BD.

3

11.［2024•四川适应性考试］e】n-81i+logV3+1^i=^l.

［解析］*3-8H+log遮+i券=3-34X^+log^+i(8+1)T=3-3-1=

-1.

12.已知实数a,b满足4。+2a=3,log2VsF+l+b=|,则a+|b=j_.

［解析］因为log2遮』+1+匕=|,化简得log2(3b+l)+(3b+1)=3,所以

log2(3b+1)+21°g2(3b+i)=3,

又4a+2a=22a+2a=3,所以构造函数/(无)=2久+%,

因为函数y=2*,y-%在(—8,+8)上均单调递增，所以/(%)在(—8,4-00)_E

单调递增，因为/(1)=3,所以2a=log2(3b+1)=1,解得a=5b=：,所

3

以Q

+-2b=1.

应用情境练

13.[2024•郑州模拟]地震释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间

的关系式为lgE=4.8+1.5M.若2地发生7.8级地震,它所释放出来的能量为E1,

B地发生4.6级地震，它所释放出来的能量为多,则当是王2的迎倍.

［解析］由题意知1gEi=4.8+1.5x7.8=16.5,lgE2=4.8+1.5x4.6=11.7,

1651174848

所以Ei=IO,E2=IO,故含=盖1=IO,则Ei=10-E2.

14.［2024•文昌预测］荧光定量PCR是一种通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩

增进程中呈指数级增加的靶标DNA进行实时监测的方法.在PCR扩增的指数时期，

当荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量X与扩增次数n满足lgX=7ilg(1+

p)+lgX0,其中X。为DNA的初始数量，p为扩增效率.已知某被测标本DNA扩增6

1

次后，数量变为原来的100倍，则扩增效率p约为115.4%.(参考数据:105~

1

2.154,10Sx1.778)

［解析］由题意得lg(100X0)=61g(1+p)+lgX°,即2+lgXo=61g(1+p)+

1

lgXo，可得1+p=10i~2.154,解得px1.154=115.4%.

创新拓展练

15.［2024-宜宾模拟］音乐是由不同频率的声音组成的.若音l(do)的音阶频率为

f,则简谱中七个音l(do),2(re),3(mi),4(fa),5(so),6(la),7(si)组成的音

阶频率分别是/,",if,If,争,粤/,其中后一个音阶频率与前一

8643216128

个音阶频率的比值是相邻两个音的台阶.上述七个音的台阶只有两个不同的值，

记为a,队a>0),a称为全音，0称为半音，则lga5+1g-lg2=0.

［解析］因为相邻两个音的频率比值分别为

88243888

52

由题意知a=£6=翳，所以1g/+恒优_坨2=炮［(J+

2］=lg1=0.

16.(2024.九省适应性测试)离散对数在密码学中有重要的应用.设p是素数，集合

X二{1,2,…,p-1},若以v£X,冽£N，记M③丫为uv除以p的余数，严③为，除以p的余

数;设Q£X,1,Q,〃2,线…,〃夕2㊁两两不同，若。〃忿=b(ne{0,1,...,p-2}),则称n是以a为

底b的离散对数，记为n=log(p)ab.

(1)若1=11,4=2,求胪1，软

(2)对记刎㊉加2为如+侬除以p-1的余数(当mi+m2能被p-1

整除时，如㊉加2=0).证明：log(p)a(b0c)=log(p)ab^log(p)ac,^