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计算机算法设计与分析第6章回溯法6.3.2

n皇后问题在一个n×n个方格的棋盘中，需要放置n个皇后，根据国际象棋的规则，任意两个皇后不能处在同一行、同一列或同一斜线上，否则两个皇后会彼此攻击。下图所示为n=4个皇后的一个合理摆放方案，试给出满足条件的所有摆放方案。解空间向量--n皇后问题用一个n元组x[1],x[2],...x[n]表示n后问题的解，其中x[i]表示皇后i放置在棋盘的第i行的第x[i]列上。子集树—n皇后问题GDC3×

2×

1×

2×

1×

4...3...3×

2×

1×

4×

1×

3×

2×

4×

3×

4×

3×

2×

1×

4×

2×

1×

解ABEFHI约束条件—n皇后问题①x[i]≠x[j],i≠j②x[i]-i≠x[j]-j(斜率-1)

i-j≠x[i]-x[j]③x[i]+i≠x[j]+j(斜率+1)

i-j≠x[j]-x[i]将②和③合并为一个条件：|i-j|≠|x[i]-x[j]|剪枝判断函数代码实现//判断第k行的皇后是否与前面已放置的皇后发生冲突？intjudge(intk){inti=1;while(i<k){//与1~k-1之前的皇后进行判断if(x[i]==x[k]||abs(x[i]-x[k])==abs(i-k))//列或对角线冲突return0;i++;}return1;}n皇后递归回溯代码voidrecursion_queen(intt,intn){ if(t>n){ for(inti=1;i<=n;i++) printf("(%d,%d)",i,x[i]); count++; printf("-------这是其中第%d个解",count); printf("\n"); }else for(inti=1;i<=n;i++){ x[t]=i; if(judge(t)) recursion_queen(t+1,n); }}n个皇后位置都搜索完毕，输出结果，记录成功次数对皇后t去尝试第t行的每一个列位置若满足约束条件，则递归考虑下一个皇后时间复杂度分析n皇后问题实际上就是在解向量x1,x2,...,xn的全排列中找到符合条件的解，当整个解空间向量被全部搜索时，需要时间为O(n!)。另外，由judge函数可以看出每选择一个位置，需要对沿列方向主副对角线方向进行判断，随着层次增加而增加，判断次数为：1+2+3+...+n=(n+1)×n/2，因此，n皇

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