初升高数学最值专题PA+PB型 将军饮马问题 【学生版】

第X节两条线段的最值

课中讲解

PA+PB型

内容讲解

(1)两条线段和最小

已知平面内两点A、B，在直线!上找一点尸，使得PA+PB最小。

同侧异侧

例1.(2017春•锦江区校级期末)如图，正方形48co的面积为20,AABE是等边三角形,

点E在正方形A6CO内，在对角线AC上有一点尸，使尸力+庄的和最小，则这个最小值为

A.4B.V20C.25/5D.不

例2.（2011•金牛区校级自主招生）如图，已知0。的半径为R,C、D是直径的同侧圆

周上的两点，AC的发数为100。，BC=2BD,动点P在线段AB上，则PC+P力的最小值

为（）

RB.41RC.D.—R

A.2

例3.（2016秋•宜兴市校级期中）如图，平面直角坐标系中，已知点”（2,3）、以点8（3,4）为

圆心，3为半径作08,N是06上的动点，尸为工轴上的动点，则尸A/+PN的最小值

过关检测

1.（2020春•成华区期末）如图，菱形的周长为12,点E,尸分别在C£＞，C8上,

CE=2,CF=1,点尸为对角线3。上一动点，则EP+口的最小值为.

'B

2.（2020•成都模拟）在菱形ASCQ中，AB-4,4短。一120°，点E是45的中点，点P是

对角线上一个动点，则Q4+PE的最小值是

3.如图，平面直角坐标系中，分别以点4（2,3）、点B（3,4）为圆心，1、3为半径作04、OB,

M,N分别是04、G加上的动点，尸为“轴上的动点，则+的最小值为（）

A.5a-4B.717-1C.6-2&D.>/17

4.（2019•成都）如图，在边长为1的菱形ABCD中，ZABC=60°，将A48O沿射线8。的方

向平移得到△AB77,分别连接4。，AfD,B'C,则4。+夕。的最小值为

（2）两条线段差的绝对值最大

同侧异侧

例1.如图，A、B两点在直线/的两侧，点A到直线/的距离AC=4,点8到直线/的距离

BD=2,且CD=6,2为直线CD上的动点，则IPA-P8|的最大值是（）

A.672B.2y/lC.2而D.6

例2.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点8在y轴的正半

轴上，点人在反比例函数〉二4。〉0,左＞（））的图象上，点。的坐标为（4,3）.

x

（1）求反比例函数的关系式；

（2）若将菱形口。沿x轴正方向平移，当菱形的顶点。落在函数y二A。＞0,攵＞0）的图

x

象上时，求菱形A3CO沿X轴正方向平移的距离.

（3）在x轴上是否存在一点尸，使|PA-尸8|有最大值，若存在，请求出点尸坐标；若不

存在，请说明理由.

例3.已知：如图，在平面直角坐标系X。)，中，直线)，=-[x+6与X轴、y轴的交点分别为

A、8,将NO8A对折，使点。的对应点月落在直线上，折痕交X轴于点C.

(1)直接写出点C的坐标，并求过4、3、C三点的抛物线的解析式；

(2)若抛物线的顶点为力，在直线BC上是否存在点尸，使得四边形。D4尸为平行四边形？

若存在，求出点尸的坐标：若不存在，说明理由；

(3)设抛物线的对称轴与直线3。的交点为了，。为线段取上一点，直接写出|＜矍-。0|

的取值范围.

过关检测

I.如图，在平面直角坐标系中，点4(-2,3),3(4,5),点尸是;v轴上一动点.求:

①R4+08的最小值及此时点P的坐标；

②|必-「引的最大值及此时点尸的坐标.

JA

B

A

OX

2.如图，抛物线y=o?+加+3经过A(T,O),B(3,0)两点，且交y轴5点c,对称轴与抛物

线相交于点?、与直线相交于点M.

(1)求该抛物线的解析式.

(2)在抛物线上是否存在一点N,使得|MN-0N|的值最大？若存在,请求出点N的坐标；

若不存在，请说明理由.

(3)连接尸8,请探究：在抛物线上是否存在一点Q,使得AQM3与的面积相等？

若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)两条线段差的绝对值最小

同侧

总结：不管同侧还是异侧，直接作中垂线即可，可利用中点公式及两直线互相垂直的结论

进行解题。

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例1.抛物线十十2与y轴交丁点A,顶点为6.点尸是工轴上的个动点，当

点尸的坐标是时，IPA-PBI取得最小值.

过关检测

1.已知抛物线y+区经过点A(4,0).设点C(l,-3)，请在抛物线的对称轴上确定一点D,

使得IAD-C0的值最大，则。点的坐标为.

学习任务

1.（2011•丛台区校级自主招生）如图，“N是半径为1的OO的直径，点A在0O上，

ZAMV=3O°,3为/W弧的中点，点P是直径“N上一个动点，则Q4+P8的最小值为（

)

A.272B.V2C.1D.2

2.（2020•双流区模拟）如图，在菱形A3CD中，=y,M,N分别是BC,CD的中点,

尸是对角线比）上的一个动点，则P河+PN的最小值是.

3.（2019•双流区模拟）如图，在矩形A5CD中，AB=3,4）=4,点E是AB边上一动点，

连接CE,过点8作BG_LCE于点G，点P是45边上另一动点，连接尸D,PG，则"+PG

的最