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文档简介

不定积分与定积分的运算第三节二、定积分的换元法三、分部积分法一、不定积分的换元法定积分的分部积分法不定积分的分部积分法四、积分的其它例子法2、第二类换元法1、第一类换元法一、换元积分法第四章第二类换元法第一类换元法基本思路

设可导,则有

1．第一换元积分法(凑微分法)

直接验证得知,计算方法正确．

我们可以把原积分作下列变形后计算：

换和计算：

第一类换元公式（凑微分法）计算步骤：定理1例1.

求解:

令则则原式

=注:

当时例2

求解例3.(1)

求解:令则想到公式练习：求解练习

被积函数的分母为二次式，分母为一次时，而分母的

导数正好为一次式，我们将分子凑成如下形式解例3(2).

求想到解:(直接配元)练习：求解例3(3).

求解:∴原式

=例4求解练习：例5

求解例6求解类似地即例7解例8解例9解规律1：例10

求解规律2：例11解例12求解例13求解1解2解3思考与练习1.下列各题积分方法有何不同?第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求,则得第二类换元积分法.难求，问题解决方法做变量替换,消去根号.过程令（应用“凑微分”即可求出结果）二、第二类换元法困难:含有根号定理2.

设是单调可导函数,且具有原函数,证明略.则有换元公式例1.

求解:

令则∴原式例1

求解令例1.

求解:令则∴原式令于是说明(1)以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令更一般地,方法：配方化成以上三种形式之一。例2

例2

求解例3求解例4求解令说明被积函数含有两个根式时,取根指数的最小公倍数.令令说明(2)以上几例所使用的均为根式代换.令例5

求解令例6

求原式例7

求令解说明(3)当分母中因子次数较高时,可采用倒代换基本积分表

P204常用基本积分公式的补充(P204)（补充）必须熟记！小结:1.第二类换元法常见类型:令令令令令2.常用基本积分公式的补充(P204)(7)

分母中因子次数较高时,可试用倒代换

令思考.

求提示:法1法2法3法4倒代换作业P222习题4.3(A)部分：2(1)(5)(7)(13)(17)(

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