数学课堂探究：系统抽样

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究系统抽样的操作要领剖析:系统抽样操作的要领是先将个体数较多的总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分中抽取一个个体，得到所需样本．由于抽样的间隔相等,因此系统抽样也被称作等距抽样(或称机械抽样）．所以系统抽样中必须对总体中的每个个体进行合理（即等距）分段．若从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，系统抽样时，应先将总体中的各个个体编号,再确定分段间隔k，以便对总体进行分段．当eq\f（N，n)是整数时,取k＝eq\f(N,n)为分段间隔即可，如N＝100，n＝20,则分段间隔k＝eq\f(100，20)＝5．当eq\f（N,n）不是整数时，应先从总体中随机剔除一些个体，使剩余个体数N′能被n整除，这时分段间隔k＝eq\f(N′，n)，如N＝101，n＝20，则应先在总体中剔除一个个体，使剩余的总体容量(即100）能被20整除，从而得出分段间隔k＝eq\f（100，20）＝5．一般地,用简单随机抽样从总体中剔除部分个体，其个数为总体中的个体数除以样本容量所得的余数．上述过程中，总体中的每个个体被取出（或被剔除）的可能性相等,也就是每个个体不被选取（或不被剔除）的可能性也相等,所以在整个抽样过程中每个个体被抽取的机会仍然都相等，这说明使用系统抽样抽取样本的过程是公平的．题型一系统抽样的概念【例1】下列抽样中不是系统抽样的是（）A．从标有1～15号的15个球中,任选三个作样本,按从小号到大号排序,随机选起点i0（1≤i0≤5),以后选i0＋5，i0＋10号入选B．工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品进行检验C．进行某一市场调查,规定在商场门口随机抽一个人进行询问调查，直到调查到事先规定的调查人数为止D．在报告厅对与会听众进行调查，通知每排(每排人数相等)座位号为14的观众留下来座谈解析：选项C不是系统抽样，因事先不知道总体，抽样方法不能保证每个个体等可能入选,其余3个间隔都相同，符合系统抽样的特征．答案:C反思（1）系统抽样最明显的特征是“分组抽取”，否则不是系统抽样，系统抽样适用于总体中的个数较多时，因此此种情况应用简单随机抽样不方便．（2）系统抽样中，抽样的间隔相同，因此系统抽样也称作等距抽样．题型二系统抽样的应用【例2】某工厂有1001名工人，从中抽取10人参加体检，试写出系统抽样的具体实施步骤．分析：由于总体容量不能被样本容量整除，需先剔除1名工人,使得总体容量能被样本容量整除,取k＝eq\f(1000，10)＝100，然后再利用系统抽样的方法进行．解：(1）将每名工人编一个号由0001至1001；(2)利用随机数表法找到1个号将这1个号所对应的工人剔除；(3)将剩余的1000名工人重新编号0001至1000；（4)分段，取间隔k＝eq\f（1000,10）＝100,将总体均分为10组，每组含100名工人；（5）从第一段即0001号到0100号中随机抽取一个号l;(6)按编号将l,100＋l，200＋l，…，900＋l共10个号选出．这10个号所对应的工人即组成样本．反思当总体容量不能被样本容量整除时，可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除．题型三易错辨析【例3】从容量为111的总体中抽取容量为10的样本，每个个体入样的可能性为多少？若采用系统抽样的方法抽样，则抽样间隔k是多少？错解1：采用系统抽样的方法，先将个体编号：001,002，…，111，然后确定抽样间隔为eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f(N，n)）)＝k，即k＝11，每段11个个体，在第一段内，将编号为001，002，…，011的这11个个体采用简单随机抽样的方法抽取一个个体的可能性是eq\f（1，11），故每个个体入样的可能性是eq\f(1,11)，抽样间隔k＝11．错解2：由系统抽样的概念可知，每个个体入样的可能性均为eq\f(n,N)，故每个个体入样的可能性是eq\f（10，111）．抽样间隔k＝eq\f(N，n)＝eq\f(111，10）＝11．1．错因分析：对个体入样的可能性与eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1（\f(N,n)））的理解不准确．正解：由系统抽样的概念可知，每个个体入样的可能性均为eq\f(n，N)，故每个个体入样的可能性是eq\f(10,111)