2025年新高考数学一轮复习第4章重难点突破01三角函数中有关ω的取值范围与最值问题(六大题型)(学生版+解析)

重难点突破01三角函数中有关ω的取值范围与最值问题目录TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧与总结 202题型归纳与总结 3题型一：零点问题 3题型二：单调问题 4题型三：最值问题 5题型四：极值问题 6题型五：对称性问题 7题型六：性质的综合问题 803过关测试 9

1、在区间内没有零点同理，在区间内没有零点2、在区间内有个零点同理在区间内有个零点3、在区间内有个零点同理在区间内有个零点4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为，则．5、已知单调区间，则.题型一：零点问题【典例1-1】已知函数，且，则下列陈述不正确的是（

）A．若函数的相邻对称轴之间的距离为，则函数的最小正周期为πB．若函数的相邻对称轴之间的距离为，则为的一条对称轴C．若函数在区间上有三个零点，则的范围为D．若函数在无零点，则的范围为【典例1-2】（2024·陕西·模拟预测）已知函数在上有且只有5个零点，则实数的范围是（

）A． B． C． D．【变式1-1】已知函数在区间恰有6个零点，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式1-2】已知（其中），若方程在区间上恰有4个实根，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式1-3】函数，（，）满足，且在区间上有且仅有3个零点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式1-4】（2024·湖北武汉·模拟预测）设，已知函数在上恰有6个零点，则取值范围为（

）A． B． C． D．题型二：单调问题【典例2-1】若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【典例2-2】（2024·四川成都·模拟预测）若函数在上单调递增，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式2-1】已知函数，若对任意的实数m，在的值域均为，且在上单调递减，则ω的范围为.【变式2-2】（2024·宁夏银川·三模）函数的图像是由函数（大于零）的图像向左平移个单位所得，若函数在范围内单调，则的范围是.【变式2-3】已知函数，若函数在上单调递减，则的取值范围为（

）A． B． C． D．题型三：最值问题【典例3-1】函数在区间上有50个最大值，则的范围．【典例3-2】若函数在内存在最小值但无最大值，则的范围是【变式3-1】（2024·江西鹰潭·三模）已知函数，若且，则的最小值为（

）A．11 B．5 C．9 D．7【变式3-2】函数在内恰有两个最小值点，则ω的范围是（

）A． B．C． D．题型四：极值问题【典例4-1】记函数的最小正周期为T．若为的极小值点，则的最小值为__________．【典例4-2】已知函数，，函数在上有且仅有一个极小值但没有极大值，则的最小值为（

）A． B． C． D．【变式4-1】（2024·山西运城·高三统考期中）已知函数在区间内有且仅有一个极小值，且方程在区间内有3个不同的实数根，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式4-2】（2024·全国·校联考三模）已知函数，.若函数只有一个极大值和一个极小值，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式4-3】函数在上有唯一的极大值，则（

）A． B． C． D．题型五：对称性问题【典例5-1】已知函数，若的图象的任意一条对称轴与轴交点的横坐标均不属于区间，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【典例5-2】已知，（），若函数在区间内不存在对称轴，则的范围为（

）A． B．C． D．【变式5-1】已知函数在区间[0，]上有且仅有3条对称轴，则的取值范围是（

）A．（，] B．（，] C．[，） D．[，）【变式5-2】函数在区间上恰有两条对称轴，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式5-3】已知函数在内有且仅有三条对称轴，则的取值范围是（

）A． B． C． D．题型六：性质的综合问题【典例6-1】已知函数（），，下述五个结论：①若，且在有且仅有5个零点，则在有且仅有3个极大值点；②若，且在有且仅有4个零点，则在有且仅有3个极小值点；③若，且在有且仅有5个零点，则在上单调递增；④若，且在有且仅有4个零点，则的范围是；⑤若的图象关于对称，为它的一个零点，且在上单调，则的最大值为11.其中所有正确结论的编号是（

）A．②③④ B．①③⑤ C．②④⑤ D．①③④【典例6-2】已知，下列结论错误的个数是（

）①若，且的最小值为，则；②存在，使得的图像向右平移个单位长度后得到的图像关于轴对称；③若在上恰有7个零点，则的取值范围是；④若在上单调递增，则的取值范围是.A．1 B．2 C．3 D．4【变式6-1】（2024·天津·二模）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．若相邻两条对称轴的距离为，则；B．若，则时，的值域为；C．若在上单调递增，则；D．若在上恰有2个零点，则.A． B． C． D．5．（多选题）（2024·河北·模拟预测）已知函数在上有且仅有两个对称中心，则下列结论正确的是（

）A．的范围是B．函数在上单调递增C．不可能是函数的图像的一条对称轴D．的最小正周期可能为6．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知“”表示小于的最大整数，例如.若恰好有四个解,那么的范围是.7．已知函数在区间上有且仅有2个不同的零点，则的范围为.8．若函数，且，则的范围是.9．已知，同时满足：（1），或﹔（2）﹐，则的范围为．10．（2024·高三·四川成都·开学考试）函数，已知在区间恰有三个零点，则的范围为.11．（2024·天津河北·二模）已知函数的最小正周期为，若，时函数取得最大值，则，的最小值为.12．（2024·四川·三模）已知函数对任意的，都有，则的最小值为.13．已知函数在区间内恰有3个零点，则的取值范围是．14．设，已知函数在区间恰有6个零点，则ω的取值范围为15．若函数在上严格减，则正实数的取值范围是．16．若函数在上单调递增则的取值范围为.17．（2024·陕西·模拟预测）已知函数（）在区间上有且仅有3个极值点，则的取值范围是.18．（2024·江西九江·三模）已知函数在区间上有且仅有三个零点，则的取值范围是.19．已知函数（其中在区间上单调递增，且在区间上有3个零点，则的取值范围为.20．（2024·湖北·二模）已知函数（，）的最小正周期为T，，若在内恰有10个零点则的取值范围是．21．已知函数，若沿轴方向平移的图象，总能保证平移后的曲线与直线在区间上至少有2个交点，至多有3个交点，则正实数的取值范围为（建议：作答写成区间．）22．设常数，，若函数在区间上的最小值为0，则的最大值为23．（2024·福建南平·二模）函数在区间上单调递增，且在区间上恰有两个极值点，则的取值范围是.重难点突破01三角函数中有关ω的取值范围与最值问题目录TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧与总结 202题型归纳与总结 3题型一：零点问题 3题型二：单调问题 7题型三：最值问题 10题型四：极值问题 12题型五：对称性问题 15题型六：性质的综合问题 1803过关测试 22

1、在区间内没有零点同理，在区间内没有零点2、在区间内有个零点同理在区间内有个零点3、在区间内有个零点同理在区间内有个零点4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为，则．5、已知单调区间，则.题型一：零点问题【典例1-1】已知函数，且，则下列陈述不正确的是（

）A．若函数的相邻对称轴之间的距离为，则函数的最小正周期为πB．若函数的相邻对称轴之间的距离为，则为的一条对称轴C．若函数在区间上有三个零点，则的范围为D．若函数在无零点，则的范围为【答案】C【解析】，，则，，选项A，，正确；选项B，，，，时，，因此是函数图象的一条对称轴，正确；选项C，时，有三个零点，则，，错误；选项D，时，因为，则，无零点，，或，或，若，则，此时，在上一定有零点，不合题意，所以，正确．故选：C．【典例1-2】（2024·陕西·模拟预测）已知函数在上有且只有5个零点，则实数的范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，令，即，所以，在上有且只有5个零点，因为，所以，所以，如图，由正弦函数图像，要使在上有且只有5个零点，则，即，所以实数的范围是.

故选：C【变式1-1】已知函数在区间恰有6个零点，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函数，由，得或，解得的正零点为或，则函数从左到右的零点依次为：，为了使得在区间恰有6个零点，只需，解得，所以实数的取值范围为.故选：C【变式1-2】已知（其中），若方程在区间上恰有4个实根，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得，所以或，所以，或，或，或，由，得，所以，因为方程在区间上恰有4个实根，所以，解得，故选：D【变式1-3】函数，（，）满足，且在区间上有且仅有3个零点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，因为，，则因为在区间上有且仅有3个零点，且在零点0之前的三个零点依次为，则，解得.故选：C.【变式1-4】（2024·湖北武汉·模拟预测）设，已知函数在上恰有6个零点，则取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可知，令，即或，即或，当时，零点从小到大依次为，因此有，即．故选：B．题型二：单调问题【典例2-1】若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】当时，，若函数在区间上单调递增，则，，解得，又，当时,可得.故选：A.【典例2-2】（2024·四川成都·模拟预测）若函数在上单调递增，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函数在上单调递增，当时，，则，解得，故选：D【变式2-1】已知函数，若对任意的实数m，在的值域均为，且在上单调递减，则ω的范围为.【答案】【解析】易得，由，有，即对任意的实数m，在内都满足，故，则，由在上单调递减，则，即，当ω>0时，由于f（x）在R上的单调递减区间为，令k=0.有，则；令k=1，有，则；令k=2，有，无解，故，同理，当ω<0时，有，综上，.故答案为：.【变式2-2】（2024·宁夏银川·三模）函数的图像是由函数（大于零）的图像向左平移个单位所得，若函数在范围内单调，则的范围是.【答案】【解析】是由（大于零）向左平移个单位所得，故，又在即上单调，∴，,，由或，或，综上，的范围为.故答案为：.【变式2-3】已知函数，若函数在上单调递减，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得到，又因为在上单调递减，所以，得到，又，，即，令，得到，故选：D.题型三：最值问题【典例3-1】函数在区间上有50个最大值，则的范围．【答案】【解析】根据函数在区间上有50个最大值，由第50个和第51个最大值满足求解.因为函数在区间上有50个最大值，第一个最大值为：，第二个最大值为：，第三个最大值为：，…第50个最大值为：，第51个最大值为：，所以，解得，综上：的范围是.故答案为：【典例3-2】若函数在内存在最小值但无最大值，则的范围是【答案】【解析】函数，，所以当时，，又在内存在最小值但无最大值，结合图象可得，解得.故答案为：【变式3-1】（2024·江西鹰潭·三模）已知函数，若且，则的最小值为（

）A．11 B．5 C．9 D．7【答案】D【解析】由可知，在取得最小值，所以函数的一条对称轴为，又，因此，即；所以，又在取得最小值，可知，解得，又，所以时，取得最小值为7.故选：D【变式3-2】函数在内恰有两个最小值点，则ω的范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为函数在内恰有两个最小值点，，所以最小正周期满足所以，所以有：，故选：B题型四：极值问题【典例4-1】记函数的最小正周期为T．若为的极小值点，则的最小值为__________．【答案】14【解析】因为所以最小正周期，又所以，即；又为的极小值点，所以，解得，因为，所以当时；故答案为：14【典例4-2】已知函数，，函数在上有且仅有一个极小值但没有极大值，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴．又，∴．当时，函数取到最小值，此时，．解得，．所以当时，.故选：C．【变式4-1】（2024·山西运城·高三统考期中）已知函数在区间内有且仅有一个极小值，且方程在区间内有3个不同的实数根，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，若在区间内有且仅有一个极小值，则.若方程在区间内有3个不同的实数根，则，所以，由，解得.所以的取值范围是.故选：C【变式4-2】（2024·全国·校联考三模）已知函数，.若函数只有一个极大值和一个极小值，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，因为，所以则问题转化为在上只有一个极大值和一个极小值，因为函数只有一个极大值和一个极小值，则，即，又，所以，所以则解得故故选：C【变式4-3】函数在上有唯一的极大值，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】方法一：当时，，因为函数在上有唯一的极大值，所以函数在上有唯一极大值，所以，，解得.故选：C方法二：令，，则，，所以，函数在轴右侧的第一个极大值点为，第二个极大值点为，因为函数在上有唯一的极大值，所以，解得.故选：C题型五：对称性问题【典例5-1】已知函数，若的图象的任意一条对称轴与轴交点的横坐标均不属于区间，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为的图像的任何一条对称轴与轴交点的横坐标均不属于区间，所以，所以，又，且，解得，又因，所以，解得，当时，符合题意，当时，，符合题意，所以.故选：D.【典例5-2】已知，（），若函数在区间内不存在对称轴，则的范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】函数化简得，由，可得函数的对称轴为，由题意知，且，即，，若使该不等式组有解，则需满足，即，又，故，即，所以，又，所以或，所以．【变式5-1】已知函数在区间[0，]上有且仅有3条对称轴，则的取值范围是（

）A．（，] B．（，] C．[，） D．[，）【答案】C【解析】，令，，则，，函数f（x）在区间[0，]上有且仅有3条对称轴，即有3个整数k符合，，得，则，即，∴.故选：C.【变式5-2】函数在区间上恰有两条对称轴，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，令，，则，，函数在区间[0，]上有且仅有2条对称轴，即有2个整数k符合，，得，则，即，∴.故选：D.【变式5-3】已知函数在内有且仅有三条对称轴，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】时，函数，则，函数在内有且仅有三条对称轴，则：满足，解得，即实数的取值范围是.题型六：性质的综合问题【典例6-1】已知函数（），，下述五个结论：①若，且在有且仅有5个零点，则在有且仅有3个极大值点；②若，且在有且仅有4个零点，则在有且仅有3个极小值点；③若，且在有且仅有5个零点，则在上单调递增；④若，且在有且仅有4个零点，则的范围是；⑤若的图象关于对称，为它的一个零点，且在上单调，则的最大值为11.其中所有正确结论的编号是（

）A．②③④ B．①③⑤ C．②④⑤ D．①③④【答案】D【解析】结合正弦函数的性质进行判断．作出的大致图象，由上的零点个数判断①②③④，其中③需结合单调性判断，结合周期，先确定周期的表达式．再由单调性得周期的范围，然后从最大的验证，判断⑤．①若，在上有5个零点，可画出大致图象，由图可知，在有且仅有3个极大值点，故①正确；②若，且在有且仅有4个零点，同样由图可知在有且仅有2个极小值点，故②错误；③若，由在上有5个零点，得，即，当时，，所以，所以在上单调递增，故③正确；④若，因为，∴，∴，因为在有且仅有4个零点，所以，所以，所以④正确；⑤若的图象关于对称，为它的零点，则(，T为周期)，得，又在上单调，所以，，又当时，，，在上不单调；当时，，，在上单调，满足题意，故的最大值为9，故⑤不正确，故选：D.【典例6-2】已知，下列结论错误的个数是（

）①若，且的最小值为，则；②存在，使得的图像向右平移个单位长度后得到的图像关于轴对称；③若在上恰有7个零点，则的取值范围是；④若在上单调递增，则的取值范围是.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】，周期，①由条件知，周期为，故①错误；②函数图象右移个单位长度后得到的函数为，其图象关于轴对称，则，故对任意整数，故②错误；③由条件，得，故③错误；④由条件，得，又，故④正确.故选：C.【变式6-1】（2024·天津·二模）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．若相邻两条对称轴的距离为，则；B．若，则时，的值域为；C．若在上单调递增，则；D．若在上恰有2个零点，则.【答案】D【解析】，对于A：若相邻两条对称轴的距离为，则最小正周期为，故，选项A不正确；对于B，若，则，当时，的值域为，选项B不正确；对于C：若在上单调递增，则，选项C不正确；对于D：，则，若在上恰有2个零点，则，则，选项D正确.故选：D.【变式6-2】已知奇函数在上有2个最值点和1个零点，则的范围是.【答案】【解析】函数，因为该函数为奇函数，故，又，所以，即，因为在上有2个最值点和1个零点，故，即的范围是，故答案为：【变式6-3】（2024·安徽合肥·三模）已知函数在区间上只有一个零点和两个最大值点，则的取值范围是．【答案】【解析】，由，，得，时，，最大时，也最大，若在区间上只有一个零点和两个最大值点，则只需，解得．故答案为：.【变式6-4】已知函数，且，在区间上恰有4个不同的实数，使得对任意都满，且对任意角，在区间上均不是单调函数，则的取值范围是.【答案】【解析】因为且，所以，即，所以，故.由可得的图象关于点对称，，即，其中.当时，，因函数在上的前个零点依次为，可得，解得，又在上不是单调函数，，解得，综上可得，即的取值范围是.故答案为：.1．已知函数，若在区间有三个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，且，令，则，即在上有三个零点，由余弦函数图象知，即，解得.故选：D.2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数在上有且仅有两个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函数，由，得，要使函数在上有且仅有两个零点，则，得，即的取值范围是.故选：.3．若函数在上恰好存在2个不同的满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，，由得，则.则，解得.故选：B.4．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数的定义域为，在定义域内存在唯一，使得，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，，在定义域内存在唯一，使得，所以在上有唯一解，令，所以在上有唯一解，则由正弦函数图像性质可知，，故选：D.5．（多选题）（2024·河北·模拟预测）已知函数在上有且仅有两个对称中心，则下列结论正确的是（

）A．的范围是B．函数在上单调递增C．不可能是函数的图像的一条对称轴D．的最小正周期可能为【答案】AC【解析】A选项，时，，由函数在上有且仅有两个对称中心得，，解得，A正确；B选项，时，，由A可知，故，而，故函数在上不一定单调，B错误；C选项，假设为函数的一条对称轴，令，，解得，，又，故，又，故无解，故不可能是函数的图像的一条对称轴，C正确；D选项，，故的最小正周期，故的最小正周期不可能为，D错误.故选：AC6．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知“”表示小于的最大整数，例如.若恰好有四个解,那么的范围是.【答案】【解析】当时，如图为满足题意的两种情况：即或，解得；当时，如图：则，解得.综上，的范围是，故答案为：.7．已知函数在区间上有且仅有2个不同的零点，则的范围为.【答案】【解析】，则，函数有且仅有2个不同的零点，则，解得.故答案为：8．若函数，且，则的范围是.【答案】【解析】若，则，所以；若，则，所以的范围为.故答案为：.9．已知，同时满足：（1），或﹔（2）﹐，则的范围为．【答案】【解析】由，得，所以在上单调递增，由，所以，；，.条件（1），或，由的性质可知，条件等价于，，当时，有，由恒成立，∴，解得.条件（2）﹐，由时恒成立，条件等价于﹐，当时，有，，∴，解得.所以则的取值范围为.故答案为：10．（2024·高三·四川成都·开学考试）函数，已知在区间恰有三个零点，则的范围为.【答案】【解析】由题意可得，令，即恰有三个实根，三根为：①，k∵，∴∴或，当k=-1时，解得的范围为故答案为11．（2024·天津河北·二模）已知函数的最小正周期为，若，时函数取得最大值，则，的最小值为.【答案】//【解析】函数的最小正周期为，若，由，得，所以，因为时函数有最大值，所以，故，所