2025年高考数学一轮复习讲义：数列的概念与简单表示法（原卷版）

专题32数列的概念与简单表示法（新高考专用）

目录

【知识梳理】................................................................2

【真题自测】................................................................3

【考点突破】................................................................4

【考点1］由an与Sn的关系求通项............................................4

【考点2】由数列的递推关系式求通项公式......................................5

【考点3】数列的性质........................................................6

【分层检测】................................................................7

【基础篇】..................................................................7

【能力篇】..................................................................9

【培优篇】.................................................................10

考试要求：

1.了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）.

2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.

・知识梳理

1.数列的定义

按照确定的顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.

2.数列的分类

分类标准类型满足条件

有穷数列项数有限

项数

无穷数列项数无限

递增数列1>Cln

其中

项与项递减数列Cln+1

间的大常数列Cln+1=Cln

小关系从第二项起，有些项大于它的前一项，

摆动数列

有些项小于它的前一项的数列

3.数列的表示法

数列有三种表示法，它们分别是表格法、图象法和解析式法.

4.数列的通项公式

如果数列｛m｝的第n项以与它的序号"之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子

叫做这个数列的通项公式.

5.数列的递推公式

如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数

列的递推公式.

|常用结论

Si9〃=1,

1.若数列｛。”｝的前n项和为Sn,通项公式为an,则an=

^Sn~Sn-l,"22.

CLYT^Cln-19〃一19

2,在数列｛斯｝中,若如最大,则＜若。〃最小，则,

^dn^Cln+1.

r真题自测

一、单选题

1q

1.（2023•北京•高考真题）已知数列｛4｝满足.=/%-6）3+6伽=1,2,3,）,则（）

2

A.当4=3时，｛%｝为递减数列，且存在常数MWO,使得q>“恒成立

B.当4=5时，｛q｝为递增数列，且存在常数MW6,使得4<M恒成立

C.当q=7时，｛%,｝为递减数列，且存在常数6,使得。“>拉恒成立

D.当4=9时，｛%｝为递增数列，且存在常数M>0,使得4<M恒成立

2.（2023•全国•高考真题）已知等差数列｛%｝的公差为全，集合S=｛cosa„|«eN*｝,若S=｛a,b｝，则必=（）

11

A.-1B.——C.0D.-

22

3.（2022•浙江•高考真题）已知数列｛%｝满足%=1,%=%-gd（"eN*）,则（）

一5577

A.2<100%go<-B.—,<100%go<3C.3<lOO%。。<-D.—<lOOq。。<4

4.（2022•全国•高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳

飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列抄“｝:伪=1+!，

.11&=1+-----—

2戊+工，/+——厂，…，依此类推，其中％$N*（左=1,2,）.则（）

1H

a2a2

a3

A.bx<b5B.b3<bsC.b6<b2D.b4<Z?7

5.（2021・浙江・高考真题）已知数列｛4｝满足％=1，%+1=^^（〃€可）.记数列｛%｝的前〃项和为S,,则（）

399一一

A.e<S1go<3B.3<S100<4C.4<S100<—D.—<5100<5

二、填空题

6.（2022・北京•高考真题）已知数列｛风｝各项均为正数，其前〃项和S“满足ajS“=9（〃=l,2,—）.给出下列

四个结论：

①｛4｝的第2项小于3；②｛%｝为等比数列；

③｛%｝为递减数列；④｛%｝中存在小于焉的项.

其中所有正确结论的序号是.

考点突破

【考点11由an与Sn的关系求通项

一、单选题

3

1.(2024•陕西西安•模拟预测)已知数列｛%｝的前"项和为S,,S,+]=a“+「w4+2(〃eN*),则L=()

“20

A.190B.210C.380D.420

2.(2024•江苏苏州•二模)已知数列｛4｝的前〃项和为S“，2a„+l=3Sn,若电＜2"对任意的〃©N*恒成立,

则实数/的取值范围为()

A.(-4.2)B.［-3,2)C.(-6,2)D.(-3,2］

二、多选题

3.(2024•湖北黄冈二模)数列｛%｝满足：^=1,5^=30,,(n＞2),则下列结论中正确的是()

A.电=；B.｛%｝是等比数列

4°

C-an+l=-an,n>2

4.(2024•安徽淮北二模)已知数列｛4｝,｛々｝的前"项和分别为5“工，若生=2”-1工=2向-2,则()

A.Slo=lOOB.bi0=1024

C.1二一］的前10项和为WD.［，］的前1。项和为黑

l«„«n+iJ19

三、填空题

5.(2024•全国•模拟预测)已知数列｛g｝的前几项和为S"，满足S“=2%-2,则%=；数列出｝满足

£=log/%-21,数列，1的前〃项和为1，则7；的最大值为

6.(2024•浙江嘉兴•二模)设数列｛4｝的前〃项和为S,,等比数歹式包｝的前九项和为1,若4=-1,&=84,

(l-2")S„=n(n+l)7；,,贝心”=.

反思提升：

S1,77=1,

(1)已知S"求期的常用方法是利用＜7"=彳转化为关于Z的关系式，再求通项公

、Sn—Sn-1,1彦2,

式.

(2)5,,与an关系问题的求解思路

方向1:利用a〃=S"—S"i(“N2)转化为只含的，S”i的关系式，再求解.

方向2:利用S〃一S"i=a”SN2)转化为只含以，0一的关系式，再求解.

【考点2】由数列的递推关系式求通项公式

一、单选题

4

1.（2024•河南•三模）已知函数满足:且V尤,yeR,/（x+y）=/（x）+/（y）+6xy,则Z。。）

Z=1

的最小值是（）

A.135B.395C.855D.990

2.（23-24高三上•湖北•阶段练习）定义：在数列｛q｝中，---=^（»eN*）,其中〃为常数，则称数列

an+\an

｛%｝为"等比差"数列.已知"等比差”数列｛4｝中，4=%=1，%=3,则”=（）

^22

A.1763B.1935C.2125D.2303

二、多选题

3.（23-24高三下•甘肃•开学考试）已知数列｛q｝满足%=3,2°用=34-2,则（）

A.也-2｝是等差数列

619丫

B.｛%>｝的前"项和为1141-1+2”

C.｛凡｝是单调递增数列

D.数列<a"+i+1|J,的最小项为4

4.（2024・山东烟台•一模）给定数列｛%｝,定义差分运算：-"eN*.若数列｛%｝

满足%=川+",数列也｝的首项为1,且妆=（"+2）-2"T,〃eN*,则（）

A.存在河>0,使得恒成立

B.存在M>0,使得恒成立

C.对任意〃>0,总存在〃eN*,使得么

,Mb

D.对任意Af>0,总存在〃wN*,使得">M

b"

三、填空题

5.（23-24高二上•广东河源•期末）已知正项数列｛%｝满足。角=3；。“，则组=_____.

〃+1〃6

6.（2024•江苏南京•模拟预测）已知数列｛为｝满足4=1,2见+「%+4见+1=。5€m），则数列｛凡｝的通项公

式为.

反思提升：

（1）形如a〃+i=a〃+笊〃）的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项.

5

⑵形如的递推关系式可化为丁=X〃）的形式，可用累乘法，也可用an=

Cln

ClnCln-142八、、L、［、w<

----••一・ai代入求出通项.

an-ian-2Qi

（3）形如an+i=pan+q的递推关系式可以化为（即+i+x）=p（斯+x）的形式，构成新的等比数列，

求出通项公式，求变量％是关键.

（4）形如■+1="一（4B,。为常数）的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.

DCln二\C'

【考点3】数列的性质

一、单选题

1.（2024・山东济宁•三模）已知数列｛%｝中，q=2,an+l=an-an_^n>2,〃cN*）,则%（四二（）

A.-2B.-1C.1D.2

2.（2024・天津・二模）已知数列｛4｝为不单调的等比数列，的=；,%=，，数列物/满足勿=1-。用，则数

列也｝的最大项为（）.

,3795

A.—B.-C.—D.一

4884

二、多选题

n

3.（2024•浙江绍兴•二模）已知等比数列｛%｝的公比为心前”项和为S"，前”项积为T“，且V”©N*,普<0,

则（）

A.数列｛%｝是递增数列B.数列｛%｝是递减数列

C.若数列｛4｝是递增数列，则4>1D.若数列｛骞｝是递增数列，则0>1

4.（2022・吉林长春・模拟预测）意大利数学家列昂纳多•斐波那契提出的"兔子数列"：1,1,2,3,5,8,13,

21,34,55,89,144,233,…，在现代生物及化学等领域有着广泛的应用，它可以表述为数列｛q｝满足

q=%=1,%+2=4+1+。“（"©、）.若此数列各项被3除后的余数构成一个新数列抄“｝,记也｝的前〃项和为

S,,则以下结论正确的是（）

A.。〃+9-2+1=。B.S〃+1。=S〃+2+9

C.82022=2D.^2022=2696

三、填空题

5.（2024•湖北武汉•二模）欧拉函数乂〃eN*）的函数值等于所有不超过正整数“，且与"互质的正整数

6

的个数（公约数只有1的两个正整数称为互质整数），例如：03）=2,必4）=2,贝1]必8）=；若

，/

2=-E，则勿的最大值为_______.

夕（2）

6.（23-24高二上•湖北省直辖县级单位•期中）已知数列｛q｝的通项公式为。“=-1+沏，且｛q｝为递减数

列，则实数4的取值范围是.

反思提升：

1.解决数列周期性问题，根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期,

进而求出有关项的值或前n项和.

2.求数列最大项与最小项的常用方法

（1）函数法：利用相关的函数求最值.若借助通项的表达式观察出单调性，直接确定最大（小）项,

否则，利用作差法.

ClnCln—1,

（2）利用＜（〃22）确定最大项,利用＜（〃22）确定最小项.

Qn^~Cln+l

【基础篇】

一、单选题

fl

1.（2024・四川广安•二模）已知数列｛4“｝满足％=2,„+i="(neN*),贝!]%()24

“”+1

A.-3

（2024•广东深圳•二模）已知〃为正整数，且1＞2”，则

A.n=lC.n=3D.n>4

3.（2023•全国•模拟预测）已知等比数列｛q｝的前"项和为S“，若%+2g=0,S3=1,且aVS“Va+2,

O

则实数。的取值范围是（）

1「13]「33]3一

2JL24J142」L2_

4.（2023・山西•模拟预测）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中出现了如图所示的形状，后人称

为“三角垛三角垛"的最上层（即第一层）有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10

个球，…，设〃三角垛〃从第一层到第〃层的各层球的个数构成一个数列｛风｝,则（）

7

B.〃io=66

c.2。〃+]=。〃+。〃+2D.〃2023—“2022=2023

二、多选题

5.（2024•云南•二模）记数列｛q｝的前〃项和为S.,S“=A〃+B,A、3为常数.下列选项正确的是（）

A.若A+B=l,贝！J%=1

B.若A=2,则。2=2

C,存在常数A、B,使数列｛4｝是等比数列

D.对任意常数A、B,数列｛%｝都是等差数列

6.（2024•云南昆明•一模）在数列｛风｝中，Vn>2,〃eN*,记｛风｝的前w项和为S“，则

下列说法正确的是（）

A.若4=1,a2=2,则q=1B.若4=1,%=2,则

C.若。1=2,a2=3,则%=〃+1D.若〃i=2,a2=3,则820=230

7.（2022•广东•模拟预测）己知数列也｝满足a[=lM,+*="（〃N2,〃eN*）,S”为其前“项和，则（：

A.。4一。2=7B.《0=55

C.S5=35D,as+a4=28

三、填空题

8.（2022•黑龙江齐齐哈尔•一模）数列｛%｝中，％=1,当“22时，见=2"a,i,则数列｛%｝的通项公式为.

9.（23-24高二下•江西抚州•阶段练习）数列｛氏｝满足q+々g+…+&=3"-2（"eN*,〃N1）,则氏=

10.（2023・四川乐山•三模）已知数列｛?｝满足。"+i=2a“+2,%=1,则氏=.

四、解答题

11.（23-24高二上•内蒙古呼伦贝尔•阶段练习）已知数列｛4｝中，4=1,4包=2",neN*.

an

⑴求数列｛%｝的通项公式；

（2）设a=log2%+3»,求数列的前九项和S“.

8

，、1112n

12.（2024•山西♦模拟预测）已知数列｛%｝的前"项和为Sa,且不+丁+…+丁=£山.

⑴求｛见｝的通项公式；

（2）若优=（〃T）（"+2）,求数列也｝的前〃项和T,.

aa

„„+i

【能力篇】

一、单选题

1.（2024・四川宜宾・二模）在数列｛4｝中，已知%=2,%=1,且满足。“+2+。，=。“+1，则数列｛%｝的前2024

项的和为（）

A.3B.2C.1D.0

二、多选题

2.（2024•吉林长春•模拟预测）已知数歹式见｝满足qul.中ngMeN*,则下列结论成立的有（）

A.%=2

B.数歹式如“｝是等比数列

C.数列｛%｝为递增数列

D.数列｛4-6｝的前"项和S”的最小值为$6

三、填空题

3.（2023・湖南邵阳二模）已知数列｛%｝满足q=2,叫用=2（”+2）q,eN*）,设数列｛4｝的前”项和为S”，

则数列｛%｝的通项公式为%=,S“+2=.

四、解答题

4.（2024•全国,高考真题）记