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3平面力系的合成与平衡3.1平面汇交力系的合成与平衡3.2力线的平移3.3平面一般力系的合成3.4平面一般力系的平衡方程和应用3.5平面平行力系的合成与平衡建筑力学课件制作：志远教育教材服务与征订电话：010-824770733.1平面汇交力系的合成与平衡

第2章已介绍了两个汇交于一点的力F1，F2如何用平行四边形公理与三角形法则求它们的合力R，这种方法我们称之为图解法。当要求用图解法求更多的汇交于一点的力之合力时，也可以此为基础进行求解，下面举例说明。在一个物体平面内作用了一组F1，F2，F3，F4汇交力系，力的大小及方向如图3-2所示，求其合力R。3.1.1图解法

当用平行四边形法则求解时，可先由F1，F2作平行四边形ABCK，求得F1，F2合力R1，如图3-2(b)所示。再由R1，F3作平行四边形ACDG得合力R2。最后，由R2，F4作平行四边形ADEH得合力R。合力R就是力系F1，F2，F3，F4的合力。如果用力三角形法则，可使作图简便一些。如图3-2(c)所示，可选任一点a为起点，按F1的大小与方向作图得b点，同理，从b点作F2得c点，由c点画F3得d点，由d点画F4得终点e，然后连起点a与终点e，即得力系的合力R。合力R的数值，可按作图时所定的比例在图上量得，方向是从起点指向终点，作用点在物体的A点上。图3-2(c)所示的多边形abcde称力多边形，这种作图法称力多边形法则。使用力多边形法则作图时，与力的次序无关，如图3-2(c)用F1，F2，F3，F4次序作图与图3-2(d)用F4，F1，F3，F2作图所得的合力数值与方向均相同。但合力的作用点仍均在物体A点上。因此，合力的大小和方向与各分力的大小、方向有关，合力R是各分力F的矢量和(或称几何和)，用黑体字表示矢量，则写作式中，符号表示i＝1到i＝n个力F逐项相加之和。以后简写为∑F。当平面汇交力系的合力R为零时，该力系为平衡力系，即该力系对物体的外效应相互抵消，物体保持静止或匀速直线运动，称物体处于静力平衡状态。对平衡的汇交力系作力多边形时，各分力必自行组成一个封闭的力多边形，即最后一分力的终点与最初一分力的起点相重合，因此，平面汇交力系平衡的几何条件为力多边形封闭。利用这个条件，可以解得平衡的平面汇交力系的两个未知量。

将力系置于直角坐标系中，利用力在坐标轴上投影的代数运算得到部分解答。该直角坐标是人为假设的，所以，应尽量使所建立的坐标系有利于简化计算。首先，来看一下力F在xOy坐标系的投影。图3-6(a)所示一矢量F，与x，y轴小于90°的夹角分别为α和β，F矢量的起始端为a，终端为b。过a，b点分别作aa1，bb1垂直x轴，得力F在x轴上的投影a1b1称之为Fx；过a，b点向y轴作垂直线aa2，bb2，得力F在y轴上的投影a2b2，称之为Fy。Fx，Fy是两个代数量，他们的正负是这样确定的，从起始点投影a1(或a2)向终点投影b1(或b2)与x轴(或y轴)正方向相符合，则Fx(或Fy)为正值，反之为负值，如图3-6(a)所示Fx与Fy均为正值，图3-6(b)所示Fx为正值，Fy为负值。3.1.2数解法3.2力线的平移

作用在物体上的力，它对物体作用的效应，取决于力的三要素：力的大小、方向、作用点。如果只讨论物体的外效应，那么，可将作用点扩大为作用线，这是前面有关力的性质中所讨论的。但若将力F的作用线由A点[见图3-12(a)]平行移动到物体的任一点B[见图3-12(b)]，称其为F′时，那么，F，F′对物体作用的效应将是各不相同的。如果在图3-12(a)的B点增加一对与力F平行、大小与力F相等的一对平衡力F′，F″[见图3-12(c)]，那么，该力系F，F′，F″与原力F对物体的作用效应相等。但由图可见，F与F″组成一对力偶，其力偶矩为M＝Fh。所以，当作用在A点的力平行移动至B点时，必须附加一个相应的力偶，这样才与原力F对物体作用的效应等价，可用图3-12(d)表示。于是得力线的平移法则：当把作用在物体上的力F平行移至物体上任一点时，必须同时附加一个力偶，此附加力偶矩等于力F对新作用点的力矩。力线的平移法则不但可帮助我们解决下面一节的平面任意力系的简化问题，而且也可解释一些实际问题。如用丝锥攻丝时[见图3-13(a)]，要求两手作用在铰手上的F，F′为大小相等、方向相反的一对力，组成一个力偶，对丝锥产生绕O点转动的效应，图3-13(b)所示该力偶矩M＝Fh。如果只在铰手的A端作用一个2F的力[见图3-13(c)]，这样虽然对丝锥产生的转动效应与图3-13(a)相同，但丝锥容易折弯。这是因为我们可以将作用在A端2F的力平移简化至O点[见图3-13(d)]，以一个2F的力与一个力偶矩M′＝2F×2(h)＝Fh组成的力系与原力2F等价。力偶矩M′与图3-13(b)中力偶矩M等价，而图3-13(d)中作用在O点的2F力使丝锥发生弯折。力线平移法则是力系简化理论的基础，在研究物体的内效应(变形、应力、应变等)时，往往也利用它进行物体的受力分析。如一厂房中行车梁立柱受力如图3-14(a)所示，当研究立柱的内效应时，将力F平移至立柱轴线的O点处[见图3-14(b)]，并附加一个力偶，该力偶矩M＝MO(F)＝Fe，式中，e称为偏心距。3.3平面一般力系的合成

平面一般力系是指作用在同一平面内的各力，既不相交于一点，也不互相平行。那么这样的力系能否合成？在学习了平面汇交力系的合成、力矩、力偶和力线的平移后，我们也就能很顺利地进行平面一般力系的合成。如图3-15(a)所示，一平面一般力系F1，F2，F3分别作用在A1，A2，A3点。将该力系向作用平面内任一点O简化，如图3-15(b)所示，F1向O点平移，得力F′1、力偶M1，与原力F1等价，同理，F2，F3向O点平移，得F′2，M2与F′3，M3。故作用在A1，A2，A3点的力F1，F2，F3向作用平面O点