解三角形课件-2025届高三数学二轮复习

2025新高考数学

二轮复习解三角形落实主干知识1.正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容a2＝

；b2＝

；c2＝_________________b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC定理正弦定理余弦定理变形(1)a＝2RsinA，b＝

，c＝

；(2)sinA＝

，sinB＝

，sinC＝

；(3)a∶b∶c＝__________________cosA＝

；cosB＝

；cosC＝____________2RsinB2RsinCsinA∶sinB∶sinC2.三角形解的判断

A为锐角A为钝角或直角图形

关系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的个数一解两解一解一解(2)S＝

＝

＝

；(3)S＝

(r为三角形的内切圆半径).在△ABC中，常有以下结论：(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.(3)a>b⇔A>B⇔sinA>sinB，cosA<cosB.(5)三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.练基础1.(人A必二6.4.3节例题改编)在△ABC中,c=1,a=2,C=30°,则A=(

)A.60° B.90° C.45° D.120°B2.(人A必二6.4.3节习题改编)已知△ABC中,AB=3,BC=4,AC=,则△ABC的面积等于(

)B3.(人A必二6.4.3节例题改编)如图,某市区域地面有四个5G基站A,B,C,D.已知C,D两个基站建在江的南岸,距离为20km,基站A,B在江的北岸,测得∠ACB=75°,∠ACD=120°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,则A,B两个基站的距离为(

)D4.(人A必二6.4.3节习题改编)在△ABC中,已知b=2,A=45°,C=75°,则c=

.

真题体验1.(2023·全国乙,文4)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若acosB-bcosA=c,且C=,则B=(

)C解析

由acos

B-bcos

A=c及正弦定理,得sin

Acos

B-sin

Bcos

A=sin

C,即sin(A-B)=sin

C.又因为A,B,C是△ABC的内角,2.(2023·北京,7)在△ABC中,(a+b)(sinA-sinC)=b(sinA-sinB),则C=(

)BC4.(2021·全国乙,理15)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,B=60°,a2+c2=3ac,则b=

.

练考点考点一正弦定理、余弦定理的直接应用B(2)(2024·福建厦门模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知b-c=a,2sinB=3sinC,则cosA=(

)A[对点训练1](1)(2024·福建三明三模)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=3,b=,c=7,则A+C的值为(

)C(2)(2024·山东青岛一模)△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=2asinB,bc=4,则△ABC的面积为(

)A考点二三角形中的最值与范围问题例2(2024·湖北武汉二模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(2a-c)cosB-bcosC=0.(1)求B;解

(1)∵(2a-c)cos

B-bcos

C=0,由正弦定理得(2sin

A-sin

C)cos

B-sin

Bcos

C=0,2cos

Bsin

A-cos

Bsin

C-sin

Bcos

C=0,即2cos

Bsin

A=sin

Bcos

C+cos

Bsin

C,∴2cos

Bsin

A=sin(B+C)=sin

A.∵A∈(0,π),∴sin

A≠0,即cos

B=.∵B∈(0,π),∴B=.[对点训练2](2024·广东茂名一模)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且bsin(B+C)=asin(1)求B的大小;(2)若D是边AC的中点,且BD=2,求△ABC面积的最大值.思维升华求解三角形中面积和周长最值问题的常用方法在△ABC中，如果已知一个角及其对边，假设已知A，a，根据余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，即可得到“b2＋c2”与“bc”的等量关系.考点三解三角形的实际应用例3(1)(2024·山东临沂一模)在同一平面上有相距14千米的A,B两座炮台,A在B的正东方.某次演习时,A向西偏北θ方向发射炮弹,B则向东偏北θ方向发射炮弹,其中θ为锐角,观测回报两炮弹皆命中18千米外的同一目标,接着A改为向西偏北

方向发射炮弹,弹着点为18千米外的点M,则B炮台与弹着点M的距离为(

)A.7千米 B.8千米C.9千米 D.10千米D(2)(2024·江苏扬州模拟)小李同学打算用学到的解三角形知识测量某建筑物上面一座信号塔的高度.把塔底与塔顶分别看作点C,D,CD与地面垂直,小李先在地面上选取点A,B,测得AB=20m,在点A处测得点C,D的仰角分别为30°,60°,在点B处测得点D的仰角为30°,则塔CD高为

m.

20解析

在△ACD中,延长DC与BA的延长线交于点E,如图所示.由题意可知,∠CAE=30°,∠DAE=60°,∠DBA=30°,所以A,B,E三点在同一条直线上,所以∠DAC=30°,∠DCA=120°,∠ADC=30°,∠BDA=30°,所以△ACD,△BAD为等腰三角形,即|CD|=|CA|,|AD|=|AB|.设|CD|=x,即|CA|=x,在△ACD中,由余弦定理得,|AD|2=|CD|2+|CA|2-2|CD||CA|cos∠DCA,规律方法1.实际测量中的有关几个术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中,目标视线在水平视线上方的叫做仰角,目标视线在水平视线下方的叫做俯角

方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角.方位角α的范围是0°≤α<360°

术语名称术语意义图形表示方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,通常表达为北(南)偏东(西)α例:(1)北偏东α:

(2)南偏西α:

坡角与坡比坡面与水平面所成二面角的度数叫做坡度,θ为坡角;坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比,即

=tan

θ

2.解三角形实际应用题的步骤

[对点训练3](1)(2024·陕西西安模拟)在100m高的楼顶A处,测得正西方向地面上B,C两点(B,C与楼底在同一水平面上)的俯角分别是75°和15°,则B,C