2025年高考数学一轮复习讲义：空间直线、平面的平行（（解析版））

专题38空间直线、平面的平行（新高考专用）

目录

【知识梳理】................................................................2

【真题自测】................................................................3

【考点突破】...............................................................14

【考点11直线与平面平行的判定与性质........................................14

【考点2］平面与平面平行的判定与性质........................................24

【考点3］平行关系的综合应用................................................32

【分层检测】...............................................................43

【基础篇】.................................................................43

【能力篇】.................................................................54

【培优篇】.................................................................62

考试要求：

从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、

平面与平面的平行关系，并加以证明.

.知识梳理

1.直线与平面平行

(1)直线与平面平行的定义

直线/与平面a没有公共点，则称直线/与平面a平行.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

如果平面外一条直线

与此平面内的一条直a____aGa,bua,a//b=>a

判定定理

线平行，那么该直线与//a

此平面平行

一条直线和一个平面

平行，如果过该直线的a//a,£,。n£

性质定理7

平面与此平面相交，那Jeb=b=>a//b

么该直线与交线平行

2.平面与平面平行

(1)平面与平面平行的定义

没有公共点的两个平面叫做平行平面.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

如果一个平面内的

au£,buB,aC\b

两条相交直线与另%如/

判定定理=P,a//a,b//an

一个平面平行，那4__/

aIIB

么这两个平面平行

两个平面平行，则

其中一个平面内的/a/a//0,aua0ali

性质

直线平行于另一个/_____/£

平面

两个平面平行，如

a〃£,a(~yy=a,

性质定理果另一个平面与这

二劣必J3r\y=b=>a//b

两个平面相交,那

2

么两条交线平行

I常用结论

1.平行关系中的三个重要结论

(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a邛,则a〃及

(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若a〃6，p//y,则a〃/

(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若b±a,则。〃。

2.三种平行关系的转化

性质定理

▼判定定理判定定理I

线线平行一:笃、线面平行.一、面面平行

性质定理性质

等真题自测

一、解答题

1.（2024•全国,高考真题）如图，AB//CD,CD//EF,AB=DE=EF=CF=2,CD=4,AD=BC=y/l0,

=为cr＞的中点.

(1)证明：EM//平面

(2)求点M到ADE的距离.

2.(2023•全国•高考真题)如图，在三棱锥P—ABC中，AB1BC,AB=2,BC=2®，PB=PC=&,

3P,AP,3c的中点分别为，及O,点尸在AC上，BF1AO.

A

3

（1）求证：跖〃平面A£）O；

⑵若/PO尸=120。，求三棱锥P-ABC的体积.

3.（2023•天津•高考真题）如图，在三棱台ABC-A耳G中，4人，平面

ABC,AB±AC,AB=AC=A4,=2,4Q=1,Af为BC中点.，N为AB的中点,

⑴求证：AN〃平面AMG；

（2）求平面AMG与平面ACGA所成夹角的余弦值；

⑶求点C到平面AMG的距离.

4.（2022・全国•高考真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面

ABCD是边长为8（单位：cm）的正方形，A£A氏AEBC,AGCD,AHD4均为正三角形，且它们所在的平面都

与平面ABCD垂直.

（1）证明：砂//平面ABCD；

⑵求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）.

5.（2022・北京•高考真题）如图，在三棱柱ABC-44G中，侧面BCG与为正方形，平面8CCH，平面ABB0,

AB=BC=2,M,N分别为4瓦，AC的中点.

4

B]M

C

⑴求证：MN〃平面3CC4；

（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线A8与平面8MN所成角的正弦值.

条件①：AB1MN；

条件②：BM=MN.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

参考答案:

1.⑴证明见详解；

13

【分析】（工）结合已知易证四边形瓦匕河为平行四边形，可证四/生。，进而得证;

（2）先证明。4,平面结合等体积法%_AOE=%.EDM即可求解.

【详解】（1）由题意得，EF//MC,且所=MC,

所以四边形EFCN是平行四边形，所以EM//FC,

又CFu平面BCF,EM仁平面BCF,

所以EM〃平面BCF；

（2）取DM的中点。，连接。4,0E,因为AB//MC,且AB=MC,

所以四边形AMCB是平行四边形，所以AM=BC=JQ,

又=故八位）暇是等腰三角形，同理是等腰三角形，

可得OA_LDM,OE_LDM,OA==3,OE=[ED一=73,

又AE=2«,^^XOA1+OE2=AE2,故OAJ_OE.

又。4_LDMQEcDM=O,OE,DMu平面EDM,所以。4_L平面EDM,

易知S^EDM=£X2X6=6

5

在VAD£中，cosZDEA=土卫~~,

2x2x204

所以sin/°EA=^'凡"EA=；X2X2百义孚=与.

设点M到平面ADE的距离为d,由%_ABE=VA-EDM，

得%皿以=%回.04,得〃=吟，

故点M到平面ADE的距离为5g.

13

AB

1

。佑女二药匕)c

E‘F

2.(1)证明见解析

(2)侦

3

【分析】(1)根据给定条件，证明四边形C©所为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.

(2)作出并证明尸加为棱锥的高，利用三棱锥的体积公式直接可求体积.

【详解】⑴连接DE,QF,设AF=zAC,则丽=丽+^^(l-r)丽+f前，AO=-BA+^BC,BFLAO,

贝0旃•=[(1-f)丽+tBC]-(一丽+1BC)=(r-1)丽2+^rBC7=4(Z-l)+4r=0,

解得/=；，则/为AC的中点，由2EQ厂分别为尸员PA,BC,AC的中点，

^^DE//AB,DE=-AB,OF//AB,OF=-AB,即DE//OF,DE=OF,

22

则四边形ODEF为平行四边形，

EFIIDO,EF=DO,又EFa平面ADO,DOu平面ADO,

所以EF〃平面相＞O.

(2)过尸作RW垂直产。的延长线交于点M,

因为P8=PC,O是8C中点，所以尸O1BC,

在Rt△尸30中，PB=y16,BO=-BC=y/2,

2

所以PO7PB2-OB?=a一2=2,

6

因为AB_LBC,OP//AB,

所以Ob_LBC,又POcOF=O,尸0,0bu平面尸。/，

所以3C1平面尸0斤，又HWu平面尸0斤，

所以3C_LPM,又BCnfM=O,BC,FMu平面ABC,

所以PM_L平面ABC,

即三棱锥尸-ABC的高为PM,

因为/POP=120。，所以NPOAf=60。，

所以尸知=尸0$也60°=2*且=6，

2

又Sf=>AB.BC=Lx2x2母=2枝,

Z_X/ix5V

所以L-ABCngSaMc.尸知义括

(2)t

呜

【分析】（1）先证明四边形MN41cl是平行四边形，然后用线面平行的判定解决；

（2）利用二面角的定义，作出二面角的平面角后进行求解；

（3）方法一是利用线面垂直的关系，找到垂线段的长，方法二无需找垂线段长，直接利用等体积法求解

【详解】（1）

7

连接MN，GA.由M,N分别是BC,8A的中点，根据中位线性质，MN//AC,且威=奇=1,

由棱台性质，AQ//AC,于是MN〃AG，由MN=AG=I可知，四边形小G是平行四边形，则4”〃

MG，

又AN<Z平面GMA,MC|U平面GK4,于是〃平面AMC1.

(2)过M作MELAC,垂足为E,过E作EF，AC1,垂足为尸,连接板,C£.

由MEu面ABC,A4，面ABC,故AA]_LME,又ME_LAC,ACnAA]=A,AC,的u平面ACQA,则

ME_L平面ACCA.

由AGu平面ACG4，故ME_LAG，又EF_LAQ,MEcEF=E,ME,EFu平面AffiF,于是人弓,平

面MEF,

由MRu平面MEF,故AG_L"F.于是平面AMG与平面ACGA所成角即NMFE.

ME=-1,cosNC4C]=^^,则sinNCAC]=,故E/=lxsinNC4C],在RIAAIEF中,

NMEF=9。

(3)［方法一：几何法］

8

过C1作GPLAC,垂足为P,作CQLAM,垂足为2,连接尸Q,PM,过户作PRJ_GQ,垂足为R.

3A/2

由题干数据可得，C]A=C]C=逐，GM=JcF+PM?=亚,根据勾股定理，GQ=

~2~

由Cf,平面AMC,平面AMC,则GPLAM,又GQLAM,CienC1P=C1,弓。,弓尸匚平面弓尸。，

于是2平面GPQ.

又PRu平面C/Q,则尸又PR^GQ,CtQ^AM=Q,GQ,AMu平面CjMA,故依，平面GMA.

2.交

在RtAC/Q中，PR=今产=磊=：,

2d57Z3

~2~

又C4=2上4,故点C到平面QMA的距离是p到平面C.MA的距离的两倍,

4

即点C到平面AMQ的距离是§.

[方法二：等体积法]

辅助线同方法一.

设点C到平面AMQ的距离为瓦

V=XCPXS=X2XX

Ct-AMC~1^AMCJ2(^)="

Vv_1,Q,163垃_h

c-ctMA=-X/JXSAAMCI=-xhx-xy/2x—^-=—.

h24

由匕AMC=CMA—=即//=_.

C]—A/WCC—C]M/123，'3

9

4.⑴证明见解析;

(2)等技

【分析】(1)分别取",BC的中点KN,连接政V,由平面知识可知EM_LAB,/W_L8C,EM=FN,依

题从而可证凶0_L平面ABC。，？W_L平面ABC。，根据线面垂直的性质定理可知W〃FN,即可知四边形

EMNF为平行四边形，于是跖//MN,最后根据线面平行的判定定理即可证出；

(2)再分别取中点K,L,由(1)知，该几何体的体积等于长方体KWL-E/GH的体积加上四棱

锥3-组体积的4倍，即可解出.

【详解】(1)如图所示：

分别取的中点连接肱V,因为为全等的正三角形，所以，BC,

EM=FN,又平面£AB_L平面ABCD,平面£ABc平面ASCD=AB,EMu平面E4B,所以EW_L平面

ABCD,同理可得印，平面ABCD,根据线面垂直的性质定理可知EA/〃FN,而EM=FN,所以四边形

EMNF为平行四边形，所以EF//MN,又EF。平面ABC。，MNu平面ABC。，所以EF〃平面A3CD.

(2)［方法一］:分割法一

如图所示：

分别取AZZDC中点K,L,由（1）知，EF//MN且EF=MN,同理有，HE//KM,HE=KM,

10

HG//KL,HG^KL,GFI!LN,GF=LN,由平面知识可知，BDLMN,MNLMK,KM=MN=NL=LK,

所以该几何体的体积等于长方体KMNL-EFGH的体积加上四棱锥3-MNFE体积的4倍.

因为MN=NL=LK=KM=4亚,EM=8sin60。=4有，点B到平面肱VFE的距离即为点B到直线建V的距

离d,d=2也，所以该几何体的体积

V=（4&yx4K+4x；x4&x4gx2万=1286+争相=等技

［方法二］:分割法二

如图所示:

连接AC,BD,交于0,连接0EQFQGQH.则该几何体的体积等于四棱锥0-EFGH的体积加上三棱锥A-0EH的4

倍,再加上三棱锥E-0AB的四倍.容易求得，0E=0F=0G=0H=8,取EH的中点P,连接APQP.则EH垂直平面

AP0.由图可知，三角形AP0,四棱锥0-EFGH与三棱锥E-0AB的高均为EM的长.所以该几何体的体积

V=1.473-（4^）2+4-1-4^-^-472-473+4-1-473—4^-472=-^^.

5.⑴见解析

（2）见解析

【分析】（1）取A3的中点为K,连接可证平面MKN〃平面BCC4,从而可证〃平面5CG4.

（2）选①②均可证明3月，平面A3C,从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可求线面

角的正弦值.

【详解】（1）取AB的中点为K,连接”K,NK,

由三棱柱ABC-44G可得四边形山狙4为平行四边形，

而耳M=肱4,,BK=KA,则MK//BBt,

而MKz平面5CG耳，5用（=平面3。。1瓦，故〃平面3。。1月，

11

而CN=NA,BK=KA,则隧〃3C,同理可得NK〃平面BCC出，

而NKnMK=K,NK,MKu平面MMV,

故平面MKN〃平面BCG耳，而MNu平面MKN,故MN〃平面BCC4,

(2)因为侧面8CC用为正方形，故圆，84，

而CBu平面BCQBi,平面CBBg1平面ABB^,

平面CBB©c平面ABB{\=BB1,故CB，平面ABB^,

因为NKHBC,故NKJL平面ABB14，

因为ABu平面A84A，故NKLA5,

若选①，则ABLMZV,而NKCMN=N,

故平面MAK,而AIKu平面MNK,故AB_LMK,

所以ABLB4，而CB_L8耳，CBcAB=B,故8耳，平面A3C,

故可建立如所示的空间直角坐标系，则3(0,0,0),4(0,2,0),N(l,1,0),加(0,L2),

故丽=(0,2,0),丽=(1,1,0),丽=(0],2),

设平面BNM的法向量为n=(x,y,z),

n-BN=0fx+y=0-.、

则c，从而c八，取Z=—1,则"=一2,2,-1),

n-BM=0[y+2z=0''

设直线AB与平面BMW所成的角为凡则

sin6=|cos(〃,AB)|=g.

若选②，因为NKHBC,故NK,平面AB4A，而KMu平面

故NKLKM,而B[M=BK=1,NK=1,故B、M=NK,

而B1B=MK=2,MB=MN,故,ABB】M三AMKN,

所以=/MKN=90。，故4与_18片，

而CB1BBj,CB(->AB=B,故2片_1,平面ABC,

故可建立如所示的空间直角坐标系，则3(0,0,0),4(0,2,0),N(l,1,0),Af(O,L2),

故丽=(0,2,0),丽=(1,1,0),丽=(0,1,2),

设平面BNM的法向量为n=(x,y,z),

12

n-BN=O[x+y=0，一/、

则从而[尸2z=。'取z—则〃=（-22-1），

n-BM=0

设直线AB与平面3MW所成的角为6,则

【考点1】直线与平面平行的判定与性质

一、单选题

1.（2024•江西景德镇•三模）已知。，b是空间内两条不同的直线，a,ft,/是空间内三个不同的平面,

则下列说法正确的是（）

A.若＜z_L，，auct,则

B.若a10,a（3,则aPa

C.若ac尸=a,aLy,尸_L/,则

D.若a_L£,ac\f3=a,b±a,则或6，。

2.（2024•内蒙古・三模）设a,4是两个不同的平面，m,/是两条不同的直线，且戊。/7=/贝〃加/〃"是"机〃£

且加/a"的（）

A.充分不必要条件B.充分必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

二、多选题

3.（2024・湖北黄冈•模拟预测）如图，正方体ABCD-A耳GA的棱长为3,点E、EG分别在棱。4,A6,

D.ED.F1_*_.

4A上，满足KT=7Tk=£，4G=XAA,记平面EFG与平面431c。的交线为/,贝（j（）

Jy,/i|iy,Cz.J

13

A.V2e（O,l）,AC〃平面E/G

B.平面印G截正方体所得截面图形为六边形的充分不必要条件是4e（0,1）

C.4=（时，三棱锥A-EFG的外接球表面积为24兀

D.彳=:时，直线/与平面ABCD所成角的正弦值为逅

36

4.（2023•辽宁沈阳•二模）在正方体ABCD-ABGA中，钻=1,点P在正方体的面CCQZ）内（含边界）

移动，则下列结论正确的是（）

7T

A.当直线用P//平面4跳）时，则直线男尸与直线CA成角可能为:

4

B.当直线4尸//平面时，尸点轨迹被以A为球心，。为半径的球截得的长度为:

42

C.若直线男尸与平面CG2。所成角为7:T，则点P的轨迹长度为JgT

42

D.当直线用PLA8时，经过点2,P,2的平面被正方体所截，截面面积的取值范围为］手，&

三、解答题

5.（2024•内蒙古呼和浩特•二模）如图，已知平面8CE,CD//AB,ABCE是等腰直角三角形，其中

NEBC=—,且钙=BC=2CD=4.

2

⑴设线段BE中点为尸，证明：C尸〃平面ADE；

（2）在线段A3上是否存在点知,使得点8到平面CEM的距离等于巫，如果存在，求MB的长.

2

6.（2024•北京顺义•三模）如图在几何体A8CDFE中，底面ABC。为菱形，ZABC=^）°,AE//DF,AEYAD,

14

AB=AE=2£＞尸=4

⑴判断A。是否平行于平面CEE并证明;

⑵若面以8_1_面ABCD；求:

但)平面ABCD与平面CE尸所成角的大小;

(0)求点4到平面CEF的距离.

参考答案:

1.C

【分析】借助于模型，完成线面关系的推理可得c项正确，可通过举反例或罗列由条件得到的所有结论,

进行对A,B,D选项的排除.

【详解】对于A,由auoc,设a。尸=/,当。〃/时，可得。//4，故A错误；

对于B,由。_L/?,a_L»可得。〃a或aua,故B错误；

对于C,如图，设ap|7=6,/?n/=c,在平面a作不与。重合的直线机，使m_Lb,

因a_L7,则相因〃_!_7,m(Z/3,则相〃夕，因ac£=a,则租//°,于是a_L7,故C正确；

对于D,当a_L£,ac/3=a,b_La时，若。＜za,且4，

则人可以和平面a,/?成任意角度，故D错误.

故选：C.

2.C

【分析】根据题意，利用线面平行的判定定理与性质定理，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求

解.

15

【详解】当加/〃时，加可能在a内或者用内，故不能推出〃?〃尸且〃M/e,所以充分性不成立;

当〃?///且时，设存在直线“ua,且〃//“?，

因为〃”/£,所以77//〃，根据直线与平面平行的性质定理，可知”/〃，

所以“Z〃/,即必要性成立，故"加〃/"是"〃〃/£且〃〃/a”的必要不充分条件.

故选：C.

3.ACD

【分析】根据线面平行的判定定理判断A；画出截面即可判断B；建立如图空间直角坐标系，确定球心和半

径即可判断C；作出截面，如图，确定交线，利用空间向量法求解线面角即可判断D.

【详解】A：由题设及正方体结构特征，有AC〃E尸且ACZ平面EFG,EFu平面EFG,故AC〃平面EFG,

故A正确；

B：当力e（O,l）时，平面MG截正方体所得截面图形为五边形或六边形，

C：以Z）为原点，以ZM,DC,所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系,

2

当彳=§时，8（3,3,0）,G（0,3,3）,G（3,0,l）,E（l,0,3）,F（0,l,3）,

外接球的球心在过线段EG的中点，且垂直于平面A2D4的直线上，

EG的中点/（2,0,2）,可记球心0（2/2）,外接球的半径「=|烟=|。尸|,

所以Jl+产+1=小4+«-1）~+1,解得t=2,r=V6,

所以三棱锥4-跳6的外接球表面积为24兀，故C正确；

16

D：作出截面图形，交AO于"（2,0,2）,交瓦

直线/即为直线MV,丽=[-|,3,-|）,又平面ABCD的法向量为访=（0,0,1）,

3

2

则/与平面ABCD所成的角6满足sind=gsMN,q=鬲j,故D正确.

【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问

题求解，其解题思维流程如下：

（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相

等且为半径；

（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些

元素的关系），达到空间问题平面化的目的；

（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.

4.BCD

【分析】A应用线面平行、面面平行的判定证面ABD//面C42,进而判断p的轨迹，即可判断线线角的

范围；B根据A分析知:P点轨迹为线段CD,,再画出球与各面的截面形状,即可判断;C根据耳G，面CCRD,

结合线面角大小确定尸的轨迹，即可求长度；D首先确定P轨迹为线段CG，再应用平面的基本性质画出截

面，进而确定面积范围.

【详解】A：如下图，连接C4、CD,、BR,由正方体性质知：CDJ/BA,,

17

由CB|CZ面A?。，Z）Au面A?。，则CB|//面ABD,同理可证CA//面人台。，

又CBinCR=C,C瓦,CRu面CBQ,故面人跳）〃面CBQ,

由B】e面CBQ,面CBQ1c面CGA。=CR,且尸在正方体的面CC1R。内,

所以，要使直线87//平面48。，则用Pu面CB.,即PeC。，又回CBQ为等边三角形,

故尸在3上运动时，直线耳尸与直线3成角为号,J错误；

B：由A分析知：直线4尸//平面AB。，尸点轨迹为线段CQ,

取C。中点〃，连接而团AC2为等边三角形，则AH=后曰欣==（

以A为球心，1为半径的球截C2的长度为2，!）^^=；,正确；

JT

C：由用G，面CG2。，显然与2、5c与面CCQQ夹角为了，

4

IT1

所以，要直线男尸与平面CGA。所成角为;，则尸轨迹是以G为圆心CA为半径的二圆,

44

如下图示：

D：^B,P±AB,而Afi〃CD,则用尸，C。，而CD上面34clC,面

又面BB&CP面CCRD=CC],故尸轨迹为线段cq,

过R作RE//B尸交AA于石，连接防，易知：截面8P2E为平行四边形，如下图,

18

当P与C或C1重合时，截面为矩形，此时面积最大，为0；

当P为CG的中点时，截面为菱形，此时面积最小，为垃=0

22

所以截面面积的取值范围为］手,3,正确.

故选：BCD

5.⑴证明见解析

（2）存在，"8的长为2甄

【分析】（1）取AE的中点G,根据线面平行的判定定理即可得证；

（2）设=根据等体积法/_"EC=%.BEC求出）的值，即可得出结论.

【详解】（1）取BE的中点尸，AE的中点G,连结FG、GD、CF

贝I］有GF=；AB,GFIIAB,

因为=CD//AB,所以CD〃Gb且CD=G产，

2

所以四边形CfG£＞是平行四边形，则CE〃DG,

又ZX7u平面ADE,C尸（z平面ADE,

所以Cf7/平面ADE.

（2）存在.设其2=尤（0＜彳＜4）,在Rt/XBEC中，EC々BE?+BC，=40.

19

iii

因为MBJ,而BEC)所以％_BEC=gS&BECxMB=—x—xBExBCxMB=.

因为MB_L面BEC,BEu面BEC,BCu面BEC

所以MBLBE,MBLBC,

则AMBEAKBC均为直角三角形.

在RLJWBE中,ME=\lMB2+BE2=7^+16

同理，MC=ylx2+l6-

取EC的中点因为Affi=MC,所以MH工EC,

而MH=dME。-EH?=&+8.

22

故SMFr=-xECxMH=-x4y/2xy/x+S=^Sx+64.

因为点B到面CEM的距离等于也,

2

斫以i/_1c④26+8

=5X-=

用以%-MEC_AMEC^"•

而/.MEC=右一BEC，所以也/，解得x=也.

3315

所以在线段A3上只存在唯一一点M,当且仅当2叵时，点8到面CEM的距离等于理.

152

(2)(i);;(H)2A/2

【分析】（1）取AE中点G,证明AD//GR,假设AD〃平面CEF,根据线面平行性质定理证明AD〃£F,

推出矛盾，可得结论；

（2）（i）证明线线垂直建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解平面与平面的角，（ii）利用向

量方法求点到平面距离.

【详解】（1）AD不平行于平面CEF,理由如下：

取AE中点G,

20

E

因为AE〃DF,AE=2DF,所以AG〃DF,AG=DP

则四边形AGED为平行四边形，所以AD//GP,

又GFcEF=F,所以AD不平行于£F,

假设AD〃平面CEF,

因为平面CEFc平面皿花1=",ADu平面ADFE

所以AD//EF,与AD不平行于"矛盾，

所以假设不成立，即AD不平行于平面C即；

(2)取8中点M,连接40

因为菱形ABCD,ZABC=60°,

所以AACD为正三角形，又加为CO中点，所以AMLCD,

由于AB//CD,所以AMLAB,

又面EAB_L面ABCD,面E4Bc面ABCD=AB,AMu面ABCD

所以2面RLB,因为AEu面E4B,所以

又因为AE_LAD,AM。AD=A,AMADu面ABC©,

所以AE_L面ABCD,而AB,AMu面ABC。，所以AEJLAB,

所以如图，以A为原点，福,亚,亚所在直线为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系,

则A(0,0,0),3(4,0,0),C(2,26,0),E(0,0,4),川一2,2班,2)

(i)因为AE_L面ABCD,所以荏=(0,0,4)为平面ABCD的一个法向量

设平面CEF的法向量为为=(x,y,z),因为丽=卜2,-264)=(TQ2)

21

n-CE=-lx-26y+4z=0y=^3x

所以_.=><,令x=l,而=（1,后2）

h-CF=-4x+2z=0z=2x

设平面ABCQ与平面CEF所成角为巴

,,\n-AE\______=也

所以cos0-|cos<n,AE>|8,则。三

1一同局」.网一20x4-2

jr

即平面ABS与平面CO所成角大小为“

（ii）因为衣=（2,260）,由⑴知平面的一个法向量为为=。,62）

、.\AC-n\|2+6+0lr-

所以点A到平面CEF的距离为=11=2V2.

同2V2

反思提升：

（1）判断或证明线面平行的常用方法

①利用线面平行的定义（无公共点）.

②利用线面平行的判定定理（a。a,bua,a//b^a//a）.

③利用面面平行的性质（a〃夕，aua=a〃£）.

④利用面面平行的性质（a〃夕，a&£,a//a=a〃£）.

（2）应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确

定交线.

【考点2】平面与平面平行的判定与性质

一、单选题

1.（2024•安徽安庆三模）在正方体ABCD-2汩。中，点瓦尸分别为棱4氏的中点，过点E/，G三点

作该正方体的截面，则（）

A.该截面多边形是四边形

B.该截面多边形与棱2月的交点是棱的一个三等分点

C.4<7，平面G所

D.平面4百2〃平面和所

2.（2024•福建南平•二模）在正四面体ABCD中，P为棱AD的中点，过点A的平面a与平面PBC平行，平

面aPl平面ABD=〃?，平面aPl平面ACD=〃，则加，”所成角的余弦值为（）

J212J3

A.—B.-C.-D.—

3333

二、多选题

3.（23-24高一下•河南•阶段练习）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，

规定：多面体顶点的曲率等于2%与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面

22

jr

角，角度用弧度制.例如：正方体每个顶点均有3个面角，每个面角均为故其各个顶点的曲率均为

2K-3X-^=".如图，在直三棱柱ABC-A4G中，点C的曲率为三,〃，区尸分别为

AC,AB，AG的中点，则（）

A.直线3尸〃平面AOE

在三棱柱ABC-AAC中，点A的曲率为r

C.在四面体A1AOE中，点E的曲率小于兀

D.二面角A-DE-A的大小为:

4.（2024•河北保定•二模）如图1,在等腰梯形ABCD中，AB//CD,EFLAB,CF=EF=2DF=2,AE=3,

EB=4,将四边形AEFD沿EF进行折叠，使AD到达AD位置，且平面A7XRE_L平面以ZE,连接

D'C,如图2,则（）

D'

DFCDF/^-^C

EE

图1图2

BE±AD'B.平面AEB〃平面ZXFC

多面体AEBCD'F为三棱台D.直线AD与平面3CFE所成的角为:

三、解答题

5.（2024・陕西安康•模拟预测）如图，在圆锥P。中，尸为圆锥的顶点，0是圆锥底面的圆心，四边形A3CD

是底面的内接正方形，瓦尸分别为的中点，过点及E。的平面为a.

B

23

(1)证明：平面a〃平面PBC；

(2)若圆锥的底面圆半径为2,高为6，设点M在线段所上运动，求三棱锥P-MBC的体积.

6.(2024•山东潍坊•三模)如图，在直三棱柱ABC-A4G中，AB±AC,AB^AC=2AAl,E是棱BC的中

⑴求证：AC〃平面明£；

⑵求二面角A-BJE-A的大小.

参考答案：

1.B

【分析】将线段所向两边延长，分别与棱C3的延长线，棱co的延长线交于G,”，连GG，G”分别与棱

BPBG1

BBQDi交于P,Q,可判断A；利用相似比可得才="=可，可判断B；证明AC，平面800即可判断

CCjCJCJ

C；通过证明AC_L平面可判断D.

【详解】对于A,将线段所向两边延长，分别与棱CB的延长线，棱8的延长线交于G,H,

连GG，GH分别与棱自交于P,Q,得到截面多边形是五边形，A错误；

对于B,易知△AEF和AB£G全等且都是等腰直角三角形，所以G2=AF=』BC,

2

BPBG1BP1_

所以777=不=£,即高~二可，点尸是棱8耳的一个三等分点，B正确；

CCqCrCJ£>£)1J

对于C,因为4月，平面BCC4，86匚平面3。6瓦，所以

又BC|_L4C,A4nBic=瓦，44,瓦Cu平面44c,所以BC]_1_平面44c,

因为ACu平面480,所以4CLBG，同理可证ACLBD,

24

因为BDcBCi=B,BD,BQu平面BC|D,所以4C，平面,

因为平面BCQ与平面a所相交，所以4c与平面G所不垂直，C错误;

对于