2023年高考数学一轮复习艺体生高频考点专用复习讲义专题24 空间几何体的表面积与体积【艺体生专供-选择填空抢分专题】202

【艺体生专供一选择填空抢分专题】备战2023年高考高频考点题型精讲+精练（新高考通用）

专题24空间几何体的表面积和体积

一、考向解读

考向：通过考查几何体体积和表面积的计算，主要考查棱柱、棱锥或不规则几何体的特

征及体积与表面积的计算，凸显数学运算、直观想象的核心素养

考点：空间几何体的表面积和体积

导师建议：难点是组合体的表面积，需要对基本的立体图形非常熟悉！

二、知识点汇总

1.棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，

由这些面所围成的多面体叫做棱柱.

（1）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；

（2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；

（3）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；

（4）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；

（5）直平行/'、面体：侧棱垂直于底面的平行/'、面体；

（6）长方体：底面是矩形的直平行六面体；

（7）正方体：棱长都相等的长方体.

2•棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体

叫做棱锥.

（1）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心；

（2）正四面体：所有棱长都相等的三棱锥.

3,棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥

截得的棱台叫做正棱台.

4,圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱.

5.圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几

何体叫做圆锥.

6.圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台.

7,球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球.

表面积公式

5汽板”=凶+2s欣A7]

柱

S斜加=c7+2slit(c'为直截面周长)

体

S=24/+2乃/7=2^r(r+Z)2"

ntt目匕

\-wi：=g〃H?’+S底

锥

体5=冗户+7vrl=7ir[r+/)

表iiw通

面

品屿=：〃（。+"）%+匕+卜

积台55

体=水，'+「'+r'l+r/）您3

球S=47TR，

体积公式

4

柱体匕=Sh

体

锥体V,=-Sh

w

积3

匕病7〃

台体=g(S++S4F\

目录一览

①柱、锥、台的表面积

②柱、锥、台的体积

③球的表面积和体积

④组合体的表面积和体积

⑤多选题与填空题

高考题精选

题型精练，巩固基础

①柱、锥、台的表面积

一、单选题

1.在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，已知某“堑堵”的底面是斜边长为2的

等腰直角三角形，而为2,则该“堑堵”的表面积为（〉

A.2&+2B.2叵+3C.4夜+4D.4及+6

【答案】D

【分析】利用柱体的表面积公式可求得结果.

【详解】由题意可知，该“堑堵”的表面积为S表=（2a+2）x2+2xgx后x上=4&+6.

故选：D.

2.若六棱柱的底面是边长为3的正六边形，侧面为矩形，侧棱长为4,则其侧面积等于（）

A.12B.48C.64D.72

【答案】D

【分析】由六棱柱的底面是边长为3的正六边形，求出底面周长，再由侧棱长，即棱柱的高为4,代入棱柱

侧面积公式，可得答案.

【详解】解：六棱柱的底面是边长为3的正六边形,

故底面周长C=6X3=18,

又侧面是矩形，侧棱长为4,

故棱柱的高人=4,

•••棱柱的侧面积s=a=72,

故选：D

3.某药厂制造一种药物胶囊，如图所示，胶囊的两端为半球形，半径,•=忘，中间可视为圆柱，若该种胶

囊的表面积为16乃，则该种胶囊的体积为（）

C.座万、16

D.—n

33

【分析】设圆柱高为/，左、右两端半球形半径为L其表面积为S,胶囊的体积为丫（「），由圆柱侧面积和

球的表面积公式列出等式，用Sj表示出/,然后由圆柱与球体积公式求得V"）并代入已知可得.

【详解】设圆柱高为/,左、右两端半球形半径为L其表面积为S,胶囊的体积为V,依题意,

।f、4321Sr2

4"+2^/7=S=>I=-----,--故=+江广/=————7rPt将S=16肛r=■代入可得

Inr323

故选：A

4.唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图甲所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.

它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图乙所示.

已知半球的半径为酒杯内壁表面积为6兀则圆柱的高和球的半径之比为（）

甲乙

A.2:3B.2:1C.3:1D.3:2

【答案】B

【分析】根据给定的几何体，利用圆柱和球的表面积公式求出圆柱的高与球的半径关系，即可求解.

【详解】设圆柱的高为3因为忽略杯壁厚度，所以酒杯内壁表面积为半球的表面积与圆柱的侧面积之和,

即;乂4九&+2兀/?•力=6兀叱，解得力=2R,所以圆柱的高和球的半径的比为2:1.

故选：B

5.棱长都是1的三棱锥的表面积为（）

A.8B.2+C.3>/3D.4x/3

【答案】A

【分析】棱长都是1的三棱锥，四个面是全等的正三角形，求出一个面积即可求得结果.

【详解】因为四个面是全等的正三角形，

s底而积=5xixix《一:7'

则表面积S=4x^=6

4

故选：A.

6.已知正四楂锥P-A8co的底面正方形的中心为。，若高尸0"NPAO=45。，则该四棱锥的表面积

是（）

A.4十20B.4+4>/2C.4+28D.4+4力

【答案】D

【分析】先在正四棱锥中由高P0=&,/E4O=45。，求出底面边长和侧棱的长，然后再求表面积.

【详解】依题意，正四棱锥的高P。人底面ABC。，且NE4O=45。，知.小。为等腰直角三角形，则侧棱

P0

PA=2,且AO=PO=&，

sinZPAOsin45°

则底面正方形A8CO的对角线AC=2A0=272=0AB，得正方形的边长A8=2,

从而知正四棱锥的4个侧面均是边长为2的正三角形;

所以底面积为：|阴2=4；侧面积为：4SMB=4xlx2x2xsin60°=4V3

故正四棱锥的表面积为：4+46.故选：D

7.已知某圆锥的侧面展开图为半圆，该圆锥的体积为9班冗，则该圆锥的表面积为（）

A.27nB.206nC.18血兀D.167r

【答案】A

【分析】根据条件先算出母线长与底面半径的关系，再根据体积计算出底面半径即可.

【详解】设圆锥底面半径为r,母线长为1,则2“=兀/,所以/=2/，所以圆锥的高为炉下=百厂，

所以［X］，・6厂=9\/54，解得r=3,故其表面积5'=4/+乃”=9乃+184=27万；故选：A.

8.如图是某灯具厂生产的一批不倒翁型台灯外形，它由一个圆锥和一个半球组合而成，圆锥口勺高是0.4m,

底面直径和球的直径都是0.6m,现对这个台灯表面涂胶，如果每平方米需要涂200克，则共需涂胶（）

克（精确到个位数）

A.176B.207C.239D.270

【答案】B

【分析】求出圆锥的母线长，再由台灯是由一个圆锥和一个半球组成可求得台灯表面积5=口/+2仃2的值,

进而求得涂胶的克数.

【详解】由已知得圆锥的母线长/=J0.32+0.42=0.5,

2

所以台灯表面积为S=nrl+27rr=7rx()3x()5+21rx0.3=033TT.

需要涂胶的重量为0.33兀x200=66兀《66x3.14=207.24^207（克）,

故选：B.

9.若某正四棱台的上、下底面边长分别为3,9,侧棱长是6,则它的表面积为（）

A.90+72^B.90+27V3C.90+720D.90+27石

【答案】A

【分析】利用正棱台的侧面是等腰梯形，根据已知条件计算斜高，然后根据梯形的面积公式计算侧面积,

进而求得表面积.

【详解】由题意可得，上底面的面积为9,下底面的面积为81,

侧面的高为-3,=3#，

所以该正四棱台的表面积为9+81+4、包归赵=90+726.

2

故选：A

【点睛】本题主要考查了正棱台的表面积，关键在于利用正棱台侧面是等腰梯形，根据已知条件，利用等

腰梯形的性质计算斜高，属于基础题.

10.正四棱台的上、下底面边长分别为1cm,3cm,侧棱长为2cm,则棱台的侧面积为（）

A.4cm:B.8cm2

C.45/3cm2D.8\/3cm:

【答案】D

【分析】利用已知条件求出斜高，然后求解棱台的侧面积即可.

【详解】正四棱台的上、下底面边长分别为1cm,3cm,侧棱长为2cm,

所以棱台的斜高为：52一（号2=6.

所以棱台的侧面积是：4XTX6=86.

故选：D.

11.已知圆台的上、下底面的半径分别为R,r,若R=2r=2,高/?=G，则该圆台的侧面积为（）

A.9兀B.11乃C.6万D.34

【答案】C

【分析】构造三角形求出母线长，再代入％台0产开（4+4）/可得结果.

【详解】如图所示，过A作AC垂直于QB于点C,则8c=1,AC=6

4、------•（）,

二在直角AACB中，//明二/+小尸=2・・・5园自例=4（氏+力/=乃乂（2+1“2=6万

故选：C.

12.已知圆台下底面半径是上底面半径的2倍，若从该圆台中挖掉一个圆锥，圆锥的底面是圆台的上底面,

圆锥的顶点是圆台下底面的圆心，则圆锥的侧面积是圆台侧面积的（）

A.!B.—C.-D.—

2346

【答案】B

【详解】设圆台上底面半径为r,则圆台下底面半径为2r,圆锥的底面半径为r,

设圆台的高为h,则圆锥的的高为h

则圆台母线长为巧花二"=庐"，圆锥的母线长为〃

则圆锥的侧面积为九/〃2+产

圆台侧面积为冗（厂+2厂）\/"+/=3兀八/胃+产,则圆锥的侧面积是圆台侧面积的g

故选：B

②柱、锥、台的体积

13.《九章算术・商功》中记载：“斜解立方，得两堑堵.斜解钻堵，其一为阳马，一为整嚅,不易力率也.”我

们可以翻译为：取一长方体，分成两个一模一样的直三棱柱，称为堑堵.再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开,

得一个四棱锥和一个三棱锥，这个四棱锥称为阳马，这个三棱锥称为鳖㈱.现已知某个鳖膈的体积是I,则

原长方体的体积是（）

A.8B.6C.4D.3

【答案】B

【分析】根据柱体和锥体体积公式求得正确答案.

【详解】如图所示，原长方体ABC。-A4GA,

设矩形3CG4的面积为S,CR=h,

鳖腐A-BCC的体积为1,

即4x（弓Sx/?=1,所以S〃=6,

）IZz

即原长方体的体积是6.

14.陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗.图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个

圆柱的组合体，其直观图如图2所示,其中&C分别是上、下底面圆的圆心，且AC=3A3=6,底面圆的半

径为2,则该陀螺的体积是（）

c567r

C.20万D.——

3

【答案】D

【分析】根据圆锥与圆柱的体积公式.可得答案.

【详解】已知底面圆的半径/*=2,由AC=3A6=6,则A6=2,8C=4,

故该陀螺的体积V=8。++?也储=乎;r.

33

故选：D.

15.已知正三棱柱ABC-A8C的底面边长为2,侧棱长为石，则三棱锥A-BQC的体积为（）

A.；B.更C.1D.6

22

【答案】C

【分析】根据三棱锥的体积与三棱柱体积的关系求解.

【详解】正三棱柱ABC-的底面边长为2,侧棱长为G，

棱柱的底面面积为：$2x亚丁=6.

棱柱的体积为：S〃=Gx百=3.

由三棱锥的体积的推导过程可知：

三棱锥A-q8C的体积为：=1x3=1.

故选：C.

16.已知正四棱锥的高为3,底面边长为友,则该棱锥的体枳为（）

A.6B.3五C.2D.72

【答案】C

【分析】直接利用棱锥的体积公式计算即可.

【详解】根据棱锥的体积公式得该棱锥的体积为:x正x&x3=2

故选：C.

17.一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为1的半圆，则该圆锥的体积为（）

A.储B.立冗C.储D.立江

241262

【答案】A

【分析】根据圆锥底面圆周长等于侧面展开图的弧长，求得底面圆半径，根据勾股定理求出圆锥的高，结

合圆锥体积公式计算即可求解.

【详解】母线长为1,设底面圆半径为，，

则271T=兀,.,・「=；,/.h=_（；）?=W,

故圆锥的体积为丫=：a=/（327r.乎=粤，

故选：A.

18.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其形状可视为一个底面周长恰为高的27t倍的E四棱锥，现

将一个棱长为6的正方体铜块，熔化铸造一些高为4的胡夫金字塔模型，则该铜块最多能铸造出（）个该

金字塔模型（不计损耗）？

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【详解】在正四棱锥P-ABC力中，令4c「8。=。，连接P。，则正四棱锥P-的高为|尸。=4

设正四棱锥P-A8C。的底面边长为a,贝IJ4。=2兀怛0|=8兀，即a=2兀

・••正四棱锥P-ABCD的体积为匕“8=3（2兀『x4=殍

则可得Ax峋匚K61则心2。4.1

32五“

该铜块最多能铸造出4个该金字塔模型

故选：B.

19.圆台上、下底面半径分别是12,高为G，这个圆台的体积是（）

A.逋兀B.2扇C.[&tD.巫式

33

【答案】A

【分析】运用圆台体积公式直接计算.

【详解】由圆台体积公式知：V=\/z（/?2+r2+/?r）=^x>/3x（P+22+lx2）=^n;

故选：A.

20.圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半径分别为4和5,则该圆台的

体积为（）

A.6171B.627tC.63冗D.64兀

【答案】A

【分析】先求得圆台的高，然后根据圆台的体积公式求得正确答案.

【详解】求得直径为10,半径为5,

圆台的下底面半径为5,所以圆台的高为庐不=3，

所以圆台的体积为1X(42+4X5+52)X3=6E.

故选：A

21.某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1所示，该几何体为上、下底面周长分别为32cm,24cm的

正四棱台，若棱台的高为3cm,忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为()

C.148cm1D.298cm1

【答案】C

【分析】利用台体的体积公式直接计算即可.

【详解】由题意可知，该四棱台的上、下底面边长分别为8cm,6cm,

故该香料收纳罐的容积为：x3x(82+62+8x6)=148cm'.故选：C.

22.如图，是某种型号的家用燃气瓶，其盛气部分近似可以看作由一个半球和一个圆柱体组成，设球的半

径为R,圆柱体的高为力，若要保持圆柱体的容积为定值V=3兀立方米，则为使制造这种燃气瓶所用材料最

R

省(温馨提示：即由半球和圆柱体组成的几何体表面积最小)，此时厂()

A.—B.JC.-D.-

2234

【答案】C

【分析】根据题意，先求出表面积的表达式，利用V=3兀为定值求出万与R的关系，再利用基本不等式求解

即可.

【详解】依题意.

nR-h=3兀，R%=3,所以S=2冗片+nR2+2nRh=n(3R2+2Rh)

当时取等,所以,1斤3,故沁

23.圆柱的高等于球的直径，圆柱的侧面积等于球的表面积，设球的体积为匕则圆柱的体积为（）

3314

A.-VB.-VC.-VD.-V

2423

【答案】A

【分析】根据题意，结合球与圆柱的体积和表面积公式计算即可求解.

【详解】由题意知，设球的半径为R,圆柱底面圆的半径为r,

~4

对于球，表面积S球"4万/^匕长二鼻切?、

对于圆柱，侧面积鼠柱=2W2R=4仃R,%柱=乃，,2R=2M2R,

因为圆柱的侧面积等于球的表面积，所以4乃此=4仃R,

得,=k，则%拄=2切?3,

3333

又农配=2%，所以%柱=2qL=］唳=］忆

故选：A.

③球的表面积和体积

24.在正四楂台ABC。-A4GA中，AB=2AA］=2AlBt=2y/2,且各顶点都在同一球面上，则该球体的表

面积为（）

A.207rB.5后itC.10nD.5兀

【答案】A

【分析】根据题意画出图形，由图构造直角三角形，即可求得心，由求得表面积公式求得球体的表面积.

【详解】如图所示的正四棱台A8CQ-A4GA,A8=2M=2A4=2&,取上下两个底面的中心”,N,

连接MN,AM,AN,过点A作底面的垂线与4N相交于点巴

因为四棱台A8C。-AMGA为正四棱台，所以外接球的球心一定在上，在MN上取一点。为球心，连

接0AoA,则04==A,设ON=h,

因为A8=2A4,=2A4=2JL所以4N=2，AM=1,

MN==^AA^-AE2=^AA；-(AN-EN^=^AA.2-(AN-A.M)2=1,

在HOW中，OA1=AN2+ON2,BP/?2=22+/r,

在放/XOAM中，0A2=。知2+4知2,gp7?2=(l-/2)2+l2,

解得W=5,所以S球=4冗&2=2的，

故选：A.

25.某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被

一个棱长为46的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的

周长为4兀，则该球的体积是（）

【答案】A

【分析】求出球心到截面圆所在平面的距离以及截面圆的半径，利用勾股定理可求得球的半径，再利用球

的体积公式即可求得结果.

【详解】由题意可得，球心到截面圆所在的平面的距离1=拽=26,

2

设截面圆的半径为「，球的半径为R,则2"=4兀，解得r=2,

所以R=d户+d2=4,

所以该球的体积为^兀2=¥，

故选：A

26.用与球心距离为行的平面去截球，截面面积为兀，则球的体积为（）

A.学B.与C.8缶D.9

J13

【答案】A

【分析】根据截面面积求得截面半径r,进而求得球的半径R,再利用球的体积公式求解即可.

【详解】设截面半径r,球的半径R,截面与球心距离为1二百，

由题意得，截面面积$=冗产=兀，解得尸=1,

因为/?2=，+/=1+3=4,所以R=2,

AQO

所以球的体积V=m兀八=羊兀.故选：A.

27.已知圆锥的底面半径为2,高为4及，则该圆锥内切球的体积为（）

A.8兀B.16兀C.—D.成£

33

【答案】D

【分析】根据圆锥与内切球的轴截面图，列出等量关系，即可求解.

【详解】如图，圆锥与内切球的轴截面图，点。为球心，内切球的半径为「，DE为切点，设。。=。£=>

即BE=BD=2,

由条件可知，A8=44甸F?=6,

在中，AO2=AD2+DO2»即（4&_/j=（6-2『+产，解得：

所以圆锥内切球的体积丫=电匚=虫况.

33

④多面体的表面积和体积

28.如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2,圆柱的底面半径为1,高

为3,则该几何体的表面积为（）

A.267rB.2（）万C.19乃D.187r

【答案】D

【分析】由题意可知该几何体的体积是由半球的表面积加上圆柱的侧面积，再加上圆的面积即可.

【详解】解：由题意得，球的半径R=2,圆柱的底面半径r=1,高〃=3,

则该几何体的表面积为S=2TTR2+R2+2jrrh=8万+4%+2乃*1*3=18乃.

故选：D.

29.金刚石的成分为纯碳，是自然界中天然存在的最坚硬物质，它的结构是由8个等边三角形组成的如图

所示的正八面体.若某金刚石的校长为2,则它的表面积为（）

A.8B.8aC.8&D.16x/3

【答案】C

【分析】求出一个等边三角形的面积求解即可.

【详解】根据题意，设等边三角形的高为M所以/2=疹了=百，

所以每个边长为2等边三角形的面积为：1x2x73=73,

所以正八面体的表面积为：8G.

故答案为；C.

30.如图，在多面体ABCDE/中：已知A8C。是边长为1的正方形，且.4OE,以才均为正三角形,

EFHAB、EF=2,则该多面体的表面积为（）

A.1+2出B.2GC.1+独D.1+V3

3

【答案】A

【分析】先证明EF//C。，结合梯形面积公式求得正确答案.

【详解】由于E尸〃A&AB//CD,所以EF//CD.

依题意，ADE*BCF均为正三角形，

所以四边形⑷S庄和四边形CD正是等腰梯形，

两个等腰梯形的高为卜_（?]=与.

所以多面体的表面积为：/+@xi2x2+li2x且X2=1+2X/L

422

故选；A

31.何尊是我国西周早期的青铜礼器，其造形浑厚，工艺精美，尊内底铸铭文中的“宅兹中国''为“中国”一词

的最早文字记载.何尊的形状可以近似地看作是圆台与圆柱的组合体，高约为40cm,上口直径约为28cm,

下端圆柱的直径约为18cm.经测量知圆柱的高约为24cm,则估计该何尊可以装酒（不计何尊的厚度，

403兀^1266,194471^6107)()

A.12750cm3B.12800cm3

C.12850cm3D.12900cm3

【答案】C

【分析】根据圆柱和圆台的体积公式计算可得结果.

【详解】下端圆柱的体积为：24兀=1944兀k6107cm3,

上端圆台的体积为：1xl6n(142+14x9+92)=^yx403»yxl266=6752cm\

所以该何尊的体积估计为6107+6752=12859cm3.

因为12850最接近12859,

所以估计该何尊可以装酒12850cn?.

故选：C

32.如图，该几何体是由正方体截去八个一样的四面体得到的，若正方体的棱长为I,则该几何体的体积为

()

【答案】D

【分析】由已知求得正方体的体积，减去八个正三棱锥的体积得答案.

【详解】由题意可知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，^M8xlxlxlxlxl=l；

3Z222O

正方体的体积为1x1x1=1；

则所求体积是

66

故选：D.

33.西施壶是紫砂壶器众多款式中最经典的壶型之一，是一款非常实用的泡茶工具（如图I）.西施能的壶

身可近似看成一个球体截去上下两个相同的球缺的几何体.球缺的体积丫=63'16、（R为球缺所在球

的半径，/?为球缺的高）.若一个西施壶的壶身高为8cm,壶口直径为6cm（如图2）,则该壶壶身的容积

A.494mlB.506mlC.509mlD.516ml

【答案】A

【分析】依题意作出几何体的轴截面图，即可求出对应线段的长，进而求出球的半径和球缺的高，再根据

球的体积公式和球缺的体积求解即可.

【详解】如图作出几何体的轴截面如下面所示，

依题意，A8=6cm,。为球心，。为壶口所在圆的圆心，所以人力二村二女!!!，

因为。£=8cm,所以8=。£=4,且ODJ.AB,013=yf^+41=5>

所以球的半径R=5cm,所以球缺的高/z=5-l=4cm,

所以球缺的体积if2=兀（3x57）-=如，

333

所以该壶壶身的容积约为：V=^7r-53-2x-^=手x494ml.

故选：A.

34.盲盒是一种深受大众喜爱的玩具，某盲盒生产厂商准备将棱长为8cm的正四面体的魔方放入正方体盲

盒内，为节约成本，使得魔方能够放入盲盒且盲盒棱长最小时，盲盒内剩余空间的体积为（）

A64叵鼻口128夜③「256夜3512a

A.-------cmB.---------cmC.---------cmDn.---------cm3

3333

【答案】C

【分析】棱长为8的正四面体放入正方体.使正方体面对角线长等于正四面体棱长，然后求出体积作答.

【详解】依题意，要使棱长为8cm的正四面体的魔方放入正方体盲盒内，且盲盒棱长最小,

则当且仅当正方体的面对角线长等于正四面体的棱长，即它们有相同的外接球，

如图，正四面体ABC。的棱长为8cm,该正四面体的所有棱均为正方体对应的面对角线，

所以该正方体棱长为4技m，盲盒内剩余空间的体积为43*后4区4③苧明）.

故选：C

⑤多选题和填空题

二、多选题

35.圆柱的侧面展开图是长4cm,宽2cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是（）

8

A.87tcm3B.—cm3

兀

Cc.—16cm3Dn.4-cm3

兀兀

【答案】BD

【分析】由已知中圆柱的侧面展开图是长4cm,宽2cm的矩形，我们可以分圆柱的底面周长为4cm,高为

2cm的和圆柱的底面周长为2cm,高为4cm,两种情况分别由体积公式即可求解.

【详解】•,•侧面展开图是长4cm,宽2cm的矩形，

若圆柱的底面周长为4cm,则底面半径R=-cm,h=2cm,

兀

Q

此时圆柱的体积v=成，=-cm5

7T

若圆柱的底面周长为2cm,则底面半径R='cm,/?=4cm,

7C

此时圆柱的体积V=成4=-cm1

n

故选：BD

36.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2A相等，下列结论正确的是（）

A.圆柱的侧面积为4兀/?2B.圆锥的侧面积为石兀W

C.圆柱的侧面积与球面面积相等D.三个几何体的表面积中，球的表面积最小

【答案】ABC

【分析】根据球、圆锥、圆柱的表面积公式一一计算可得；

【详解】解：依题意球的表面积为4兀六，

圆柱的侧面积为27txRx2R=47rR：,所以AC选项正确.

圆锥的侧面积为TTXRX西+（2肝=&R-所以B选项正确.

圆锥的表面积为兀&+石油2=（1+石）兀2<4斌2,

圆柱的表面积为4几/?2+2兀配=6油2,所以D选项不正确.

故选：ABC

37.正三棱锥底面边长为3,侧棱长为2石，则下列叙述正确的是（）

B,正三棱锥的斜高为叵

A.正三棱锥高为3

2

C.正三楂锥的体积为出D.正三楂锥的侧面积为观

44

【答案】ABD

【分析】先求出正三棱锥的高和斜高，从而可判断AB的正误，再计算出体积和侧面积，从而可判断CD

的正误.

【详解】

设七为等边三角形ADC的中心，”为CD的中点，连接PEE/

则PE为正三棱锥的高，。尸为斜高，

又PF=^|=与'£F=|xy=4,故叫杼一?=3,

故AB正确.

而正三棱锥的体积为』x3x正x9=%巨，侧面积为3xLx3xY亘=%叵，

344224

故C错误，D正确.

故选：ABD.

38.有一个三棱锥，其中一个面为边长为2的正三角形，有两个面为等腰直用三角形，则该几何体的体积

可能是()

A.皂B.立C,也DM

3333

【答案】BCD

【分析】分三种情况讨论，作出图形，确定三棱锥中每条棱的长度，即可求出其体积.

【详解】如图所示：

①若平面8C。，△3C。为边长为2的正三角形，A8=2,AABD,a3c都是等腰直角三角形，满

足题目条件，故其体积V=-x2x-x2x2xsin60°=:

323

②若平面8。，AC。为边长为2的正三角形，=一A8C都是等腰直角三角形，满

足题目条件，故其体积l/=』x夜x'x正乂夜=走；

323

③若△BCD为边长为2的正三角形，AABD,工8c都是等腰直角三角形，AB=BC=CD=AI)=2t

AC=2近，满足题目条件，取4C中点E,因为跳：1AC,WBE2+DE2=RD2，所以占即有BE1.

平面AC£),故其体积为V=1x&x』x2x2=

323

故选：BCD

39.“堑堵，，，，阳凸，，和，，鳖晡，，是我国古代对一些特殊几何体的称谓.《九章算术•商功》有如下叙述：“斜解立

力，得两蟹堵，斜解望堵.其i为阳马，其i为鳖膝怠思是说：将一个长方体沿对角面斜截（图I）,

得到一模一样的两个堑堵（图2）,再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜截（图2）,得一个四棱锥称为

阳马（图3）,一个三棱锥称为鳖脯（图4）.

图1图2图3图4

若长方体的体枳为匕由该长方体斜截所得到的堑堵♦、阳马和鳖嚅的体积分别为KMM，则下列选项不氐

聊的是（）

V

A.匕+匕+乂=丫B.匕=2%C.匕=2乂D.匕二一

6

【答案】ACD

【分析】根据题意确定堑堵、阳马和鳖膈的体积与长方体的体积丫的数量关系，即可得答案.

yV1V

【详解】解：由题意，堑堵的体积M==，阳马的体积匕鳖胎的体积匕=：匕=：,

2336

所以乂+匕+匕=丫，2匕=3匕，6V3=3V2=V,即匕=2匕，

V

所以K-K=K="，

6

所以，ACD选项正确，B选项错误.

故选：ACD

40.已知圆锥的表面枳等于12nm,其侧面展开图是一个半圆，则以下结论正确的是（）

A.圆锥底面圆的半径为2cm

B.该圆锥的内接圆柱（圆柱的卜底面在圆锥的底面上，上底面在圆锥的侧面上）的侧面枳的最大值为2居

该圆锥的内接圆柱的体积的最大值时，圆柱的底面圆的半径与圆柱的高的比为集

C.

14/T

D.该圆锥的内切球的表面积为手

【答案】ABC

【分析】利用圆锥的轴截面结合图形可求解.

【详解】设圆锥底面圆的半径为，，母线长为/,

依题意得2"=gx2*所以/=2”

根据圆锥的表面积为兀，+^x2nn=12K,解得r=2cm,

所以A正确;

c

如图为圆锥和内接圆柱体的轴截面，由题可知,

AB=2r=4,CA=CB=l=4'CO=26,

设EV=2x,0cx<2

Ap/)厂2—xDF

由相似关系得笠=无，即F-=不后，解得。E=2\/5-6%,

AOCO22V3

则内接圆柱的侧面积等于2兀“(2石-VL)=2GM3+2*，

当工=1时侧面积最大，等于2仃兀，所以B正确;

内接圆柱的体积等于V(x)=兀/中6―瓜)=6兀(—/+2巧,

V*(x)=\/3n(-3x2+4x)=-\/3TLX(3.X-4),

44

令V(x)>0,解得0</<］，令V'")<0,解得］<x<2,

JJ

所以V(x)在［(《J单调递增，件21单调递减，

所以当x=2时圆柱体积最大，此时圆柱的高为。E=M

33

4

圆柱的底面圆的半径与圆柱的高的比为击=耳2，

亍

所以C正确;

设..ABC内切圆的圆心为。I半径为(,

=

因为SABCSO,AB+SolBc+SqAc,

即S=：A8・7;+g8CF+gAC

所以12s,一AB.J*

'AB+BC+ACAB+BC+AC3

因为圆锥的内切球的半径等于［,

所以内切球的体积等于4叫2=罟，所以D错误.

故选:ABC.

三、填空题

41.已知某一个圆锥的侧面积为20兀，底面积为16兀，则这个圆锥的体积为.

【答案】16兀

【分析】求出圆锥的底面半径，底面周长，结合圆锥侧面积，列出方程，求出圆锥的母线长，由勾股定理

求出圆锥的高，得到圆锥的体积.

【详解】设圆锥的底面半径为「，则口2=16兀，解得：r=4,

则圆锥底面周长为2b=8兀，设圆锥的母线长为/,

则：/x8%二20兀，解得：/=5,

由勾股定理得：h=y]l2-r2=725-16=3>

故圆锥的体积为gx16兀x3=16兀.

故答案为：16兀.

42.已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的4倍，则它的侧面积扩大为原来的倍.

【答案】2

【分析】求出底面半径扩大为原来的2倍，从而得到侧面积扩大为原来的2倍.

【详解】设圆柱的高为〃，底面半径为「，则体积为a?/?,体积扩大为原来的4倍,则扩大后的体积为,

因为高不变，故体积4兀,〃=兀(2〃)%,即底面半径扩大为原来的2倍，原来侧面积为2"〃，扩大后的圆柱

侧面积为2兀•2吒=4兀功,故侧面积扩大为原来的2倍.

故答案为：2

43.市面上出现某种如图所示的以激凌，它的下方可以看作一个圆台，上方可以看作一个圆错，对该组合

体进行测量，圆台下底面半径为4cm,上底面半径为2cm,高为6cm,上方的圆锥高为8cm,则此冰激凌

的体积为cm'.

200乃

【答案】

—

【分析】先计算圆台的体积，再计算圆锥的体积，二者相加即可.

【详解】圆台的体积7；=：万x6x(4?+2x4+22)=56%,

1

圆锥的体积4=22»><8=争，

总体积为7=1+(=孚，

200万

故答案为:

44.一个正四棱锥的高为7,底面边长为10,若正四棱锥的五个顶点恰好在一个球面上，则该球的半径为

99I

【答案】--##7—.

1414

【分析】根据正四棱锥的性质，结合球的性质进行求解即可.

【详解】设该正四棱锥为P-A8CZ),

由正四棱锥和球的性质可知球的球心在高上，设球心为。，底面中心为E,

因为底面是正方形，所以。月=；府前=5拒,

222

在直角三角形ODE中，OD=OE+DEt设球的半径为广,

所以有,=(7—厂)2+50=>r二2，

14

99

故答案为：77

14

45.设甲、乙两个圆柱的底面半径分别为2,3,体积分别为匕，匕，若它们的侧面积相等，则J的值是.

【答案】；##2：3

【分析】利用圆柱体的侧面积和体积公式求解即可.

【详解】设甲的高为4