数学课堂探究：诱导公式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一直接利用诱导公式化简、求值对于任意给定的角都要将其化成k·360°±α(k∈Z)，180°±α等形式进行求值，大体求值思路可以用口诀描述为“负变正，大变小,化为锐角范围内错不了"．【例1】求下列各三角函数式的值:（1）msin＋ntan(－4π)＋pcos；(2）a2sin810°＋b2tan765°＋（a2－b2）tan1125°－2abcos360°．分析：利用诱导公式（一)、(二）求值即可．解：(1）因为sin＝sin＝sin＝－1，tan(－4π)＝tan0＝0，cos＝cos＝cos＝0，所以原式＝－m．（2)因为sin810°＝sin(90°＋2×360°）＝sin90°＝1，tan765°＝tan(45°＋2×360°)＝tan45°＝1，tan1125°＝tan(45°＋3×360°）＝tan45°＝1，cos360°＝cos0°＝1，所以原式＝a2＋b2＋a2－b2－2ab＝2a2－2ab．反思解决本题,可以得出的一般规律：求值、化简时，一般先用诱导公式（二)把负角的三角函数值转化为正角的三角函数值，再用诱导公式（一)将其转化为[0，2π)内的角的三角函数值．探究二利用诱导公式化简利用诱导公式可在三角函数的变形过程中进行角的转化．在求任意角的过程中，一般先把负角转化为正角，正角转化为［0°，360°)范围内的角，再将这个范围内的角转化为锐角．即【例2】化简：．分析：利用诱导公式将290°,110°,250°角的三角函数转化为20°角的三角函数，再通过约分进行化简．解：原式＝＝＝＝＝＝＝＝－1．规律总结充分观察三角函数式中各个角的内在联系，利用诱导公式进行角的转化,可达到统一角的目的,判断两个三角函数值的差的符号，一般先化为同名三角函数值，再结合单位圆中的三角函数线加以确定，一般地，如果α，β都是锐角,且α>β，则sinα>sinβ，cosα<cosβ，tanα〉tanβ．探究三利用诱导公式证明问题证明无条件恒等式的基本方法:（1）从一边开始，证得它等于另一边，可以由左边推至右边，或由右边推至左边，遵循的是由繁到简的原则．(2）左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子．如左边＝A，右边＝A，则左边＝右边．(3)作差或作商法:即设法证明“左边－右边＝0”或“＝1，且右边≠0”．例3】求证：＝tanα．分析：观察被证等式两端，左边较为复杂,右边较为简简，可以从左边入手，利用诱导公式进行化简，逐步推向右边．证明：左边＝＝＝tanα＝右边,所以等式成立．反思利用诱导公式证明等式问题,关键在于公式的灵活应用．主要思路在于如何配角,如何分析角之间的关系．探究四给值（式)求值问题给值(或式)求值，解决的基本思路是认真找出条件式与待求式之间的差异性，主要包括函数名称及角两个方面，然后就是巧妙地选用公式“化异为同"或代入条件式求解．有时还需对条件式或待求式作适当化简后再作处理．【例4】已知sin（π＋α）＝，求sin（2π－α）－cot（α－π)·cosα的值．解：由sin(π＋α)＝可得－sinα＝，即sinα＝－．所以sin(2π－α）－cot（α－π）·cosα＝－sinα－·cosα＝－sinα－·cosα＝－sinα－·cosα＝－sinα－＝－＝－＝2．反思根据给值式、被求式的特点，发现它们之间的内在联系，恰当地选择公式，是做好本题的关键．【例5】已知cos＝，求cos－sin2的值．分析：注意到＋＝π，可以把＋α化成π－，且α－＝－，利用诱导公式即可．解:因为cos＝cos＝－cos＝－，sin2＝sin2＝1－cos2＝1－＝,所以