2025年高考数学一轮复习讲义：直线的方程（解析版）

专题43直线的方程（新高考专用）

目录

【知识梳理】................................................................2

【真题自测】................................................................3

【考点突破】................................................................7

【考点11直线的倾斜角与斜率.................................................7

【考点2】求直线的方程......................................................12

【考点3）直线方程的综合应用................................................16

【分层检测】...............................................................21

【基础篇】.................................................................21

【能力篇】.................................................................29

【培优篇】.................................................................33

考试要求：

1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.

2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.

3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截

式与一次函数的关系.

■,知识梳理

1.直线的倾斜角

⑴定义：当直线/与X轴相交时，我们以X轴为基准，X轴正向与直线/向上的方向之间所成

的角a叫做直线/的倾斜角；

(2)规定：当直线/与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为£；

(3)范围：直线的倾斜角a的取值范围是同0。・&<180。｝.

2.直线的斜率

(1)定义：我们把一条直线的倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母女表

zj、,即k一二tana.

⑵计算公式

①经过两点Pi(xi,yi),尸2(x2,y2)(xiWx2)的直线的斜率左=或二

X2.X]

②设P1(X1,>1),尸2。2,*)(其中X1—X2)是直线/上的两点,则向量P1P2=(尤2—九1,第一>1)以及

与它平行的向量都是直线的方向向量.若直线I的斜率为k,它的一个方向向量的坐标为(x,y),

则女=±

3.直线方程的五种形式

名称几何条件方程适用条件

斜截式纵截距、斜率

与x轴不垂直的直线

点斜式过一点、斜率y—yo==(%—xo)

y-yix-xi与两坐标轴均不垂直

两点式过两点

yi12~-XI的直线

不过原点且与两坐标

截距式纵、横截距~+j=l

a-b--轴均不垂直的直线

Ax+By+C=Q

一般式所有直线

(A2+B2#0)

|常用结论

1.直线的倾斜角a和斜率左之间的对应关系:

2

c兀71兀

a00<a<22<«<7l

2

k0k>0不存在k<0

2.截距和距离的不同之处

“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负

数.

n真题自测

一、单选题

1.（2024•全国•高考真题）已知直线ox+力-。+26=0与圆C：尤?+y?+4y-1=0交于两点，则|48|的最

小值为（）

A.2B.3C.4D.6

2.（2024•北京•高考真题）已知M=｛（尤,y）|y=x+?（x2-x）,l<x<2,0<r<1｝是平面直角坐标系中的点集.设

d是“中两点间距离的最大值，S是〃表示的图形的面积，则（）

A.d=3,S<1B.d=3,S>1

C.d=y/io,S<1D.J=710,S>1

3.（2024•北京・高考真题）圆Y+y2-2x+6y=0的圆心到直线x-y+2=0的距离为（）

A.72B.2C.3D.30

4.（2024•全国•高考真题）已知6是。,。的等差中项，直线依+勿+c=0与圆V+_/+-_]=。交于两点，

贝力28|的最小值为（）

A.1B.2C.4D.245

5.（2023•全国•高考真题）过点（。,-2）与圆x2+〉2-4x-l=0相切的两条直线的夹角为0,贝|sina=（）

A.1B.姮c.叵D.迈

444

二、填空题

6.（2024・天津•高考真题）圆（x-iy+y=25的圆心与抛物线丁=2px（o>0）的焦点/重合，A为两曲线的

交点，则原点到直线AF的距离为.

参考答案：

1.C

【分析】根据题意，由条件可得直线过定点夕。,-2）,从而可得当PCLAB时，的最小，结合勾股定理

代入计算，即可求解.

3

【详解】因为直线分+勿-。+28=0,即a（x—l）+b（y+2）=0,令为一1=0,

则x=l,y=-2,所以直线过定点设网1,-2）,

将圆C：尤2+;/+4）;_1=0化为标准式为尤2+（>+2）2=5,

所以圆心C（0,—2）,半径厂=如，归。=1

当尸CLAB时，MB|的最小，

此时\AB\=2^r2-|PC|2=2x后斤=4.

故选：C

2.C

y<x2

【分析】先以方为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域卜之九，结合图形分析求解即可.

l<x<2

【详解】对任意给定2],则1）>0,且看《0』,

可矢口％W-x^<x+x2-x=x2,x<y<x2,

y<x2

再结合X的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域bNX

l<x<2

如图阴影部分所示，其中A（1,1）,B（2,2）,C（2,4）,

可知任意两点间距离最大值J=|AC|=VW；

阴影部分面积SvSBcngxlxZnL

故选：C.

【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数"，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见

数想图，以开拓自己的思维.使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把

4

握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解.

3.D

【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.

【详解】由题意得力2+y2—2%+6y=0,gp(x-1)2+(y+3)2=10,

|1—(—3)+2l/—

则其圆心坐标为(1,-3),则圆心到直线x—y+2=0的距离为小2：(以312.

故选：D.

4.C

【分析】结合等差数列性质将。代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.

【详解】因为〃也C成等差数列，所以2A=4+C,。=如—“，代入直线方程依+勿+。=0得

%一1=0[x=l

ax+by+2b—a=0即Q(x-l)+/?(y+2)=0,令y+2=0得]=-2

故直线恒过(1,-2),设P(l,-2),圆化为标准方程得：C:f+(y+2)2=5,

设圆心为C,画出直线与圆的图形，由图可知，当尸时，|4B|最小,

|PC|=l,|AC|=|r|=75,此时\AB\=2\AP\=2>JAC2-PC2=2A/5^T=4.

【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，

结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得左2+8左+1=0,利用韦达定理结合

夹角公式运算求解.

【详解】方法一：因为炉+/-4>1=0,BP(X-2)2+/=5,可得圆心C(2,0),半径“百，

过点尸(0,-2)作圆C的切线，切点为A3,

因为|PC|=j22+(-21=2夜,则|尸A|=一产=粗,

5

可得sinZAPC=余=呼,cosZAPC=至当

贝UsinZAPB=sin2ZAPC=2sinZAPCcosZAPC=2x叵x"=叵，

444

cosZAPB=cos2ZAPC=cos2ZAPC-sin2ZAPC=<0,

即4P3为钝角,

sit；

所以sina=sin(7i-/APB)=

法二：圆尤2+y2-4x-l=0的圆心C（2,0）,半径厂=行,

过点尸（0,-2）作圆。的切线，切点为A,5,连接AB,

22

可得IPC|=^2+（-2）=2五,贝I]|尸山=归同=Jpcf=V3,

因为|以「+归砰一2归川.归却cosZAPS=|G4「+|CB「-2|04卜|。用cosZACB

S.ZACB=TI-ZAPB,贝U3+3-6COSZZ4PB=5+5-10COS（K-ZZ4PB）,

即3—cosZAPB=5+5cosZAPB，解得cosZAPB=--<0,

4

即/APB为钝角,贝!Jcosa=cos（7t-NAPB）=-cosNAP8=；,

且a为锐角，所以sina=Jl-cos2a=；

4

方法三：圆炉+尸-以_1=0的圆心C（2,0）,半径

若切线斜率不存在，则切线方程为x=0,则圆心到切点的距离d=2>r,不合题意;

若切线斜率存在，设切线方程为了=丘-2,即丘-y-2=0,

则1*3=非,整理得公+8左+1=0，且A=64—4=60>0

y/k2+l

设两切线斜率分别为匕，《2,则尢+占=-8,勺右=1,

可得佝一&I=J（勺+.）2-4左他=2/，

所以tane=}=后,即至巴=后，可得costz='修，

1+勺&cosaV15

rn,|.22.2sir?。1

贝（Jsina+cosa=sma-\---------=1,

15

且a£（0㈤，贝!Jsina>0,解得sina=.

6

故选：B.

【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A及AF的方程，从而可求原点到

直线AF的距离.

【详解】圆（1）2+/=25的圆心为“1,0）,故勺1即p=2,

由，（：一1）可得尤2+2尤-24=0,故X=4或尤=-6（舍），

y=4%

故A（4,士4）,故直线4F：、=±：（》一1）即4彳一3丫-4=。或4彳+3丫-4=（）,

故原点到直线质的距离为d=H=",

55

_4

故答案为：—

・考点突破

【考点1】直线的倾斜角与斜率

一、单选题

1.（2022・贵州毕节•三模）曲线y=l+6二7与直线（2后+1卜-（左+1"+1=0有两个交点,则实数2的取值范围

为（）

A.（0,+e）B.（0,；C.D.

2.（2024高二上•全国・专题练习）已知直线区-y+2=0和以河（3,-2）,N（2,5）为端点的线段相交，则实数

左的取值范围为（）

（41「3

二、多选题

3.（2024•山东•二模）己知直线/:尤+一根+2=0,圆C:（x-l）2+（y—2）2=5,则下列说法正确的是（）

7

A.直线/恒过定点（-2,1）B.直线/与圆C相交

C.当直线/平分圆C时，m=-3D.当点C到直线/距离最大值时，机=g

4.（2024•江西・模拟预测）已知集合4=｛（尤,切尤+•+2。=。｝,8=｛（x,y）麻+0-1=0｝,则下列结论正确

的是（）

A.Va£R,B.当a=—1时，AcBu,11一万］

C.当A3=0时，a=lD.3aeR,使得A=5

三、填空题

5.（2023•江苏•模拟预测）设左ER,直线4:kx+y-k=0,直线（：x-ky+2k-3=0,记4,4分别过定点A5,

且4与4的交点为C,则|AC|+\BC\的最大值为.

6.（2022高二•全国•专题练习）已知两点以（0,-5）、N（4,3）,给出下列曲线方程：①％+2y+l=0；②

22

（x+l）2+（y+l）2=2；③\+y2=l；④亍-丁=1.则曲线上存在点P满足1PM=|PN|的方程的序号是

参考答案：

1.D

【分析】根据直线过定点的求法可求得直线恒过（1,2）；由曲线方程可确定图形，采用数形结合的方式可确

定直线斜率的取值范围，由此可构造不等式求得左的取值范围.

［详角军］由（2k+1）工_（左+l）y+1=0得：（2x—y）左+x—y+l=0,

令'八，解得：。，二直线（2左+1）%-住+i）y+「。恒过定点1,2）；

［x-y+l=0［y=2

由y=1+J1-♦得:x2+（y—1）2=l（y>1）,

由此可得曲线丁=1+m=7的图形如下图所示，

8

-Io

由图形可知：当直线过点(-M)时，直线斜率为普=2，

若直线与曲线有两个不同交点，则直线斜率的取值范围为，

即0<驾<［,解得：-1<%<-：,即实数后的取值范围为-

女+1223

故选：D.

2.C

【分析】根据题意可知直线履-y+2=0恒过定点A(0,2),根据斜率公式结合图象分析求解.

【详解】因为直线区-y+2=0恒过定点A(o,2),如图.

故选：C.

3.ACD

【分析】对于A,将直线方程变形即可进一步判断；对于B,举反例即可判断；对于C,将圆心坐标代入直

线方程即可验算参数机；对于D,当点。到直线/距离最大值时，有PC，/,结合它们的斜率关系即可判断.

［详解］对于A,/:1+切_根+2=0即％+2+根(y—1)=0,令、_1=0,有y=l,%=—2,所以直线/恒

过定点P(-2,1),故A正确；

对于B,圆C:(%-1)2+(y—2)2=5的圆心、半径为=6，

9

点C（l,2）至！]直线/:尤+“少一机+2=0的是巨离为d=

2_（m+3）2§_-4m2+6m+4_-2（m-2）（2m+l）

从而笛-厂

1+m21+m21+m2

取力=2,则此时有“=厂，故B错误;

对于C,当直线/平分圆C时，有点C（l,2）在直线/:无+殁一机+2=。上,

也就是说有1+2m-a+2=0成立，解得根=-3,故C正确；

对于D,点C到直线/距离满足1<|尸。，等号成立当且仅当尸C_U,

,2-11

而PC的斜率为&==3，

所以当等号成立时有。解得机=〈，故D正确.

3km）3

故选：ACD.

4.AB

【分析】对于A：根据直线方程分析判断；对于B：根据题意求直线交点即可；对于C：根据空集的定义结

合直线平行运算求解；对于D：根据直线重合分析求解.

【详解】对于选项A：因为》+-+2a=0表示过定点（0,-2）,且斜率不为。的直线,

可知A=｛（x,y）|x+ay+2a=0｝表示直线x+ay+2a=0上所有的点，

所以VaeR,Aw0,故A正确；

对于选项B：当口=-1时，则A=｛（尤,y）|x-y-2=。｝,B=｛（x,y）|x+y+l=o｝,

'1

联立方程「解得2所以AcB=，m，B正确；

[x+y+l=03&22）\

V~~2

对于选项C：当A3=0时，则有：

若5=0,则。=0；

若可知直线无+ay+2a=0与直线依+@-1=0平行，且。彳0,

可得_1=0力§,解得“=1；

综上所述：a=0或。=1,故C错误；

对于选项D：若A=3,由选项C可知awO,且工=9==，无解，故D错误.

aa—1

故选：AB.

5.4

10

【分析】根据题意得到直线4恒过定点41，。)，直线6恒过定点5(3,2),以及直线4与4的斜率，得到4，/

求得|AC「+忸[2=8,结合忸I)219Aq2+怛c『),即可求解.

【详解】由直线乙：丘+y-左=。，可化为Mx—D+y=O,可直线“亘过定点41,0),

直线4：x-外+2%-3=0,可化为无一3-以丫-2)=0,可得直线4恒过定点8(3,2),

又由直线4的斜率为-3直线4的斜率为：，因为所以4口，

kk

因为4与，2的交点为c,所以IAC「+\BCf=\A^=8,

又由yq?Bc|yw；(aq2+怛c「)=4,所以忸q。,则人。+忸q44,

当且仅当|AC|=|3cl时，等号成立，

所以|4。+忸。的最大值为4.

故答案为：4.

6.②③/囱回

【分析】首先可根据|MP|=|MP|得出点尸在线段MN的中垂线上，然后求出线段MN的中垂线方程为

>=最后依次判断四个曲线是否与y=-3x有交点即可得出结果.

【详解】因为点P满足|P"|=|PN],所以点尸在线段MN的中垂线上，

线段时V中点坐标为(2,-1),&^=三*=2,中垂线的斜率上=-1,

11

故线段脑V的中垂线方程为y+l=-](%-2),即y=-

因为曲线上存在点尸满足1PM=|PN|,所以曲线与尸-;x有交点，

对于①：x+2y+l=0与y=-；x,平行，故不满足题意；

对于②：圆(x+l)2+(y+l『=2的圆心为(TT),半径为0，

同、/11、云tl1J.L,nr-^-7|—1—2I33^/5145150rr

圆心(-1,-1)至Uy=——x的距禺d=।-=—1==--=------<------=，2=R,

2也2+『石555

故圆(x+iy+(y+iy=2与y=相交，满足题意；

fx22一

—y—12

对于③：联立41,整理得5=1，方程有解，满足题意；

11

对于④：联立4；,整理得0=1,不成立，故不满足题意.

12

故答案为：②③.

反思提升：

（1）斜率的两种求法：定义法、斜率公式法.

（2）倾斜角和斜率范围求法：①图形观察（数形结合）；②充分利用函数左=tana的单调性.

【考点2】求直线的方程

一、单选题

1.（2023•江苏淮安•模拟预测）在平面直角坐标系xOv中，直线/通过原点，；7=（3,4）是/的一个法向量，则

直线/倾斜角的余弦值为（）

,4433

A.B.-C.-D."-

5555

2.（2024•全国,模拟预测）已知曲线〃力=出在点（1,〃功处的切线为/,贝心在'轴上的截距为（）

A.-2B.-1C.1D.2

二、多选题

3.（2023•浙江宁波・一模）已知直线/：〃?x-y+2〃?+l=0（加>0）与圆。：V+丁=4相交于两点，与

两坐标轴分别交于CD两点，记VAO3的面积为△COD的面积为$2，则（）

A.S]V2B.存在机，使星=3C.|AB|>^D.存在机，使卜|CE>|

4.（2024•黑龙江哈尔滨,模拟预测）已知圆C：（x-2）2+y2=4,直线/：（m+l）x+2y-3-m=0（meR）,

则（）

A.直线/恒过定点（LI）

B.存在实数7”，使得直线/与圆C没有公共点

C.当相=-3时，圆C上恰有两个点到直线/的距离等于1

D.圆C与圆/+丁-2尤+分+1=0恰有两条公切线

三、填空题

5.（2024•天津河东•一模）已知过点玳4,-3）的直线（不过原点）与圆。：炉+（"5）2=。相切，且在x轴、y

轴上的截距相等，贝M的值为.

6.（2023•江西南昌•一模）函数〃尤）=丁-如在尤=1处的切线平行于直线无一y—1=0,则切线在y轴上的

截距为.

12

参考答案:

1.A

3

【分析】设直线’的倾斜角为巴依题意可得tan°=-“再根据同角三角函数的基本关系计算可得

【详解】因为直线/通过原点，2=(3,4)是/的一个法向量,

3

所以直线/的方程为3%+4y=。，设直线/的倾斜角为6,贝Ijtan6=-二,

4

八sin63

tanv=----=—「,4

又，cos。4且0。<6><180。，解得cosO=——.

sin26>+cos20=15

故选:A

2.B

【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，代入点斜式得直线方程，令x=0即可求解.

【详解】由〃x)=xlnx得/'("=3+1,所以直线/的斜率左=_/''⑴=1,

又f(l)=O,所以直线/的方程为y=x-l,令x=0,得y=-l,即/在V轴上的截距为-1.

故选：B

3.ABC

【分析】运用数形结合思想，结合面积公式和点到直线距离，两点间距离，直线与圆弦长公式即可.

3

【详解】A.直线/：mx-y+—m+l=0(m>0),

3

当x=0时，y=—m+l,

31

当)=0时，%=-----,

2m

所以|CZ)|=」(』+工)2+(35+1)2,

N2m2

因为圆心为。(。,。)/=2,

—m+1

2

所以圆心到直线的距离4=

y/m2+1

AB

所以根据直线被圆截得的弦长公式有I+d2=4，

解得|AB|=2,4-筋,

所以S1二3阴xd="d2x4=/4二）+”=2,

13

—m+1

当且仅当4一d2=」2即d=0,即1=2=V2,

yjm2+1

解得根=2\/10-6时取得等号.

所以岳42,故A正确.

3

B.直线/：+—m+l=O（m>0）,

3

当x=0时，y=—m+l；

31

当y=0时，%=--,

2m

所以

T*呜+：）

=-----1-3）

24m

2一

当机=§时，02=3,故B正确.

3a

C.直线/：如-丁+不加+l=0（m>0）过定点尸（一］」）在圆内,

因为圆O：/+>2=4,圆心为。（0,0）/=2,

—m+1

所以圆心到直线的距离4=2

dm2+1

因为|4用=2,4-相22,4-|尸0『=2卜’=5

当且仅当/LOP时，d=|PO|,所以/被截得的弦长最短|AB|=G,

所以|45巧道.故C正确.

D.要使|A5|=|CD|,则A3与。。重合，

此时AB的直线方程为V=x+2不过定点尸（-；，1），

故D错.

故选:ABC.

4.ACD

14

【分析】求出直线/过的定点判断A；判断定点与圆的位置关系判断B；求出圆心到直线距离判断C；判断

圆与圆的位置关系判断D.

fx—1=0fx=l

【详解】对于A,直线/的方程为(x-l)〃z+x+2y-3=0,由。八，得，，

[x+2y-3=0[y=l

直线/过定点(1,1),A正确；

对于B,X(l-2)2+l2=2<4,即定点(-M)在圆C内，则直线/与圆C相交，有两个交点，B错误；

对于C,当〃?=一3时，直线/：x-y=0,圆心C(2,0)到直线/的距离为d=B兽=0,

V2

而圆C半径为2,且2-0<1,因此恰有2个点到直线/的距离等于1,C正确；

对于D,圆Y+y2-2x+8y+l=0化为(x-iy+(y+4)2=16,

圆尤2+-2x+8y+1=0的圆心为(1,-4),半径为4,

两圆圆心总巨为4-2=2<d'=J(l-2)2+(-4-0)2=历<6=4+2,

两圆相交，因此它们有两条公切线，D正确.

故选:ACD.

5.18

【分析】确定直线的方程，根据直线和圆相切可得圆心到直线的距离等于半径，列式求解，即得答案.

【详解】由题意知过点P(4,-3)的直线(不过原点)在X轴、y轴上的截距相等，

设该直线方程为x+y=6,将尸(4,-3)代入得6=1,即直线方程为x+y=l,

由于该直线与C:x?+(y+5)2=a,(a>0)相切，圆心为(0,-5),半径为新,

故-~~_-=yfu,=18,

故答案为：18

6.-2

【分析】由题意了")=1,求得。=2,所以/(x)=V-2x,贝=进而求出函数在无=1处的

切线方程，从而得解.

【详解]尸(龙)=3f_q,由题意r(l)=3_a=l,即4=2,

所以"x)=V_2x,则八1)=-1,

故函数〃尤)在x=l处的切线方程为V-=即y=x-2,

15

则切线在y轴上的截距为-2.

故答案为：-2.

反思提升：

⑴求直线方程一般有以下两种方法：

①直接法：由题意确定出直线方程的适当形式，然后直接写出其方程.

②待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求

出待定系数，即得所求直线方程.

（2）在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件，特别是对于点斜式、

截距式方程，使用时栗注意分类讨论思想的运用.

【考点3】直线方程的综合应用

一、单选题

1.（2022・安徽黄山•二模）已知抛物线。：丫2=2.（0>0）的焦点为歹，过点R（2,l）的直线/与抛物线C交于

A、8两点，R为线段A3的中点，若|阳+|FB|=5,则直线/的斜率为（）

1

A.-B.1C.2D.4

2

2.（2024・陕西商洛•三模）已知产（%,%）是圆C:d+y2-2x-2y+l=0上任意一点，则的最大值为（）

1-4-J7-4+77

A.-2B.——C.7D.7

233

二、多选题

3.（2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测）已知圆C：（X-2）2+/=4,直线/：（m+l）x+2y-3-m=0（meR）,

贝IJ（）

A.直线/恒过定点（LI）

B.存在实数修，使得直线/与圆C没有公共点

C.当m=-3时，圆C上恰有两个点到直线/的距离等于1

D.圆C与圆/+9-2工+8了+1=0恰有两条公切线

4.（2021•江苏常州•模拟预测）已知函数/（x）=77W+|x_l|，则下列结论正确的是（）

A.在区间（一*0）上单调递减，（1,内）上单调递增

B.的最小值为近，没有最大值

C.存在实数/，使得函数/（x）的图象关于直线x=/对称

D.方程f（x）=2的实根个数为2

三、填空题

16

5.（2022•黑龙江齐齐哈尔・二模）已知直线/:依->+1+2左=0,若直线/在两坐标轴上的截距相等，则实数

上的值为;若直线/不经过第三象限，则左的取值范围是.

6.（22-23高二上•江苏盐城•期中）已知尸、。分别在直线4：X-y+1=0与直线/?：彳-y-1=0上，且尸。，4,

点A（T,4）,3（4,0）,则|AP|+|尸回的最小值为.

参考答案：

1.B

【分析】设出点A,2的坐标，利用抛物线定义结合已知求出p,再借助斜率坐标公式计算作答.

【详解】设抛物线。：丁=2/（2>0）的准线为：x=_g

因R（2,l）为线段AB的中点，则%+々=4,又照+阀=玉+春+赴+5=4+°=5,解得p=l,

则抛物线C的方程为：/=2x,有％=g,々=贵，%+%=2,显然直线/的斜率存在，

22

/「-一%Xf2

所以直线/的斜率一百一々一豆一或一%+%一•

E一万

故选：B

2.D

y+1/、

【分析】'n的几何意义为直线人（》-3）-'-1=0的斜率，再根据直线与圆得交点即可得出答案.

【详解】设％=变形可得女伍一3）-%-1=0,

%一J

则”的几何意义为直线3）-y-1=0的斜率，

HC:x2+y2-2x-2y+l=0{t^C:（x-l）2+（y-l）2=1,

所以圆C的圆心为（1,1）,半径为1.

因为Pg4。）是圆。：/+丁-2-2丫+1=0上任意一点，

所以圆C与直线左（彳-3）-y-1=0有公共点，即圆的圆心C（l,l）到直线左"-3）-丁-1=。的距离不大于圆C

的半径，

所以叫注』vi,解得士心（士立,

VF+133

即”的最大为士立.

5-33

故选:D.

3.ACD

17

【分析】求出直线/过的定点判断A；判断定点与圆的位置关系判断B；求出圆心到直线距离判断C；判断

圆与圆的位置关系判断D.

fx—1=0fx=l

【详解】对于A,直线/的方程为(x-l)〃z+x+2y-3=0,由。八，得，，

[x+2y-3=0['=1

直线/过定点(1,1),A正确；

对于B,X(l-2)2+l2=2<4,即定点(-M)在圆C内，则直线/与圆C相交，有两个交点，B错误；

对于C,当〃?=一3时，直线/：x-y=0,圆心C(2,0)到直线/的距离为1=匕0=应，

V2

而圆C半径为2,且2-收<1,因此恰有2个点到直线/的距离等于1,C正确；

对于D,圆Y+y2-2x+8y+l=0化为(x-iy+(y+4)2=16,

圆龙2+V-2x+8y+1=0的圆心为(1,-4),半径为4,

两圆圆心湿巨为4-2=2<d'="(l-2)2+(-4-0)2=历<6=4+2,

两圆相交，因此它们有两条公切线，D正确.

故选:ACD.

4.ABD

【分析】根据题意画出图形，利用动点到两定点的距离之和的变化可判定A正确；求出最小值，分析无最

大值，可判定B正确；由对称性的定义，可判定C不正确；由单调性和函数值的关系，可判定D正确.

【详解】由题意，函数/(X)=,尤2+]+|尤_1|=小(尤_0)2+(0_1)2+J(尤_])2+(0_0)2,

可理解为动点尸(羽0)到两个定点A(0,D,B(l,0)的距离之和，

如图所示，

当x<0时，随着尤的增大，尸越靠近原点。时，P4越小，则上4+PB越小，

即外力越小，函数/(X)在(f,。)上单调递减，

当x>l时，随着尤的增大，尸越靠近原点3时，P4越大，则B4+P3越大，

即/(X)越大，函数/(X)在(1,y)上单调递增，所以A正确；

当点尸与点B重合时，B4+PB取得最小值&，点尸越向左远离。或向右远离3时，R4+R5越大，无最大

值，，即函数/'(X)有最小值正，无最大值，所以B正确；

当点尸与点B重合时，B4+P3取得最小值若函数f(x)有对称轴，则对称轴的方程为x=l,而

/(0)=2,/(2)=V5+l,可得〃0尸/(2),则x=l不是对称轴，

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所以存在实数f,使得函数/■(%)的图象关于x=f对称是错误的，所以C不正确；

因为尸与点。重合时，F(x)=2,当尤<0时，〃x)>2；当0<x<l时,/(x)e(>/2,2)；当尤>1时，〃尤)>0,

由〃x)在(1,内)上单调递增，所以存在/>0,使得〃力=2的实根个数为2,所以D正确.

故选：ABD.

【分析】分别令x=0和、=0求出直线在两坐标轴上的截距，利用截距相等解方程求出左的值；先分析/过定

点，然后根据条件结合图示判断出直线斜率满足的不等式，由此求解出左的取值范围.

【详解】因为直线/在两坐标轴上的截距相等，所以4力。，

在^kx—y+1+2k—0中，

令x=0,得y=l+2左，令y=。，得％=-2-?，

k

依题意可得1+24=-2-：，即2左2+32+1=0,

k

解得％=-!或k=-1;

2

/、鼠+2=0

直线/的方程可化为M%+2)—y+i=。，所以j_y+i=o，

所以［y=l，所以直线/过定点”J2,1),

所以《“=-；，由直线/：履一y+l+2k=°可得：y^kx+2k+\,

若/不经过第三象限，则-左V0,

故答案为：-1或-g；---<k<0.

22

6.回+夜/夜+屈

【分析】利用线段的等量关系进行转化，找到|AP|+|QB|最小值即为所求.

【详解】由直线《与乙间的距离为0得|PQ|=应，过3(4,0)作直线/垂直于4：x-y+l=0,如图,

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则直线/的方程为：y=r+4,将3(4,0)沿着直线/往上平移④个单位到？点，有？(3,1),

连接A8交直线4于点尸，过尸作尸。，/?于。，连接80,有刖'//打2,|88'|=|尸。|,即四边形22'尸。为平

行四边形，

则|PB'\=\BQ\,即有|朋+|照=|用+|尸阴=jAB1,显然［AB］是直线4上的点与点A,B距离和的最小值，

因此|AP|+|Q却的最小值，即|知+陷］的最小值W|,而网|=J(-4-3)，(4-以=屈,

所以|AP|+|P0+|QB|的最小值为|相［+|尸。=屈+夜

故答案为：758+72

【点睛】思路点睛：(1)合理的利用假设可以探究取值的范围，严谨的思维是验证的必要过程.

(2)转化与划归思想是解决距离最值问题中一种有效的途径.

(3)数形结合使得问