2025年高考数学一轮复习讲义：平面向量基本定理及坐标表示（原卷版）

专题29平面向量基本定理及坐标表示（新高考专用）

目录

【知识梳理】................................................................2

【真题自测】................................................................3

【考点突破】................................................................3

【考点1］平面向量基本定理的应用............................................3

【考点2］平面向量的坐标运算................................................5

【考点3］平面向量共线的坐标表示............................................7

【分层检测】................................................................8

【基础篇】..................................................................8

【能力篇】..................................................................9

【培优篇】.................................................................10

考试要求：

1.理解平面向量基本定理及其意义.

2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.

3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.

4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

；知识梳理

L平面向量的基本定理

条件ei,e2是同一平面内的两个不共线向量

对于这〜平面内的任一向量a,有且只有一对实数/U,初，使〃=区经

结论

+22£2

若ei,e2不共线,我们把｛ei,02｝叫做表示这一平面内所有向量的一个

基底

基底

2.平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.

3.平面向量的坐标运算

⑴向量加法、减法、数乘运算及向量的模

设。=(尤1,yi),b=(X2,yi),则

a+b=(xi+x2,yi+y2),a—Z>=(XLX2,yi—y2),几a=(尢n,7vi),|a|='/君+y?.

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.

②设A(xi,yi),3(x2,,2),则AB=(X2—xi,y2-yi),|AB|=、/"(一―xi)2+(丫2-yi)

4.平面向量共线的坐标表示

设a=(xi,yi),b=(x2,yi),向量a,灰Z>WO)共线的充要条件是人\21x2券=0.

|常用结论

1.平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然.

2.若a与〃不共线，2a+〃方=0,则/l=〃=0.

3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起

点在什么位置，它们的坐标都是相同的.

.真题自测

一、单选题

1.(2023・全国•高考真题)正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点，则比.丽=()

A.亚B.3C.2A/5D.5

2

2.（2023•全国•高考真题）已知向量£=（1,1））=（1,一1）,若仅+"）乂£+叫，则（）

A.4+4=1B.X+〃=—1

C.沏=1D.AjU=-l

3.(2022•全国•高考真题)已知向量。=(3,4)万=(1,0),c=a+医，若<a,c〉=<B,c>,贝()

A.-6B.-5C.5D.6

4.(2022•全国•高考真题)已知向量Z=(2,l)石=(-2,4),贝()

A.2B.3C.4D.5

5.(2022•全国•高考真题)在AASC中，点。在边A8上，BD=2DA.记回=加，诙=万，则而=()

A.3m—2nB.—2/+3为C.3/+2万D.2/+3为

二、填空题

6.(2021•全国•高考真题)已知向量a=(l,3),B=(3,4),若(〃-萩)则2=.

r考点突破

【考点11平面向量基本定理的应用

一、单选题

1.（21-22高一下•重庆北暗阶段练习）设蕊团是两个不平行的向量，则下列四组向量中，不能组成平面向

量的一个基底的是（）

A.G+%和q-qB.q+2e?和e2+26

C.3q—2e?和44—6qD.e•，和e,+q

2.（2024•全国•模拟预测）如图所示，在边长为2的等边AABC中，点E为中线2。的三等分点（靠近点2）,

点尸为BC的中点，则而.丽=（）

二、多选题

3.（2024•广西•二模）已知AABC内角A,B,C的对边分别为a,6,c,O为44BC的重心，cosA=g,AO=2,则

3

.1—.1

A.AO=-AB+-ACB.ABACk<3

44—

C.AABC的面积的最大值为3#D.。的最小值为26

4.（2022•广东惠州•一模）如图，点。是正八边形ABCDEFGH的中心，且卜q=1,则（）

•O

AB

A.而与丽能构成一组基底B.OAOC=0

D.ACCD=-^

C.OA+OC=y/2OB

三、填空题

5.（2024•天津红桥•二模）太极图被称为"中华第一图"，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼

太极图”.如图所示的图形是由半径为2的大圆。和两个对称的半圆弧组成的，线段MN过点。且两端点

N分别在两个半圆上，点尸是大圆上一动点，令丽=£,PN=b，若所=4£+4-则4=；a-b

的最小值为

6.（2024•天津•二模）在AABC中，AM^2MB<P是MC的中点，延长钎交BC于点£>.设通=3,AC=b，

3

则正可用a,B表不为,若AD=&,cos/BAC=y，则AABC面积的最大值为.

反思提升：

（1）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、

减或数乘运算.一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系.

（2）用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结

论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同

的，但在每个基底下的分解都是唯一的.

【考点2】平面向量的坐标运算

一、单选题

4

1.(12-13高一上•黑龙江牡丹江•期末)已知1=(1,1),方=(2,5),2=(3,x),若(81办工=30,则尤=()

A.6B.5C.4D.3

2.(2024•湖南邵阳•一模)如图所示，四边形ABCD是正方形,又,"分别8(7,OC的中点，若

加=尢而+〃丽,2,〃eR,贝!)22-〃的值为()

二、多选题

3.(2022•湖北十堰•模拟预测)已知向量方=(3,4),3=(2/』-。，则下列结论正确的是()

A.当r=i时，।正+ii=ar

B.当/>-2时，向量正与向量元的夹角为锐角

C.存在/<0,使得m〃n

D.若而J_K则f=-2

4.(2023•全国•模拟预测)如图1是一款家居装饰物一一博古架，它始见于北宋宫廷、官邸.博古架是类似于

书架式的木器，其每层形状不规则，前后均敞开，无板壁封挡，便于从各个位置观赏架上放置的器物.某博

古架的部分示意图如图2中实线所示，网格中每个小正方形的边长为1,则下列结论正确的是()

毗崂■器I

图1

A.BQ1OJ

r,3

B.^AY=xDV+yHM贝"+工一万

C.(AY+OjyBQ+2DV-HM=0

5

9

D.设Z为线段AK上任意一点，则无•豆的取值范围是-“40

三、填空题

5.（2022•湖南岳阳•三模）设点P在以A为圆心，半径为1的圆弧BC上运动（包含8,C两个端点），WAC

=—,且Q=x而+>*,x+y的取值范围为.

6.（2020•山西•三模）如图，在回ABC中，AD=2DC,点P是线段上的一个动点.^^根须+巩正，则

m,〃满足的等式是.

反思提升：

平面向量坐标运算的技巧

（1）向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段

两端点的坐标，则应先求向量的坐标.

（2）解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程（组）来进行求解.

【考点3】平面向量共线的坐标表示

一、单选题

1.（23-24高二上,四川绵阳,期末）直线2x-3y+l=0的一个方向向量是（）

A.（3,2）B.（2,3）C.（3,-2）D.（2-3）

2.（2024•河北秦皇岛•二模）已知向量2=（私2加+3）,1=（1,4加+1）,贝1]"机=-十是"2与B共线”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

二、多选题

3.（2024•山东聊城二模）已知向量£=（-1,2）石=。,九），若方在£上的投影向量为日，则（）

A.2=3B.a//b

C.a_L0-a）D.Z与万的夹角为45。

6

4.（2024・甘肃张掖•一模）下列命题错误的是（）

A.对空间任意一点。与不共线的三点A,B,C,若9=工或+y砺+z^其中x,V,zeR且无+y+z=l,

则尸,A,B,C四点共面

B.已知苕=（1,-1）,5=3,1）,花与5的夹角为钝角，则d的取值范围是d<l

c.若乙，B共线，则

D.若商，5共线，则一定存在实数％使得石=成

三、填空题

5.（22-23高三上,广西贵港•阶段练习）已知向量通=（3,2m-4）,配=（2,4）,若A,B,C三点共线，贝U

6.（2024•江西鹰潭・模拟预测）AABC的三内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,设向量p=（a+c,b）,

q=（b+c,a-c）,若向量方与向量［共线，则角A=.

反思提升：

1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：（1）若a=（xi,yi）,b=（X2,"）,则。〃8的充要条件

是xiy2—x2yi=0;

（2）若a〃伙》W0）,则.=肪.

2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时,

也可以利用坐标对应成比例来求解.

分层检测

【基础篇】

一、单选题

1.（2024•黑龙江•模拟预测）已知在梯形ABCO中，AB//CD且满足初=2配，E为AC中点，尸为线段A3上

靠近点2的三等分点，设池=a,AD=b，则访=（）.

2一1亍3一”5一”1一1广

A.—a——bB.—a——bC.—a——bD.-a——b

324612226

2.（2023•广东•模拟预测）古希腊数学家帕波斯在其著作《数学汇编》的第五卷序言中，提到了蜂巢，称蜜

蜂将它们的蜂巢结构设计为相同并且拼接在一起的正六棱柱结构，从而储存更多的蜂蜜，提升了空间利用

率，体现了动物的智慧，得到世人的认可.已知蜂巢结构的平面图形如图所示，则荏=（）

7

3―-5—•5-.3-

A.——CE+-DEB.——CE+-DE

2662

2―.5--5—.2--

C.——CE+-DED.——CE+-DE

3663

3.（2024•陕西•模拟预测）已知两个向量方=（2,-1）,5=（后租）,且0+5），（万-方）,则加的值为（）

A.±1B.+^/2C.+2D.+2>/3

4.(2024•浙江温州•三模)平面向量£=0〃,2),5=(-2,4),若2〃倒闷，贝打"=()

A.-1B.1C.-2D.2

二、多选题

5.（2021・全国•模拟预测）在AABC中，D,E,P分别是边BC,C4,AB的中点，AD,BE,C尸交于

点G,贝U()

--1--1----1—.1―.

A.EF=-CA——BCB.BE=——AB+-BC

2222

C.AD+BE=FCD.GA+GB+GC=0

6.（21-22高三上•福建福州•期中）已知平面向量次、OB＞而为三个单位向量，且次.痂=0，若

OC=xOA+yOB（x,yeR）,则x+y的可能取值为（）

A.0B.1C.0D.2

7.（2023・广东•二模）若平面向量日=（〃,2）,5=（1,m-1）,其中"，“eR’则下列说法正确的是（）

A.若2汗+B=(2,6),则1〃行

B.若a=-2B,则与5同向的单位向量为

c.若"=1,且苕与5的夹角为锐角，则实数机的取值范围为

D.若在上B,则Z=2"+4m的最小值为4

三、填空题

8.（2024•贵州贵阳•模拟预测）已知向量2=（-1,2）,b=（m,-4）,则（Z-2可〃（2£+可，则实数机=.

8

9.（2024•黑龙江•二模）已知向量万=（1,根），石=（",6）,若石=3商，则.

10.（2023,河南•模拟预测）在平行四边形A3CD中，AD=2AB=2,5DLDC,点M为线段8的中点，

则MAMB=-

四、解答题

11.（23-24高三上•江苏徐州•阶段练习）在“1SC中，E为AC的中点，。为边BC上靠近点8的三等分点.

⑴分别用向量抽，而表示向量市S而；

⑵若点N满足4丽+2通=3恁，证明：B,N,E三点共线.

12.（2023•湖南永州•二模）已知AABC的内角A&C的对边分别为a,4c,且向量沆=（26-a,c）与向量

n=（cosA,cosC）共线.

⑴求C；

（2）若C=3AA5C的面积为也，求a+6的直

2

【能力篇】

一、单选题

1.（2024•全国,模拟预测）已知点4（2,1）,*1,加+1）,C（m+2,-3）,K|Afi|-|Ac|=AB.C4,贝那=（）

11

A.±-B.±2C.-D.2

22

二、多选题

2.（2023,湖北襄阳•模拟预测）在直角梯形A3CD中，A8_LA£>,荏=2配,E为AB中点，分别为线段

OE的两个三等分点，点尸为线段上任意一点，若Q=X丽+〃丽，则X+〃的值可能是（）

27一一

三、填空题

3.（2023•全国•模拟预测）在平行四边形ABQ）中，点A（0,0）,5（-4,4）,仇2,6）.若AC与瓦）的交点为M,

则DM的中点E的坐标为

四、解答题

TT

4.（23-24高